Задачи

Квант 1984, №7 с. 39, 44, 46, 47 Тег TGIV

Задчи

Из пункта А вниз по течение реки одновременно отплыли плот и катер, а навстречу им в тот же момент из пункта В отправился второй такой же катер. Когда первый катер достигнет пункта В, к чему будет ближе плот — к пункту А или ко второму катеру?
На бумаге нарисованы непересекающая контуры: 3 красных и 3 синих. Рисунок нарисовали другим листом бумаги, так, чторовно один из контуров оказался накрытым целиком, а все другие частично видны. Определите цвет накрытого контура.
Сколько существует натуральных чисел, делящихся на 11, меньших 100 000, сумма цифр которых равна 11?
На витрине магазина разложены яблоки и груши в виде треугольника. В первом ряду — одно яблоко, во-втором — две груши, в третьем — три яблока и т. д. Сколько лежало яблоки и сколько груши, если было n рядов?
Замечали ли вы, что, оступившись с утоптанной тропинки, можно довольно глубоко провалиться в рыхлый снег? А в начале весны, когда снег оседает при таянии, тропинки иногда оказываются даже выше окружающей снежной целины. Чем это можно обьясить?

Эти задчи нам предложили: Г. А. Гальперин, В. В. Произволов, В. Д. Выон, Эльхан Адaeв (ученик 7 класса), А. А. Бялко

Вниз по кроличей норе

Л. КэРРОЛЛ

Многие читатели «Алисы в стране чудес» и «Алисы в зазеркале» знают, что Льюис Кэрролл — это псевдом изввстного английского математика Чарлза Доджона (1832—1898), автора научных статей и монографий по алгебре. Несомненно, логическая и геометрическая фантазия математика Доджона сильно повлияет на творчество писателя Льюиса Кэрролла. Наверное, поэтому математик или физик, читающий «Алису», обещано начиная фантазировать; у него непреемно возникают интересные вопросы.

И вот «Квант» для младших школьников》 решился на следующее эксперимент: в этом и в следующем номере мы помещаем первые две главы книги Л. Кэрролла «Алиса в стране чудес» в замечательном переворе Н. М. Демуровой (М., «Наука», 1979), а также те вопросы и задачи, которые пришли нам в голову при перечнительии этой замечательной книги. Как обычно в КМШ, ответы приводятся в следующее номерах.

Ждем ваших отзываев (их можно присылать по адресу: 103006, Москва, ул. Горького, 32/1, редакция журнала «Квант», АЛИСА). Те читатели, у которых есть указанная книга Л. Кэрролла, могут к отзывам присоеднять свои задчи и вопросы к следующим главам книги. Если этот материал вам понадобится и мы получим достаточночный читательский отклик, публикация «Алисы в стране чудес» будет продолжена.

Задача 1. Со скуки Алиса подсчитала количество цифр, нужных для нуmerации страниц в книге своей серры, и получила, что их 373. Сильна ли Алиса в артифметике?

Вопрос 1. Как вы аутаете, со старшей или с младшей сестрой сидела Алиса?

Вопрос 2. Каким голосом говорил кролик: “тонким или “тонким?

Задача 2. Кролик на бегу уронил часы и они разблиблс. Мог ли циферблат расколиться на a) 2 часа; 6) 3 часа; в) 4 часа с равными суммами чисел, стоящих в этих частях?

Алисе наскучило праздно сидень рядом с светрой на берегу реки; разокдругой она заглянула в книжку, которую читала сестра, но там не было ни картинок, ни разговоров.

Что только в книжке, — подумала Алиса, — если в ней нет ни картинок, ни разговоров?

Она сидела и размышляла, не встать ли ей и не нарвать ли цветов для венка; мысли ее текли медленно и не связно — от жары ее клюнило в сон. Вдруг mismo пробежал Бельй Кролик с красными глазами.

Конечно, ничего удивительного в этом не было. Правда, Кролик на бегу говорил:

— Ax, боже мои, боже мои! Я опасдаю.

Но и это не показалось Алисе особенно страным. Вспомним об этом впоследствии, она подумала, что ей следовало бы удивиться, одна подумала, что ей следовало бы удивиться, одна подумала, Алиса вскочила на ноги. Ее тут осенило: ведь никака раны она не видела кролика с часами, да еще с жилетным карманом в придачу! Сгорая от любопытства, она по-proлете? — сказала Алиса всух. Я, верно, приближалось к центру земли. Дайте-ка вспомнить… Это, кажется, около четырех тысячи минут виз… Видшь ли, Алиса вычила коe-что в этом роле на уроках в классе, и хоть сейчас момент был не самый подходящий демонстрировать свои познания — никак ее не слышал, она не могла удержаться.

— Да так, верно, оно и есть,— про-должала Алиса.— Но интересно, на какой же я тогда ширote и долгите? Сказать по правде, она понятия не имела о том, что такое широта и долгота, но её очень нравились эти слова. Они звучали так важно и внушительно! Помолчав, она начала слова:

— А не пролечу ли я всего землю насвободь? Вот будет смешно! Как их там зову?.. Антипатики, кажется…

В глубине души она породовалась, что в этот миг ее никакит, потому что слоно это звучало как-то не так.

— Придетя мне у них спросить, как называется их страна. Простите, сударина, где я? В Австралии или вновь Зеландии?

И она попробовала сделать реверанс.

Вопрос 3. Могла ли Алиса падать очень медленно?

Задача 3. На трех банках с варенем рассеянная хозяйка сделала надписи так, как показано на рисунке. Определите сорта вареня в каждой банке, если известно, что все надписи не верны.

Бежала за ним по полю и только успела заметить, что он юридил в нору под изготовью.
В тот же миг Алиса юридила за ним следом, не думая о том, как она будет выбираться образно. Нора сначала шла прямо, повная, как туннель, а потом вдруг кругто обрывалась виз. Не успела Алиса и глазом моргнуть, как она на чала падать, словно в глубокий колодец.
To ли колодец: был очень глубок, то ли падала она очень медленно, только времени у нее было достагоно, чтобы прийти в себя и подумать, что же будет дальше. Сначала она попыталась разглядеть, что ждет ее визу, но там было темно, и она ничего не увидела. Тогда она принялась смотеть по сторонам. Стены колодца были уставлены шкафами и книжными полками; кое-где внесли на гвоздиках картины и карты. Проделя тимо одной из полож, она приватила с нее банку с варенем. На банке было написано «АПЕЛЬСИНОВОЕ», но увы! она оказалась пуста. Алиса побоялась бросить банку виз — как бы не убить кого-нибудь! На лету она умуридлась заснуть ее в какой-то шкаф.
«Вот это упала, так упала! — подумала Алиса. — Упасть с lectницей теперь для меня пара пустяков. А наши решат, что я ужасно смелая. Да свались я хоть с крыши, я бы и то не пикнула».
Вполне возможно, что так оно и было бы.
А она все падала и падала. Нуужели этому не будет конца?
— Интересно, сколько мылья я уже

Можешь себе представить реверанс ввоздуxe во время падения?
Как, по-твоему, тебе бы удалось его сделать?
— А они, конечно, подумают, что страшная невежда. Нет, не буду никакого спрашивать! Может, увижу где-нибудь надпись! А она все падала и падала. Делать нечего, помолчав, Алиса снова заговорила.
— Дина будет меня сегодня весь вечер искать! Ей без меня скучно! Диной звалии их кошку.
— Надеюсь, они не забудут в поддник напить ей молочка… Ax, Дина, миляя, как жаль, что тебя со мной нет. Тут раздался страшный треск. Алиса упала на кучу валежника и сухих листев.
Она ничего не ушиблась и быстро на гвоздиках картины и карты. Проделя тимо одной из полож, она приватила с нее банку с варенем. На банке было написано «АПЕЛЬСИНОВОЕ», но увы! она оказалась пуста. Алиса побоялась бросить банку виз — как бы не убить кого-нибудь! На лету она умуридлась заснуть ее в какой-то шкаф.
«Вот это упала, так упала! — подумала Алиса. — Упасть с lectницей теперь для меня пара пустяков. А наши решат, что я ужасно смелая. Да свались я хоть с крыши, я бы и то пикнула».
Вполне возможно, что так оно и было бы.
А она все падала и падала. Нуужелиному этому не будет конца?
— Интересно, сколько мылья я уже

Задочка 6. Подник бывал в полдень, а в поддень стрелки часов совпадают. a) Когда они совпадут в следующий раз? 6) Сколько в сутках таких моментов? b) Сколько раз в сутки стрелки часов совпадини-кулярны?

Вопрос 4. Что будет, если Алиса отсутствит банку?
Вопрос 5. ли банка при этом не развиться?
Задочка 4. Падая по лестнице с пятого этажа. Алиса насчитала 100 ступенек. Сколько ступенек она насчитала бы, падая со 2 этажа?

ПЕРЕВЕРНИ СТРАНИЦУ

Задача 7. Сколькоми способами можно осветить зал, если в ряду десять ламп и каждая из ламп может гореть или быть выключенной?

Задача 8. Часть подземного замка имеет план, показанный на рисунке. Можно ли пройтися по замку так, чтобы пройти церема каждой дверьровно один раз?

Задача 9. Представим себе что в этом момент перед Алисой представили два антипода Х и У и сказали ей следующие:
X: Один из нас живет в стране А;
Y: Не верьте ему! Он лежит! В пузырьке я!
Что в пузырьке и в какой стране живут Х и Y?

сюда выбратья.
Вдруг она увидела стеклянный столик на трех ножках. На нем не было ничего, кроме крошечного золотого ключка.
Алиса решила, что этот ключ от одной из дверей, но увы! — то ли замочные скважины были слишком велички, то ли ключик слишком мал, только он не подошел ни к одной, как она ни старалась. Пройдясь по залу во второй раз, Алиса увидела занавеску, который не заметила раныше, а за ней оказалась маленькая дверца доимов в пятнадцать вышиной. Алиса вставила ключку в замочную скважину — и, к величайшей ее радости, он подошел!
Она открыла дверцу и увидела за ней нору, совсем узку, не шире крысиной. Алиса встала на колени и заглянула в нее — в глубине виделся сад удивительной красоты. Ax, как ей захотелось выбрать из темного зала и пободить между яркими цветочными ключами и прохладными фонтанами. Но она не могла проснуть в нору даже голову. Если б моя голова и прошла, — подумала бедная Алиса,— что толку! Кому нужка голова без плеечей? Ax, почему не складываюсь, как подзорная трубба! Если б я только зала, с чего начать, я бы, наверно, сумела.
Видшь ли, в тот день столко было всяких удивительных процесств, что ничего не казалось ей теперь совсем невозможно.
Сидеть у маленькой дверцы не было никакого смысл, и Алиса вернулась к стеклянному столку, смутно надевься на ней на нем другой ключ, или, на

— Какое странное ощущение! — воскликнул Алиса. — Я, верно, складывось, как подзорная трубба.
И не ошиблась, в ней сейчас было всего десять доимов росту. Она подолшема, что легко проидет теперь сквозь дверцу в чудесный сад, и очень обравалась. Но сначала на всякий случай она немножко подождала, ей хотелось убедиться, что больше она не уменышается. Это ее слегка тревожило.
— Если я и дальше буду так уменышаться,— сказала она про себя,— я могу и вовсе исчезнуть. Сгорю, как свечка! Интересно, какая я тогда буду?
И она постаралась представить себе, как выглядиит плая севи после тоzo, как свеча потухнет. Насколько ей поминилось, такого она никакогда не видала.
Подождав немного и убедившись, что больше ничего не происходит, она решила тотчас же выйти в сад. Ведняжка! Подойдя к дверце, она обнаружила, что забывались к столу, поняла, что ей теперь до него не dotянутся. Сквозь стекло она ясно видела сизу лежащий на столе ключик. Она попыталась взбраться на стол по стеклянной ножке, но пожка была очень сколькая. Устав от напрасных услуг, бедная Алиса села на пол и запалала.
— Ну, хватит! — строго приказала она себе немного спустя. — Слезами горю не поможешь. Советую тебе сюда минут передать!
Она всегда давала себе хорошее состояние.

Гармоническая ряд

(Начало см. на c. 32)

Ну конечно. Каждый из групп, ограниченная выделением числами, например 1/5+1/6+1/7+1/8 или 1/9+1/10+…+1/16, имеет сумму большую, чем 1/2. А эти группы — бесконечно много! Частные суммы гармонического ряда становятся большие, чем 1/2+1/2+…+1/2. Взяв сумму из 2n групп, мы получим число, больше n. Ряд расходится.

Этот удивительный факт проявляется самим неожиданным образом. Например, при решении следующей задачи: как, имея n киппичей, положить их друг на друге так, чтобы самый верхний был вывидит в сторону на максимальное расстояние?

Если киппичей всего два, то их, очевидно, надо составить так, чтобы центр масс верхнего оказылся над краем нижнего: тогда верхний киппич будет выступать в сторону на 1/2 (длинную киппич мы примем равной 1). Центр масс такой пары отстотит от края нижнего киппича на 1/2. Положим эту пару на третий киппич так, чтобы ее центр масс оказылся над его краем (рис. 1). При этом верхний киппич будет вывидит в сторону на расстояние 1+1/2.

Воспользуемся системой координат, связанной с рисунком, на начало которой размещено точно под краем нижнего киппича, и будем понимать под первым телом нижней киппича, а под вторым — положенную на него стопку из (n-1) киппича. Тогда $x_1=1$ , $x_2=0$ , $m_2=(\frac{n-1}{2})m_1$ , $x=\frac{1}{n}$ . Утверждение доказано. А вместе с ним доказано и такое: n киппичей можно составить так, что верхний будет вывидать в сторону за край нижнего на расстояние $S_{n-1}$ , где $S_n$ — n-я частная сумма гармонического ряда.

Величина $S_n$ , как мы знаем, неограниченно растет с ростом n. Итак, достаточно высокую стопку киппичей можно загнуть в сторону сколько годно далеко! Невероятно, но факт! Правда, величины $S_n$ растут очень медленно. И если мы хотим, например, чтобы боковое уklонение превышало длину киппича хотя бы вдвое, нам придает положить друг на друга ни много ни мало тридцать два киппича.

Если подсчитывать частные суммы гармонического ряда, приводя их к общему значенателю, точчас обнаружится любопытная деталь: во-первых, знаменатель суммарной дроби всегда будет четным, во-вторых, все слагаемые в числитель, за исключением одного-единственного, то же четные. Первое неудивительно: оно обусловлено наличие в гармоническом ряде слагаемого 1/2. Второе же, если бы удалилось его доказать для произвольной частичной суммы ряда, сразу же позвонили бы утверждать, что среди чисел $S_n$ нет ни одного целого. Попробуем это доказать.

Вновь нам могут сослужить добрух службы степенки половины, то и дело встречалось в гармоническом ряде. Взяв произвольную частиную сумму ряда, obtiem в ней набольшую половины: 1/2p Знаменатель всех других слагаемых этой суммы содержат двойку в степенки меньше, чем p. Поэтому при приведении всей суммы к общему значенателю числитель дроби 1/2p будет умножен на нечетное число, а числитель всех остальных дробей — на четные. Это и обосновывает высказанное ранее утверждение: в числитель суммарной дроби все слагаемые, за исключением одного, — четные; после суммирования в числитель получается нечетное число, а поскольку знаменатель любой дроби — четный, дробь не может равнять целому числу.

Гармонический ряд обладает и многоими другими свойствами и приложениями. В частности, в теории музыки — недаром он называется гармоническим! Но это уже, как говорится, другая история…

ТЕЖ ДОЛЖЕН БЫТЬ ОСВЕЩЕН РОВНЫМ, МЯГКИМ, РАССЕЯНЫМ СВЕТОМ.

При рассматривании стереопары через двуцветные очки вместе с основным изображением иногда появляются добавочные бледные линии или контуры полукартина. В этом случае надо ослабить освещенность стереочержения или сгустить плотность окраски светофильтров. Часто бывают достагоно увечить плотность одного синего светофильтра. Если же изображение при рассматривании получается недостагоно ясным, четким, следует услитть освещение.

Приведенный здесь чертеж получен путем процирования на горизонтальной плоскость. Поэтому его надо рассматривать, расположив горизонтальное.

Для изготовления стереочержения мы будем пользоваться специальным приспособлением, называемым шаблон-трафаретом. Это приспособление многократного использования нужного изготовить заранее. Для этого, в свою очередь, нужно построить так называемый перспективный масштаб. С него мы и научем.

Построение перспективного масштаба

Перспективный масштаб устанавливает соответствия между натуральными и перспективными линейными размерами изображения нужного изготовить заранее. Для этого, в свою очередь, нужно построить так называемый перспективный масштаб. С него мы и научем.

Построение перспективного масштаба выходит показано на рисунке 2, где обозначены:

точка $S$ — центр процирования, отстоящий от своей горизонтальной проекции $S_1$ на высоту $h=300$ мм;

$a$ — расстояние (160 мм) между горизонтальной проекцией $S_1$ до основания натурального масштаба $O_1$ :

$O_1N$ — натуральный масштаб высот (150 мм), разделенный на равные масштабные отрезки;

$O_1N_S$ — перспективный масштаб, в котором масштабные отрезки имеют разные длины (по мере удаления от точки $O_1$ они увечиваются).

$D_k$ — длина произвольного perспективного масштабного отрезка. Все линейные элементы изображения изображения изменяются в единицах натурального масштаба.

Перспективный масштаб определяется построением или вычисляется по формуле $x_k=aK/(h-K)$ . В последнем случае длин отдельных отрезков perспективного масштаба считаются от нулевой отметки $O_1$ .

С целью упрощения построения perспективного масштаба дана таблица с вычисленными величины отрезков perспективного масштаба для значений $K$ от 5 до 150 мм. В случае необходимости промежуточные величины на

стояла не менее чем на 145 мм от горизонтальной проекции $L_1$ и $R_1$ .

Рассмотрим пример построения центральной проекции точки $A$ . Точка $A$ , заданная своей горизонтальной проекцией $a_1$ , отстояит от предметной плоскости на высоте $h=100$ мм (рис. 4).

Для определения центральной проекции точки $A$ выполняется следующие построения: через точку $L_1$ проводят проекцию проекрушшего луча $LA$ через точку $a_1$ , продолжая его вверх за точку $a_1$ ; нульевую отметку левого перспективного масштаба $O_L$ соединяют с точкой $a_1$ отрезком прямой $O_L a_1$ ; из отметки 100 $L$ (левого перспективного масштаба) соответствующей заданной высоте изображаемой точки $A$ над предметной плоскостью проводят прямую параллельно отрезку $O_L a_1$ до пересечения с проекцией проекрушшего луча $LA$ .

Полученная при пересечении точки $A_L$ является центральной проекцией точки $A$ для левого центра проекирования. Аналогичные построения для этой точки $A$ выполняются для правого центра проекирования, в результате чего определяется положение точки $A_R$ — центральной проекции точки $A$ для правого центра проекирования.

Дальнейшее построениестероппечных чертежей к нахождения всех характерных точек изображаемого объекта и соедининию их между собой линяями.

Для каждого центра проекирования строится отдельная полукартина. В простейших случаях изображение обеих полукартины может вычерчиваться на одном сменном листе.

На практике обычно используетсястеробазис $b$ меньше нормального ( $b<65$ мм). При этом необходимости делать новый шаблон-трафмет. Проство на изготовленном шаблене отмещают две точки $L'_1$ и $R'_1$ на отрезке $L_1 R_1$ симметрично относительно его центра, так чтобы $|L'_1 R'_1|=b$ . Далее все построения выполняют точно так же, только с заменой $L_1$ на $L'_1$ и $R_1$ на $R'_1$ .

Изготовлениестероппечных чертежей

Оно состоит из двух этапов: построенияэскизов в карандаше и изготовлениястеропперы в цете.

До составленияэскиза определяются: положение изображаемого предмета относительно