[Nikolai Ivanovich Lobachevsky]

32

Kính vạn hoa «Kvant»

“Con người… được sinh ra để làm chúa tể, người cai trị, vị vua của thiên nhiên, nhưng trí tuệ mà anh ta phải dùng để cai trị… không được ban cho anh ta ngay từ khi sinh ra: nó có được nhờ sự dạy dỗ.”
N. I. Lobachevsky

Cắt và dán

Nếu bạn cắt một hình hình học phẳng thành nhiều mảnh và ghép chúng lại thành một hình mới, thì không ai có thể nghi ngờ rằng diện tích của hình cũ và hình mới bằng nhau. “Định luật bảo toàn diện tích” này được sử dụng trong Hình 1 để chứng minh định lý Pythagore. Nó không phải là thanh lịch sao?

Ngược lại, nếu các hình phẳng đã cho (ví dụ: đa giác) có diện tích bằng nhau, thì luôn có thể cắt một trong số chúng thành một số hữu hạn các phần và thêm số phần hữu hạn thứ hai từ chúng và thêm một đa giác hữu hạn thứ hai từ chúng. Định lý này đã được chứng minh vào năm 1832 và được gọi là định lý Bolyai-Gerwin. Bằng chứng của nó có thể được đọc trong cuốn sách nổi tiếng của V. G. Boltyansky “Các hình có kích thước bằng nhau và các vì sao bằng nhau” (M.: Nauka, 1973). Chứng minh này được minh họa bằng câu đố số 4 trong trải bài này.

Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) là niềm tự hào của toán học Nga, người sáng tạo ra hình học phi Euclide, được đặt theo tên ông là hình học Lobachevsky. Ông là người đầu tiên bày tỏ ý tưởng về khả năng tồn tại của các hình học khác với hình học truyền thống của Euclid. Tuy nhiên, các tác phẩm của ông không nhận được sự công nhận từ những người cùng thời. Bạn có thể đọc về lịch sử đáng kinh ngạc của sự hình thành hình học Lobachevsky trong «Kvant» năm 1982 (Số 11, trang 12 và Số 12, trang 7), và về bản thân Lobachevsky - trong «Kvant» năm 1976 (Số 2, trang 5).

Kodit 1
1985

33

Nếu giải được câu đố này, có lẽ bạn phải xoắn các hình đa giác nhỏ rất nhiều trước khi ghép chúng lại thành một hình vuông. Có thể thực hiện mà không cần quay và cắt ngay hình sao cho các phần khớp với nhau mà không cần quay, chỉ là các bản dịch song song? Ví dụ, đây là trường hợp trong Hình 1; Xin lưu ý rằng các đa giác cùng màu được dịch sang nhau bằng các bản dịch song song.

Năm 1951, hai nhà toán học Thụy Sĩ, G. Hadwiger và P. Glur, đã chứng minh
Người ta tin rằng trong hai đa giác có diện tích bằng nhau, một đa giác luôn có thể được gấp lại thành đa giác kia, chỉ sử dụng phép dịch song song và đối xứng tâm để di chuyển các phần. Thực tế này có vẻ khó tin. Hãy xoay hình vuông một góc nhỏ. Mọi người đều cho rằng sự phân chia như vậy là không thể ở đây. Nhưng hãy nhìn vào Hình 2 và bạn sẽ thấy điều này có thể làm được đến mức nào. Hình 3 thể hiện phương pháp chia hai hình chữ nhật có diện tích bằng nhau với các cạnh song song một cách thích hợp.

Có thể thực hiện được chỉ bằng cách chuyển song song không? Hóa ra không phải lúc nào cũng vậy. Phát biểu sau đây đúng: để một đa giác lồi được chia thành nhiều phần, từ đó nó có thể được gấp lại bằng phép dịch song song