Bài toán M916—M920; F928—F932

36

Bài toán

M916 — M920; F928 — F932

M916. Từ giữa mỗi cạnh của một tam giác nhọn, các đường vuông góc được vẽ sang hai cạnh còn lại. Chứng minh rằng diện tích của immishtirulnik bị chặn bằng một nửa diện tích của tam giác.

A. A. Azamov

M917. a) Chuỗi vé xui xẻo liên tiếp tối đa có độ dài bao nhiêu? 6) Có bao nhiêu dãy có độ dài lớn nhất như vậy? (Số vé được coi là nằm trong khoảng từ 000000 đến 999999; một vé được gọi là may mắn nếu tổng của ba chữ số đầu tiên của số đó bằng tổng của ba chữ số cuối.)
S. Yu. Orevkov

M918*. Bán kính của đường tròn nội tiếp một tam giác là 1 và độ dài các cạnh của nó là số nguyên. Chứng minh rằng các số đó là 3, 4 và 5.

B. V. Praslov

M919. a) Chứng minh đẳng thức
$$\int_0^{\pi/4} tgx dx + \int_0^1 arctgx dx = \frac{\pi}{4}.$$
6)* Chứng minh bất đẳng thức
$$9 < \int_0^3 \sqrt{x^4 + 1} dx + \int_0^3 \sqrt{x^4 - 1} dx < 9,0001.$$
Yu. I. Ionin

M920. a) Tìm ít nhất một phương trình lời giải
$$x^3 + y^3 + z^3 = x^2y^2z^2$$
bằng số tự nhiên.
6)* Chứng minh rằng phương trình
$$x^3 + y^3 + z^3 = nx^2y^2z^2$$
có lời giải tự nhiên chỉ dành cho $n=1$ và $n=3$ và tìm tất cả những lời giải này.

P. A. Mazov

F928. Hai nửa hình trụ nhẵn giống hệt nhau, tổng khối lượng là $m$, được treo trên một sợi dây không co giãn như hình hình 1. Lực căng của sợi dây và áp suất của một nửa thanh trượt lên nửa kia là bao nhiêu?

J. G. Markovich

37

F929. Được biết, bằng cách làm nguội bình bằng nước và đồng thời bơm khí ra khỏi bình, người ta có thể làm cho nước sôi. Chất lỏng có thể sôi khi làm nguội một bình kín chứa chất lỏng và khí không?

L. A. Ashkinazi

F930. Mật độ điện tích bề mặt trên các bản thẳng của tụ điện phẳng là +σ và -σ. Khoảng cách giữa các tấm nhỏ hơn nhiều so với kích thước của các tấm. Xác định hướng của điện trường tại điểm A (xem hình 2).

Ồ, vâng. Savchenko

F931. Một nguồn điểm cách thấu kính một khoảng 2F. Một màn ảnh (hình 3) đặt cách thấu kính một khoảng 3F. Phía sau thấu kính có một tấm tròn bán kính R, truyền ánh sáng không đều (bán kính tấm không nhỏ hơn bán kính thấu kính). Trong trường hợp này, điểm thu được trên màn hình có độ chiếu sáng đồng đều tối đa có thể. “Băng thông” của tấm được phân bổ dọc theo bán kính của nó như thế nào?

A. A. LanUDEC

F932. Điều chỉnh một cây đàn guitar như sau: bằng cách kẹp dây thứ hai vào một vị trí nhất định, chúng được thêm vào sao cho âm thanh đồng nhất với dây đầu tiên, sau đó các dây khác cũng được điều chỉnh theo cách tương tự. Một người hoàn toàn không có tai nghe nhạc (tức là không thể phân biệt âm thanh theo cao độ) có thể điều chỉnh một cây đàn guitar không?

I. I. Mazin

Problems

M916—M920; P928—P932

M916. Perpendiculars are drawn from the three midpoints of the sides of an acute triangle to the two other sides. Prove that the area of the hexagon thus obtained is half of that of the triangle.

A. A. Azamov

M917. a) What is the length of the longest possible series of unlucky ticket numbers? b) How many such longest series are there? (It is assumed that the ticket numbers range from 000000 to 999999 inclusively; a ticket number is called lucky if the sum of its first three digits equals that of the last three.)

S. Yu. Orevkov

M918*. The radius of a triangle’s incircle is 1, the lengths of its sides are integers. Prove that these integers are 3, 4 and 5.

V. V. Prasolov