Kvant
Tài liệu thi cử

Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova

Кучма А. Е., Осипов В. Ф., Скребов В. Н.

Kvant 1985, số 4tr. 54-55Thẻ 7TK6

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

54

Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova

Matematika
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển)

  1. Tần số của x,yx, y gen a,ba, b tương ứng được chuyển đổi do một loại chọn lọc thành tần số mới

x′=x(kx+y)kx2+2xy+ky2,y′=y(x+ky)kx2+2xy+kyx' = \frac{x(kx + y)}{kx^2 + 2xy + ky^2}, \quad y' = \frac{y(x + ky)}{kx^2 + 2xy + ky}

gen a,ba, b của thế hệ tiếp theo. Xác định tần số ban đầu nếu biết hệ số thích ứng là k=1/2k = 1/2, và ở thế hệ tiếp theo cứ 40 gen aa thì có 33 gen bb.

  1. Giải phương trình

cos⁡3x=−cos⁡x ctg(x+π3) ctg(x+2π3).\cos 3x = -\cos x \text{ ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \text{ ctg}\left(x + \frac{2\pi}{3}\right).

  1. Tại giá trị nào của b∈[0;1]b \in [0; 1] là sai số tuyệt đối lớn nhất của công thức gần đúng

x≈b(38+34x−x28)+(1−b)(34+38x−x264)\sqrt{x} \approx b \left(\frac{3}{8} + \frac{3}{4} x - \frac{x^2}{8}\right) + (1 - b) \left(\frac{3}{4} + \frac{3}{8} x - \frac{x^2}{64}\right)

trên khoảng [1; 4] sẽ là nhỏ nhất?

  1. Trong một đường tròn bán kính RR có một tam giác nội tiếp. Tìm một điểm trên đường tròn sao cho tổng khoảng cách đến hai đỉnh gần nhất của tam giác bằng giá trị cho trước LL.

  2. Một quả cầu có bán kính RR và một hình tròn có bán kính 5/4 RR có chung tâm OO. Điểm AA nằm trong không gian sao cho ∣AO∣=5R/4|AO| = 5R/4 và tập hợp các điểm trên một đường tròn cho trước có thể nối với AA bằng một đường thẳng không cắt quả bóng là một cung tương ứng với góc ở tâm aa. Tìm góc giữa OAOA và mặt phẳng chứa đường tròn đã cho.

Tùy chọn 2
(Khoa Toán và Cơ học)

  1. Trên khoảng [14,10][\frac{1}{4}, 10] xác định giá trị lớn nhất của sai số tuyệt đối của phép tính gần đúng y=xy = \sqrt{x} theo quy tắc sau: nếu (k−1)2≤x<k2(k - 1)^2 \leq x < k^2 (k=1,2,…k = 1, 2, \dots) thì

x≈38k+3x4k−x28k3.\sqrt{x} \approx \frac{3}{8} k + \frac{3x}{4k} - \frac{x^2}{8k^3}.

  1. Giải phương trình

sin⁡4x(2+sin⁡14x)=2 ctg3x⋅cos⁡4x.\sin 4x(2 + \sin 14x) = 2 \text{ ctg} 3x \cdot \cos 4x.

  1. Dưới những điều kiện nào thì các hệ số a,ba, b thay thế tuyến tính

x=aY+bZ,y=aZ+bX,z=aX+bYx = aY + bZ, \quad y = aZ + bX, \quad z = aX + bY

giữ nguyên hình khối

Q(x,y,z)=x3+y3+z3−3xyz?Q(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz?

  1. Trong một hình thang đều, đường chéo vuông góc với một cạnh, đáy lớn hơn là aa, tổng của đáy nhỏ và cạnh đó là 3a/4. Tìm cơ sở nhỏ hơn.

  2. Qua đỉnh AA của một tứ diện đều ABCDABCD, có cạnh bằng aa, vẽ một mặt phẳng song song với CDCD. Biết rằng tiết diện của tứ diện AEFAEF bằng mặt phẳng là một tam giác có chu vi pp. Tìm ∣BE∣|BE|.

Tùy chọn 3
(Khoa Vật lý)

  1. Khi hai hạt va chạm, chuyển động hướng về phía nhau, là kết quả của sự hợp nhất và phân tách sau đó, một loạt hạt mới có tổng khối lượng MM được giải phóng. Được biết, các hạt mới được tách ra theo các hướng khác nhau tạo thành một góc aa với hướng chuyển động của một trong các đỉnh của các hạt đỉnh và phần thứ hai này có xung lực PP trước khi va chạm. Xác định tốc độ hợp nhất thấp nhất có thể của các hạt va chạm.

  2. Giải phương trình

ctgx+sin⁡2x=ctg3x.\text{ctg} x + \sin 2x = \text{ctg} 3x.

  1. Giải hệ phương trình

{log⁡x(y9)+3xy(x+9)=0,(y−2)−1=(y−2)−log⁡9(x+8).\begin{cases} \log_x \left(\frac{y}{9}\right) + \frac{3x}{y(x + 9)} = 0, \\ (y - 2)^{-1} = (y - 2)^{-\log_9(x + 8)}. \end{cases}

  1. Các đỉnh của hình vuông này nằm trên đường viền của hình vuông thứ hai. Tìm tỉ số độ dài của các đoạn mà các đỉnh này chia các cạnh của hình vuông thứ hai, nếu biết tỉ số diện tích của các hình vuông là pp.

  2. Một paramid tam giác đều được nội tiếp trong một hình trụ sao cho một trong các cạnh bên của nó là đường sinh của hình trụ. Tìm thể tích của paramid theo bán kính RR của đáy hình trụ và theo độ lớn của góc cung aa ở cạnh bên của paramid.

Tùy chọn 4
(khoa hóa học)

  1. Hai thanh đồng ở giữa có trọng lượng như nhau. Mỗi cái được gắn với nhau bằng cùng một lượng đồng như cái kia. Kết quả là hai phiếu mới có tỷ lệ trọng lượng là 6/7 và tỷ lệ mẫu là 7/8. Các vấn đề của phiếu tương tự đầu tiên là gì? (Cỡ mẫu là tỷ lệ giữa trọng lượng của kim loại quý trên tổng trọng lượng của phiếu.)

  2. Giải phương trình

55

x−log⁡39=1−log⁡31+32(1−x).x - \log_3 9 = 1 - \log_3 \sqrt{1 + 3^{2(1-x)}}.
3. Với aa trong tập lời giải các bất đẳng thức
x+x2−2ax>1x + \sqrt{x^2 - 2ax} > 1
chứa khoảng [14,1][\frac{1}{4}, 1]?

  1. Giải phương trình
    2(cos⁡4x+sin⁡xsin⁡2x+sin⁡4x)=cos⁡x−sin⁡22x+4cos⁡2x.2(\cos^4 x + \sin x \sin 2x + \sin^4 x) = \cos x - \sin^2 2x + 4 \cos 2x.
  2. Trong ví dụ về tứ giác đều, góc nhị diện ở đáy là aa và độ dài cạnh đáy là aa. Tìm thể tích của ví dụ bị cắt khỏi ví dụ đã cho bởi một mặt phẳng đi qua cạnh đáy một góc φ\varphi với mặt phẳng đáy.

Tùy chọn 5
(Khoa Selolosis và địa lý)

  1. Chiếc xe đã đi với tốc độ không đổi từ điểm AA đến điểm BB, cách AA 75 km. Sau đó anh ta lái xe trở lại với tốc độ tương tự, nhưng 2 giờ sau khi rời điểm BB anh ta buộc phải dừng lại trong 45 phút. Sau đó, spenestrict sẽ tiếp tục hành trình, tăng tốc độ thêm 5 km/h. Tìm vận tốc ban đầu của người đi xe đạp nếu biết rằng thời gian trên đường về của người đó là bằng nhau như khi đi từ AA đến BB.

2.1 (Đối với Khoa Địa chất). Giải phương trình
cos⁡3x−sin⁡6x+sin⁡2x−cos⁡7x=0.\cos 3x - \sin 6x + \sin 2x - \cos 7x = 0.
2.2 (Đối với Khoa Địa lý). Trên khoảng [0; π] giải phương trình
cos⁡3x−sin⁡6x−cos⁡7x−2sin⁡2x=0.\cos 3x - \sin 6x - \cos 7x - 2 \sin 2x = 0.
3. Giải bất đẳng thức
2+log⁡29⋅log⁡1/3x<2.\sqrt{2 + \log_2 9} \cdot \log_{1/3} x < 2.
4. Trong một hình thang đều ABCDABCD, đường chéo [AC][AC] vuông góc với cạnh bên [CD][CD]. Tìm ∣BC∣|BC| nếu biết rằng ∣AD∣=a|AD| = a, ∣AB∣2+∣BC∣2=11a2/16|AB|^2 + |BC|^2 = 11a^2/16.

  1. Mỗi góc nhị diện của một góc tam diện đều bằng aa. Điểm cách đỉnh của một góc tam diện nằm bên trong góc đó một khoảng cách aa là bao nhiêu?

Tùy chọn 6
(Thư viện khoa Bưu điện)

  1. Khoảng cách giữa hai thành phố là 480 km. Tàu khách sẽ đi quãng đường này nhanh hơn tàu hàng 4 giờ. Nếu tốc độ tàu khách tăng 8 km/h và tốc độ tàu hàng tăng 2 km/h thì tàu khách sẽ nhanh hơn tàu hàng 5 giờ trên toàn bộ quãng đường.

2.1 (Đối với bộ môn sinh học). Giải phương trình
cos⁡3x−3cos⁡2x+cos⁡x=2cos⁡(x2+π4)sin⁡(3x2−π4).\cos^3 x - 3 \cos^2 x + \cos x = 2 \cos \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \sin \left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right).
2.2 (Đối với bưu điện). Giải phương trình
3sin⁡2x+5cos⁡2x=2(1+sin⁡2x).3 \sin^2 x + 5 \cos^2 x = 2 (1 + \sin 2x).
3.1 (Đối với bộ môn sinh học). Giải phương trình
log⁡3x−5(3−x)=−2+log⁡3−x(14x−3x2−15).\log_{\sqrt{3x-5}} (3-x) = -2 + \log_3 - x (14x - 3x^2 - 15).
3.2 (Đối với bưu điện). Giải phương trình
log⁡3x−5(3−x)=−2+log⁡3−x(14x−3x2−15).\log_{\sqrt{3x-5}} (3-x) = -2 + \log_3 - x (14x - 3x^2 - 15).

(13)log⁡22x+1=92−log⁡2x3.\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_2^2 x + 1} = 9^2 - \log_2 x^3.
4. Qua một điểm nằm trong góc, vẽ một đường thẳng sao cho tổng độ dài các đoạn cắt khỏi các cạnh của góc của đường thẳng này là nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất này của tổng.
5. Đáy của ví dụ là một tam giác đều, các cạnh bằng bb và góc giữa chúng bằng aa. Hai mặt bên đi qua các cạnh của đế được phân bố lại về phía đế và mặt thứ ba nghiêng về phía đó một góc aa. Xác định bán kính của hình cầu được ghi trong ví dụ.

Vật lý
Bài thi viết
Khoa Vật lý
Tùy chọn 1

  1. hình 1 cho thấy hai khối lập phương giống hệt nhau có khối lượng MM mỗi khối. Một lực ngang FF tác dụng vào giữa hòn đá không trọng lượng gắn với chúng tại các điểm AA và BB. Ở giá trị nào của FF khối trên sẽ đứng yên nếu khối dưới quay trên bề mặt? Hệ số ma sát giữa các khối là μμ và ACB=2aACB = 2a.
  2. Các piston của hai xi lanh cố định giống hệt nhau được gắn chặt với nhau sao cho thể tích dưới các piston bằng nhau (hình 2). Một xi lanh chứa oxy và xi lanh thứ hai chứa nitơ. Khối lượng các khí bằng nhau. Lúc đầu nhiệt độ của chúng bằng nhau. Khi đó nhiệt độ của oxy tăng gấp đôi và áp suất của nó thay đổi theo định luật pV2=constpV^2 = \text{const}. Nhiệt độ nitơ không thay đổi. Xác định sự thay đổi tương đối của áp suất bên ngoài, áp suất khí và thể tích chúng chiếm giữ. Khối lượng mol của oxy là M1=32M_1 = 32 kg/kmol và của nitơ là M2=28M_2 = 28 kg/kmol. Khí được coi là lý tưởng và piston được coi là không trọng lượng.
  3. Các giá trị EMF và điện trở trong rr của nguồn hiện tại phải thỏa mãn điều kiện nào để có thể xác định được chúng bằng cách sử dụng hai vôn kế giống hệt nhau có giới hạn đo UU và điện trở trong RR?
  4. Trong tâm trí thường ngày, các vật thể có vẻ bị biến dạng khi nhìn trong gương từ xa. Nếu bạn quan sát bằng trái tim thì đồ vật dường như không bị bóp méo. Giải thích tại sao?
  5. Câu hỏi lý thuyết: chuyển giao.

Tùy chọn 2

  1. Một vật thể đồng nhất có khối lượng MM ở dạng song song ở các cạnh aa và bb sẽ tích tụ trên một bề mặt nằm ngang (hình 3). Khối lượng nào phải được đưa vào sợi dây, ném qua khối để vật trượt dọc theo bề mặt? Hệ số ma sát bề mặt μμ. Bán kính của khối cũng như khối lượng của khối và ren đều không đáng kể.
  2. Các pít-tông của hai xi-lanh giống hệt nhau được nối chắc chắn sao cho thể tích dưới các pít-tông bằng nhau (xem hình 2). Các bình chứa một loại khí lý tưởng và trong xi lanh thứ hai khối lượng của nó lớn hơn NN lần so với xi lanh thứ nhất và nhiệt độ tự nhiên bằng nhau. Áp lực bên ngoài nn lần. Để thể tích khí chiếm giữ không đổi,