Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

54

Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1
(факультет прикладной математики — процессов управления)

1. Частоты $x, y$ генов $a, b$ соответственно преобразуют в результат одного типа отбора в новые частоты

$$x' = \frac{x(kx + y)}{kx^2 + 2xy + ky^2}, \quad y' = \frac{y(x + ky)}{kx^2 + 2xy + ky}$$

генов $a, b$ следующого поколения. Определить первоначальные частоты, если известно, что коэффициент приспособления $k = 1/2$, а в следующем поколении на каждые 40 генов $a$ приходит 33 генов $b$.

2. Решить уравнение

$$\cos 3x = -\cos x \text{ ctg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \text{ ctg}\left(x + \frac{2\pi}{3}\right).$$

3. При каком значении $b \in [0; 1]$ максимальная абсолютиная погрешность приближенной формулы

$$\sqrt{x} \approx b \left(\frac{3}{8} + \frac{3}{4} x - \frac{x^2}{8}\right) + (1 - b) \left(\frac{3}{4} + \frac{3}{8} x - \frac{x^2}{64}\right)$$

на промежутке [1; 4] будет наименьшей?

4. В окружность радиуса $R$ висcanаровосторонний треугольник. Найти на окружности точку, для которого сумма расстояний до двух ближайших вершин треугольника есть данная величины $L$.

5. Шар радиуса $R$ и окружность радиуса 5/4 $R$ имеет общий центр $O$. Точка $A$ расположена в пространстве так, что $|AO| = 5R/4$ и множество точки данной окружности, которые можно соединить с $A$ прямой, не пересекающей с шаром, есть дуга, соответствующая центральному углу $a$. Найти угол между $OA$ и плоскостью, содержащей данную окружность.

Вариант 2
(mатематiko-механический факультет)

1. На промежутке $[\frac{1}{4}, 10]$ определить наиболее значение абсолютиной погрешности приближенного вычисления $y = \sqrt{x}$ по следующему правилау: если $(k - 1)^2 \leq x < k^2$ ($k = 1, 2, \dots$), то

$$\sqrt{x} \approx \frac{3}{8} k + \frac{3x}{4k} - \frac{x^2}{8k^3}.$$

2. Решить уравнение

$$\sin 4x(2 + \sin 14x) = 2 \text{ ctg} 3x \cdot \cos 4x.$$

3. При каком условия на коэффициенты $a, b$ линейная замена

$$x = aY + bZ, \quad y = aZ + bX, \quad z = aX + bY$$

оставляет неизменной кубичесу форму

$$Q(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz?$$

4. В равноведренной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне, большее основание равно $a$, а сумма меньшего основания и боковой стороны равна 3a/4. Найти меньше основание.

5. Через вершину $A$ правильного tetraэдра $ABCD$, ребро которого равно $a$, проведена плоскость, параллельная $CD$. Известно, что сечение $AEF$ tetraэдра плоскостью есть треугольник перimetра $p$. Найти $|BE|$.

Вариант 3
(физический факультет)

1. При стольновении двух частц, движущихся навстречу друг другу, в результате слияния и последующero расшпленения роздается серия новых частц общей массы $M$. Известно, что новые частцы разделяются в различных направлениях, составляющих угол $a$ с направлением движения одной из вершин из вершинычных частц, причем эта вторая часть до стольновения имела импульс $P$. Определить наименьшую из возможных скоростей слияния сталькиающся частц.

2. Решить уравнение

$$\text{ctg} x + \sin 2x = \text{ctg} 3x.$$

3. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} \log_x \left(\frac{y}{9}\right) + \frac{3x}{y(x + 9)} = 0, \\ (y - 2)^{-1} = (y - 2)^{-\log_9(x + 8)}. \end{cases}$$

4. Вершины одного квадрата лежат на границе второго квадрата. Найти отношения длины отрезков, на которые эти вершины разбиают стороны второго квадрата, если известно, что отношение площадей квадратов равно $p$.

5. В цилиндр вписана правильная треугольная парамида так, что одно из ее боковых ребер есть образующая цилиндра. Найти объем парамиды по радиусу $R$ основания цилиндра и по величины дугранного угла $a$ при боковом ребре парамиды.

Вариант 4
(xимический факультет)

1. Два слипка с середина с медью имеет одинаковый вес. Каждый из них слипляют с таким количеством меди, какое имеет в другом. В результате получаются два новых слипка, относение весов которых равно 6/7, а относение проб — 7/8. Каковы проблемы первого аналогичных слипков? (Проба слипае есть отношение веса благородного металла к общему весу слипа.)

2. Решить уравнение

55

$$x - \log_3 9 = 1 - \log_3 \sqrt{1 + 3^{2(1-x)}}.$$
3. Для каких $a$ в множестве решений неравенства
$$x + \sqrt{x^2 - 2ax} > 1$$
содержится промежуток $[\frac{1}{4}, 1]$?

4. Решить уравнение
   $$2(\cos^4 x + \sin x \sin 2x + \sin^4 x) = \cos x - \sin^2 2x + 4 \cos 2x.$$
5. В правильной четырехугольной примере двугранный угол при основании равен $a$, а длина стороны основания равна $a$. Найти объем примеры, отсекаемой от данной примеры плоскостью, проходящей через сторону основания под углом $\varphi$ к плоскости основания.

Вариант 5
(зелолозический и географический факультеты)

1. Велиспедент отправился с некоторой постоянной скоростью из пункта $A$ в пункт $B$, отстоящий от $A$ на 75 км. Затем он выехал обратно с той же скоростью, но через 2 часа после выезда из пункта $B$ был вынужден остановиться на 45 минут. После этого выспенестrict продолжит путь, увеличив скорость на 5 км/ч. Найти первоначальную скорость велиспедента, если известно, что на обратный путь он затратил столько же времени, что и на путь от $A$ до $B$.

2.1 (Для геологического факультета). Решить уравнение
$$\cos 3x - \sin 6x + \sin 2x - \cos 7x = 0.$$
2.2 (Для географического факультета). На промежутке [0; π] решить уравнение
$$\cos 3x - \sin 6x - \cos 7x - 2 \sin 2x = 0.$$
3. Решить неравенство
$$\sqrt{2 + \log_2 9} \cdot \log_{1/3} x < 2.$$
4. В равноведенной трапеции $ABCD$ диагональ $[AC]$ перpendикулярна к боковой стороне $[CD]$. Найти $|BC|$, если известно, что $|AD| = a$, $|AB|^2 + |BC|^2 = 11a^2/16$.

5. Каждый из двугранных углов трехгранного угла равен $a$. Как удалена от вершины трехгранного угла точка, которая находится внутри угла на расстоянии $a$ от каждой ребра?

Вариант 6
(библиотека почтовый факультет)

1. Расстояние между двумя городами равно 480 км. Пассажирский поезд продолжит это расстояние на 4 ч скорее, чем товарный. Если скорость пассажирского поезда увеличить на 8 км/ч, а скорость товарного — на 2 км/ч, то пассажирский поезд будет все расстояние на 5 ч быстрее товарного.

2.1 (Для отделения биологии). Решить уравнение
$$\cos^3 x - 3 \cos^2 x + \cos x = 2 \cos \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \sin \left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right).$$
2.2 (Для отделения почтовения). Решить уравнение
$$3 \sin^2 x + 5 \cos^2 x = 2 (1 + \sin 2x).$$
3.1 (Для отделения биологии). Решить уравнение
$$\log_{\sqrt{3x-5}} (3-x) = -2 + \log_3 - x (14x - 3x^2 - 15).$$
3.2 (Для отделения почтовения). Решить уравнение
$$\log_{\sqrt{3x-5}} (3-x) = -2 + \log_3 - x (14x - 3x^2 - 15).$$

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_2^2 x + 1} = 9^2 - \log_2 x^3.$$
4. Через данную точку, лежащую внутри угла, проведи прямую так, чтобы сумма длины отрезков, отсекаемых от сторона угла этой прямой, была наименьшей. Вычислить это наименьшее значение суммы.
5. Основанием примеры служит равноведенный треугольник, боковые стороны которого равны $b$, а угол между ними равен $a$. Две боковые грани примеры, проходящие через стороны основания, перепределились к основанию, а третья грань наклона к нему под углом $a$. Определить радиус шара, вписанного в примеру.

Физика
Писменный экзамен
Физическая факультет
Вариант 1

1. На рисунке 1 изображены два одинаковых кубика массой $M$ каждый. К середине неевесомойниты, прикрепленной к ним в точках $A$ и $B$, приложена горизонтальная сила $F$. При каких значениях $F$ верхий кубик будет неподвижен, если нижний же кружелен на поверхности? Козффициент трения между кубиками $μ$, а $ACB = 2a$.
2. Поршни двух одинаковых неподвижных цилиндров жестко скреплены между собой так, что объемы под поршнями одинаковы (рис. 2). В одном цилиндре находится кислород, а во втором — азот. Массы газов равны. В начальной момент равны и их температуры. Затем температура кислорода повышается в два раза, а его давление меняется по закону $pV^2 = \text{const}$. Температура азота остается неизменной. Определите относительные изменения внешнего давления, давления газов и объемов, которые они занимают. Молярная масса кислорода $M_1 = 32$ кг/кмоль, а азота $M_2 = 28$ кг/кмоль. Газы считать идеальным, а поршни — неевесомыми.
3. Каким условием должны удовлетворять значения ЭДС и внутреннего сопротивления $r$ источника тока, чтобы их можно было определить, имея в распоряжении два одинаковых волтметра с пределом измерения $U$ и внутренним сопротивлением $R$?
4. В общном бытовом сердце предметы кажутся искаженными, если смотреть в зerkало издали. Если же сердко находится на наблюдаете, то предметы не кажутся искаженными. Объясните, почему?
5. Теоретический вопрос: кппение.

Вариант 2

1. Одинородное тело массой $M$ в виде параллелепида со стороны $a$ и $b$ покопится на горизонтальной поверхности (рис. 3). Груз какой массы неодномимо подвести к нити, перекинуто через блок, чтобы нахалось скольжение тела по поверхности? Козффициент трения о поверхности $μ$. Радиус блока, а также массы блока и нити пребрежимо малы.
2. Поршни двух одинаковых цилиндров жестко связаны так, что объемы под поршнями равны между собой (см. рис. 2). В сосудах находится идеальный газ, причем во втором цилиндре его масса в $N$ раз больше, чем в первом, а наальные температуры равны. Внешнее давление в $n$ раз. Чтобы оставить объемы, занимаемые газами, неизменны-