О функциях распределения

8

О функциях распределения

(или Как поливать огород при помощи ветра)

Доктор технических наук
А. Л. СТАСЕНКО

«На платформе, в окидании поезда, пассажиры должны размешаться равномерно по длине поезда…»
(Из «Правил пользования Московским метрополитеном им. В. И. Ленина»)

Фраза из эпиграфа, «житейский» смысл которого в полне ясен, приводит на память широко распространенное в физике понятие функции распределения. С функциями распределения мы сталиваемся при решении теоретических и практических задач, в которых рассматриваются системы с большим числом частц. Чтобы проведти аналогию между требованием «Правил» и понятием функции распределения, «переведем» эпиграф на языке математики.

Разобем платформу (точнее, ту ее часть, возле которой останавливается поезд) последовательно на участки длины $\Delta x_1$, $\Delta x_2$, …, $\Delta x_k$, …, $\Delta x_m$. Обозначим числа пассажиров, стоящих в ожидании поезда на каждом из участков, через $\Delta n_1$, $\Delta n_2$, …, $\Delta n_k$, …, $\Delta n_m$. Тогда «Правила» требуют, чтобы отношение $\Delta n_i$ к $\Delta x_i$ было одним и тем же для любого $i=1, 2, ..., k, ..., m$, то есть

$$\frac{\Delta n_i}{\Delta x_i} = f_0 = \text{const.}$$

Мы обозначили это отношение буквой $f$, чтобы подчернуть, что вообще-то это может быть и какая-то функция от $x$; но в данном случае, при хорошем поведении граждан на платформе, эта функция должна быть постоянной ($f_0$). На рисунке 1 приведен ее график — прямая линия.

Но вот подошел поезд, и еще до того, как откроются двери варонов, около них собираются «грузки» граждан. Тогда их распределение вдоль платформы уже не равномерно, и его можно качественно представить в виде кривой $f(x)$, как на рисунке 1. Если число граждан за время ожидания поезда не изменилось, этот факт должен как-то отражаться на этих двух графиках. Действительно, во время ожидания на каждом участке $\Delta x_i$ платформы, согласно (1), число граждан было равно

$$\Delta n_i = f_0 \cdot \Delta x_i;$$

значит, чтобы найти полное число пассажиров на всей платформе, нужно сложить их количество на каждом участке. Получим

$$N = \sum_{i=1}^{m} \Delta n_i = \sum_{i=1}^{m} f_0 \cdot \Delta x_i = f_0 \sum_{i=1}^{m} \Delta x_i = f_0 \cdot L,$$

где $L$ — длина платформы. Как видно из рисунка 1, $f_0$ Л есть площадь прямого движения $f_0$ и длины $L$. И это есть полное число пассажиров $N$. Когда после подхода поезда распределение по платформе изменилось и стало неокоторой функцией $f(x)$, сумма всех величины $f(x_i) \cdot \Delta x_i$ — это тоже площадь под кривой $f(x)$ и по-прежнему это полное число граждан $N$:

$$\sum_i f(x_i) \cdot \Delta x_i = N.$$

Просто равше $f(x)$ была постоянной $f_0$, и в формуле (2) мы ее вынесли за знак суммы, а теперь этого следует нельзя — на каждом участке $\Delta x_i$

9

свое число граждан (они перераспределились).

«Ба! — воскликнет математик (он просто обязаан так воскликнуть), — да ведь то, что написано в (1), в пределе, когда отрезки $\Delta x_i$ становятся все меньше и меньше, переходит в то, что называется производной от $n$ по $x$:

$$f(x_i) = \lim_{x_i \to 0} \frac{\Lambda n_i}{\Lambda x_i} = \frac{dn}{dx},$$

а то, что написано в (3), — в интеграл от $f(x)$ по всей длине $L$ платформы:

$$N = \lim_{x_i \to 0} \sum_{i=1}^{m} f(x_i) \Delta x_i = \int_0^L f(x) dx.$$

И, воскликнуть так, он будет совершенно прав.

Итак, распределение граждан по платформе в ожидании поезда можно описать функцией $f(x) = \frac{dn}{dx}$, которое естественно так и называть: функция распределения пассажиров по длине платформы.

Теперь, возможно, воскликнет читатель: «Да ведь этак можно самую общковенную скорость материальной точки, то есть производную от перемещения по времени —

$$\vec{v} = \frac{\vec{ds}}{dt} = \lim_{t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t},$$

— называть распределением смесений точки во времени; ускорение —

$$\vec{a} = \frac{\vec{dv}}{dt} = \lim_{t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

— распределением скоростей во времени; а общковенную плотность вещества, то есть производную от массы по объему —

$$\varrho = \frac{dm}{dV} = \lim_{V \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta V},$$

— распределением массы по объему!?» Все это так, и все же слова «распределение» несет в физике и в быту свою смысловой нагрузку. Говорят, например, о распределении молекул газа по модулю скорости ($\frac{dn}{dv} \frac{\text{молекул}}{\text{м/с}}$); о распределении продуктов среди населения ($\frac{dm}{dn} \frac{\text{кг}}{\text{человек}}$), а не о производной от массы продуктов по числу граждан; о распределении школьников по возрасту ($\frac{dn}{dt} \frac{\text{школьников}}{\text{лет}}$). Наверное, где-то в 10 классе это, последнее, распределение имеет вид, изображенный на рисунке 2: максимум функции $f(t)$ соответствует (приблизительно) 17 годам; маловерятно встречается в 10 классе кого-либо (далее очень способного) из детского сада или в пенсионном возрасте — поэтому функция распределения довольно быстро стремится к нулю по обе стороны от максимального значения.

Очень интересна (особенно, наверное, для десятиклассников) функция распределения абитриентов по числу задач, решенных им на вступительных экзаменах. Как правило, эта функция графиски может быть представлена либо кривой I, либо кривой II на рисунке 3. Если это кривая I, то ее минимум в точке A легко позволяет установить «цену» удовлетворительной оценки — все, кто следа от точки A, не проходит. Если же это кривая II, то экзаменатором приходится думать, какое число решенных задач считать достаточно для удовлетворительной оценки.

Важность функций распределения в физике поддерживает и тот факт,

10

Что многое из них связаны с изменениями замечательных ученых: есть, например, распределения Большмана и Максвелла (молекул газа по скоростям), распределение Планка (квантовизлучения по их частотам), распределение Ферми (электрон по энергиям).

Тепер, научившись понимать смысл функций распределения, решим одну полезную задачу. Предположим, нам нужно равномерно полить водой горизонтальной участок земли, скажем, большой огород или поле. Конечно, это можно сделать с помощью ведер или леек, так сказаны, «пешком»; можноездить между градками на тракторе, основанием спецальным агрегатом — поперечной трубой с отверстиями и форсунками, в которой подается вода (так устройны «фрегаты», которые часто можно видеть в полях). Но мы попробуем использовать ветер, который почти всегда дует в больших открытых пространствах.

Расположим горизонтальную трубку, сабженную форсунками, на высоте $h$ над землей. По этой трубе под давлением подается вода, которая «распыляется» на капли, летящие во всех направлениях. Радиусы капель могут быть различными, причем, мы можем управлять набorem капель, то есть функцией их распределения по собственным радиусам ($f(r) = \frac{dn}{dr}$).

Наша задача: найти какой должа бытей функции $f(r)$, чтобы орошаемая площадь поливалась равномерно (то есть на любые участки одинаковых площадей попадали одинаковые массы воды).

Прежде всего нам надо разобраться, как будут двигаться вылетящие из трубы капли. Конечно, все они имеют какую-то начальную скорость; но если капли достаточно мелкие, они быстро затормятся в воздухе и, в отсутствие ветра, осудут под самой трубой на узкую полоску земли, паралельную трубе. Чтобы посянить сказанное, рассмотрим каплю радиуса $r$, выброшенную из трубы вертикальной визз. Движение капли в дальнейшем происходит под действием силы тяжести $mg$ и силы сопротивления $f_c$ со стороны воздуха. Сила сопротивления $f_c$ зависит от скорости капли и от ее радиуса — она тем больше, чем больше $v$ и чем больше $r$, в частности, для мелких капель $f_c = bvr$, где $b$ — некоторый коэффициент пропорциональности. (Эту силу называют силой Стокса — по имени английского физика и математика XIX века Дж. Стокса, исследовавшего движение тел в вззой среде. Такая зависимость $f_c(v, r)$ верна как раз для очень низких условий с изменениями замечательных ученых: есть, например, распределения Большмана и Максвелла (молекул газа по скоростям), распределение Планка (квантовизлучения по их частотам), распределение Ферми (электрон по энергиям).

Тепер, научившись понимать смысл функций распределения, решим одну полезную задачу. Предположим, нам нужно равномерно полить водой горизонтальной участок земли, скажем, большой огород или поле. Конечно, это можно сделать с помощью ведер или леек, так сказаны, «пешком»; можноездить между градками на тракторе, основанием спецальным агрегатом — поперечной трубой с отверстиями и форсунками, в которой подается вода (так устройны «фрегаты», которые часто можно видеть в полях). Но мы попробуем использовать ветер, который почти полностью впервые дует в больших открытых пространствах.

Расположим горизонтальную трубку, сабженную форсунками, на высоте $h$ над землей. По этой трубе под давлением подается вода, которая «распыляется» на капли, летящие во всех направлениях. Радиусы капель могут быть различными, причем, мы можем управлять набorem капель, то есть функцией одинаковых площадей попадали одинаковые массы воды).

Прежде всего нам надо разобраться, как будут двигаться вылетящие из трубы капли. Конечно, все они имеют какую-то начальную скорость; но если капли достаточно мелкие, они быстро затормятся в воздухе и, в отсутствие ветра, осудут под самой трубой на узкую полоску земли, паралельную трубе. Чтобы посянить сказанное, рассмотрим каплю радиуса $r$, выброшенную из трубы вертикальной визз. Движение капли в дальнейшем происходит под действием силы тяжести $mg$ и силы сопротивления $f_c$ со стороны воздуха. Сила сопротивления $f_c$ зависит от скорости капли и от ее радиуса — она тем больше, чем больше $v$ и чем больше $r$, в частности, для мелких капель $f_c = bvr$, где $b$ — некоторый коэффициент пропорциональности. (Эту силу называют силой Стокса — по имени английского физика и математика XIX века Дж. Стокса, исследовавшего движение тел в вззой среде. Такая зависимость $f_c(v, r)$ верна как раз для низких условий с изменениями замечательных ученых: есть, например, распределения Большмана и Максвелла (молекул газа по скоростям), распределение Планка (квантовизлучения по их частотам), распределение Ферми (электрон по энергиям).

Тепер, научившись понимать смысл функций распределения, решим одну полезную задачу. Предположим, нам нужно равномерно полить водой горизонтальной участок земли, скажем, большой огород или поле. Конечно, это можно сделать с помощью ведер или леек, так сказаны, «пешком»; можноездить между градками на тракторе, основанием спецальным агрегатом — поперечной трубой с отверстиями и форсунками, в которой подается вода (так устройны «фрегаты», которые часто можно видеть в полях). Но мы попробуем использовать ветер, который почти полностью впервые дует в больших открытых пространствах.

Расположим горизонтальную трубку, сабженную форсунками, на высоте $h$ над землей. По этой трубе под давлением подается вода, которая «распыляется» на капли, летящие во всех направлениях. Радиусы капель могут быть различными, причем, мы можем управлять набorem капель, то есть функцией одинаковых площадей попадали одинаковые массы воды).

Прежде всего нам надо разобраться, как будут двигаться вылетящие из трубы капли. Конечно, все они имеют какую-то начальную скорость; но если капли достаточно мелкие, они быстро затормятся в воздухе и, в отсутствие ветра, осудут под самой трубой на узкую полоску земли, паралельную трубе. Чтобы посянить сказанное, рассмотрим каплю радиуса $r$, выброшенную из трубы вертикальной визз. Движение капли в дальнейшем происходит под действием силы тяжести $mg$ и силы сопротивления $f_c$ со стороны воздуха. Сила сопротивления $f_c$ зависит от скорости капли и от ее радиуса — она тем больше, чем больше $v$ и чем больше $r$, в частности, для мелких капель $f_c = bvr$, где $b$ — некоторый коэффициент пропорциональности. (Эту силу называют силой Стокса — по имени английского физика и математика XIX века Дж. Стокса, исследовавшего движение тел в вззой среде. Такая зависимость $f_c(v, r)$ верна как раз для низких условий с изменениями замечательных ученых: есть, например, распределения Большмана и Максвелла (молекул газа по скоростям), распределение Планка (квантовизлучения по их частотам), распределение Ферми (электрон по энергиям).

Тепер, научившись понимать смысл функций распределения, решим одну полезную задачу, с постоянной скоростью $u$. Можно показать, что и в этом случае, какова бы ни была начальная скорость выбрасываемых мелких капель, все они быстро вовлекаются в горизонтальное скорость $u$ и в вертикальное скорость $v = a r^2$. Поскольку оба движения капли — падание и перенос ветром — равномерные, все капли будут двигаться по прямым прямым (рисунок 4).

Время движения до земли тем больше, чем меньше радиус капли: $t(r) = \frac{h}{v(r)} = \frac{h}{a r^2}$, так что мелкие капли (радиуса $r_1$) упадут на землю для этого и источника, чем более крупные (радиуса $r_2 > r_1$):

$$x(r) = u \cdot t(r) = u \frac{h}{a r^2}.$$ (4)

На какой участок $\Delta x$ упадут все капли, радиусы которых отличаются от данного $r$ на малую величину $\Delta r$? Поскольку, как видно из (4), $\Delta x / \Delta r = -\left(u \frac{2h}{a}\right) \frac{1}{r^3}$ (мы продолжимференцировали функцию $x(r)$),

$$\Delta x = -\left(u \frac{2h}{a}\right) \frac{1}{r^3} \cdot \Delta r$$

(знак «минус» готовит об уже известном нам факте: если радиус капли больше $r$ ($\Delta r > 0$), она упадет ближе к источнику ($\Delta x < 0$), и наоборот).