Формула площади сегмента

46

Ф912. В катушке из сверхпроводашего провода создают постоянный ток, подключаемый к источнику тока через ключ $K_1$ (см. рисунок). После этого к концу катушки подключаются батарею из двух одинаковых конденсаторов, включенных параллельно. Ключ $K_1$ размыкают, после чего ток начинает течь через конденсаторы, заряжая их. В момент времени, когда напряжение на конденсаторов максимально, а ток равен нулю, двойной ключ $K_2$ перебрасывается подложенная 1 в подложение 2, так что конденсаторы оказываются включенными последовательно, а напряжение на катушке удваивается. Поскольку индуктивность катушки не изменилась, а напряжение возросло, максимальный ток через катушка, а значит, и запасенная энергия будет больше первого аналогичных. Найдите ошибку в приведенных расчедениях.

Формула плошади сегмента

Площадь сегмента $AnB$ (рис. 1) можно найти по формуле

$$S_{\text{сегм}} = \frac{\pi R^2}{360^\circ} \cdot a - \frac{R^2}{2} \sin a,$$

(1)

где центральный угол $\alpha$ выражен в градусах; или, если этот же угол в радианах равен $\varphi$, по формуле

$$S_{\text{сегм}} = \frac{R^2}{2} (\varphi - \sin \varphi).$$

(2)

Формулу (1) легко вывести: площадь сегмента $AnB$ равна разности плошадей сектора $OAnB$ ($\frac{\pi R^2}{360^\circ} \cdot a$, то есть площадь сектора в один градус, умноженная на количество градусов) и треугольника $OAB$ ($\left(R^2/2\right) \sin a$).

Эта полезная формула замещает тем, что она верна не только для случая, когда $\alpha < 180^\circ$ (как на рисунке 1), но и при любых $\alpha$, в том числе $\alpha \ge 180^\circ$ (рис. 2, 3). Действительно, при $\alpha > 180^\circ$ (рис. 2) к плошади сектора $OAnB$ нужно прибавить площадь треугольника $OAB$, но в этом случае $\sin \alpha < 0$ и формула (2) снова дает правильный ответ! Случай $\alpha = 180^\circ$ тоже подходит под формулу (2), так как тогда $\sin \alpha = 0$, а площадь вырожденного треугольника $OAB$ равна нулю (рис. 3).

При перехождение угол $\alpha = 180^\circ$ знак синуса изменяется с плоса на минус; на рисунке это как раз ответет тому, что затрихованные фигуры нужно не вычитать, а складывать. Подобный же эффектив наблюдается в теореме косинусов, когда знак меняется при перехождение угол $\gamma = 90^\circ$.

В. С. Эппель