Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина

56

ми, пришлось изменить температуру. Как изменилась температура газа во втором цилиндре, если в первом изменилась в $m$ раз? Поршни можно считать неевесомыми.

3. Каким условия должны удовлетворять ЭДС и внутреннее сопротивление $r$ двух одинаковых источников тока, чтобы их можно было определить, используя один волтметр с пределом измерения $U$ и внутренним сопротивлением $R$?

4. Узкий параллельный пучок света от лазера, распространяющийся в воде, фокусируется на экран, находящейся на расстоянии $F$ от собирающей линии. На пути пучка до линии на расстоянии $a$ от нее оказывается пузейк воздуха в виде сферы радиуса $r$, который много меньше расстояния $a$, но много больше радиуса пучка. Куда следует переместить экран, чтобы вновь увидеть на нем точку?

5. Теоретический вопрос: фотоэфект.

Задание устного экзамена

Математiko-механический факультет, факультет прикладной математики — процессов управления, химический и геологический факультеты

1. Тело плавает в воде так, что под водой находится 1/3 часть его объема. Какая часть тела оказывается погруженной в воду, если сосуд с водой, в котором плавает тело, будет двигатся вверх с укорением $a$?

2. Стеклянный балон был взведен трижды: а) откачанный, б) заполненый воздухом при нормальном атмосферном давлении, в) заполненый неизвестным газом при давлении $p=1,5$ атм. Показания весов соответствующего были равными $m_1=200$ г, $m_2=204$ г, $m_3=210$ г. Теоретическая оставалась постоянной. Определите молярную массу газа.

3. В цилиндре под поршнем находится неокторая масса идеального газа при температуре $t=30^\circ\text{C}$, занимающая при давлении $p=2$ атм объем $V=8$ л. На сколько попизialize температура газа, когда объем его уменшился при неизменном давлении настолько, что при этом была совершена работа $A=50$ Дж?

4. В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью $\vec{v} (v=2 \cdot 10^7 \text{ m/c})$, направленной параллельно обкладкам конденсатора. На какое расстояние от своего первоначального направления сметится электрон за время полета внутри конденсатора, если расстояние между пластинами $d=2$ см, длина конденсатора $L=5$ см и разность потенциаль между пластинами $U=200$ В? Отношение заряда электрона к его массе составляет $e/m=1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг.

5. От источника с напряжением $U=750$ В необходимо передать мощность $P=5$ кВт на неокторе расстояние. Какое наиболее сопротивление может иметь линяя передачи, чтобы потери мощности в ней не превышали 10 %

от передаваемой мощности, то есть мощности, дошедшей до потребителя?

6. Две лины с фокусным расстоянием $F=30$ см находится на расстоянии $l=15$ см друг от друга. При каких условиях эта система дает действительное изображение предмета?

7. Красная граница фотоэфекта для материала фактората $\lambda_{\max}=700$ nm. Отношение скоростей вылетящих электронов при освещении светом с длинами волн $\lambda_1$ и $\lambda_2$ равно $k=3/4$. Определите $\lambda_2$, если $\lambda_1=600$ nm.

Публикацию подготовили А. Е. Кучма, В. Ф. Осипов, В. Н. Скребов

Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина

Математика

Писменный экзамен

Вариант 1
(физико-механический и радиофизический факультеты)

1. Упростите выражение:

$$\frac{(\sqrt{5}a^{4/3})^{3/2}}{(\sqrt{5}a^{4})^{3}}: \frac{(\sqrt{a^3a^2b})^{-4}}{(\sqrt{3}a\sqrt{b})^{-6}}.$$

2. Найдите область определения функций $f(x)=\sqrt{(x^2-3x-10)}\lg^2(x-3).$

3. В основании трехголовной примеры $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороны длины $\sqrt{3}$, ребро $SA$ имеет длину 6. Найдите объем примеры, если известно, что ее боковые грани имеют равные площади.

4. Доказите, что для углов $A, B, C$ отсутствного равноведренного треугольника справедливый неравенства

$$1 < \sqrt{\cos A} + \sqrt{\cos B} + \sqrt{\cos C} < \frac{11}{5}.$$

Вариант 2
(факультет технической cubicnetики)

1. Решите уравнение

$$2\log_2x-2\log_2\frac{1}{\sqrt{2}}=3\sqrt{\log_2x}.$$

2. Решите уравнение

$$\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0.$$

3. Найдите область определения, можноство значений и интервалы монотности функций

$$f(x)=\left(\frac{1-\sqrt{x^3}}{1-\sqrt{x}}-3\sqrt{x}\right)^{0.5}.$$