Избранные школьные задачи

27

В этой задаче мы опять вспомогательными построениями построили ряд треугольников, которые позволили проведении нам нужные вычисления.

Задание

1. Убедитесь, что уравнение в задачах из статьи в «Кванте», 1983, № 2 получены методом, полностью совпадающим с приведенной схемой.

2. Высота правильной треугольной парамиды равна $h$. Точки пересечения высот каждой из боковых граней и вершин парамиды лежат на поверхности шара радиуса $r$. Найди объем парамиды.

3. В трапеции $ABCD$ точка $K$ — середина основания $AB, M$ — середина основания $CD$. Найди площадь трапеции, если известно, что $DK$ — биссертиса угла $D, BM$ — биссертиса угла $B$, набольший из углов при нижнем основании $AB$ равен $60^\circ$, а перimetр трапеции равен 30.

4. На плоскости dan прямой угол. Окружность с центром, расположенным внутри этого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках $A$ и $B$ и пересекает биссертису угла в точках $C$ и $D$. Длина хорды $AB$ равна $\sqrt{6}$ см, длина хорды $CD$ равна $\sqrt{7}$ см. Найди радиус окружности.

5. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $a$, а противолежащая ему сторона равна $a$. Найди две другие стороны, если известно, что сторона $a$ есть среднее геометрическое радиусов вписанного и описанного кругов этого треугольника.

6. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$, точка $E$ — середина ребра $AA_1$. На продолжении ребра $DA$ взята точка $F$ так, что $|FA|=a/2$. Найди радиус меньше из сфера, проходящих через точки $E$ и $F$ и касающихся плоскостей $BB_1C_1C$ и $DD_1C_1C$.

7. В правильной четырехугольной парамиде центр вписанного шара делит высоту парамиды в отношении $p:q (p<q)$. Определите угол наклона ребра к основанию.

8. Через точку $O$, лежащую на ребре двумя углам величины $\varphi$, проведена прямая $OA$, лежащая в одной угле и образующая угол $a$ с ребром двумя углами, и прямая $OB$, лежащая в другой угле и образующая с ребром угол $\beta$. Найди угол $\lambda$ между этим прямыми (рис. 8).

9. Возьмите произвольные 6 элементов, заданные (неправильный) тетрадр и вычислите все остальные его элементы.

Л. Ф. Штернбер

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Какое из чисел больше
   $$\frac{55555553}{55555557} \text{ или } \frac{666666664}{666666669}?$$

2. (Задание Ньютона). Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 60 коров съели бы всю траву за 24 дня, а 30 коров — за 60 дней. Сколько коров съели бы всю траву за 100 дней?

3. По виду графика квадратной функции $y=ax^2+bx+c$ определяйте знаки коэффициентов $a, b$ и $c$ (рис. 1).

4. Медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, делят его угол на три равные части. Найди углы треугольника.

5. а) Докажите, что угол с вершиной внутри круга изменяется получим величины дуг, заключенной между его сторонами, и величины дуг, заключенной между продолжениями его сторона, а угол с вершиной вне круга — полученное величины дуг, заключенной между сторонами (рис. 2):

28

$$\alpha = \frac{1}{2} (\cup AB + \cup CD),$$

$$\beta = \frac{1}{2} (\cup AB - \cup CD).$$

При решении задач 6) и в) можно воспользоваться формулами (1) и (2).

6. Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ известны углы $\alpha$ и $\beta$ между продолжениями противоположных сторон (рис. 3). Найдите углы четырехугольника.

в) В треугольнике $ABC$ точка $O$ — центр вписанной окружности, точка $A_1$ — точка пересечения прямой $AO$ с описанной окружностью. Доказите, что $|BA_1| = |OA_1| = |CA_1|$.

Девятый класс

6. Вычислите произведение

$$\left(1 + \frac{1}{1 \cdot 3}\right)\left(1 + \frac{1}{2 \cdot 4}\right)\left(1 + \frac{1}{3 \cdot 5}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{99 \cdot 101}\right).$$

7. Найдите уравнение общей касательной к параболам

$$y = x^2 + 4x + 8 \text{ и } y = x^2 + 8x + 4.$$

8. Ортогональный проекционный прямого угла $AOB$ на плоскость $\alpha$ является снова прямой угол. Доказите, что либо ($AO$), либо ($BO$) параллельна плоскости $\alpha$.

9. Найдите произведение:

a) $\sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ$;

b) $\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2\pi}{15} \dots \cos \frac{7\pi}{15}$.

10. В треугольнике $ABCD$ с длинами оснований $|AD| = a$ и $|BC| = b$ проведен отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основанием и делящий ее на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.

Десять класс

11. Плоскость, проведенная через центр вписанного в конус шара параллельно основанию, делит этот конус на две части одинакового объема. Найдите угол при вершине освого сечения конуса.

12. Решите уравнения:

a) $(x^2 - x + 1)^2 + 2(x^3 + 1) = (x + 1)^2$;

b) $\sqrt[3]{(x + 1)^2} - 2\sqrt[3]{x^2 - 1} = 8\sqrt[3]{(x - 1)^2}$.

13. Найдите площадь, ограниченной одной «полуvolной» синусиды $y = \sin x$ и касательными, проведенными к графику синуса в точках с абсциссами 0 и $\pi$ (рис. 4).

14. Известно, что $\log_7 12 = a$, $\log_{12} 24 = b$. Найдите $\log_{54} 168$.

15. a) Приведите пример, показывающий, что две высоты tetraэдра (или их продолжения) могут не пересекаться.

6. В tetraэдре $ABCD$ проведены высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$. Доказите, что если прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются, то и прямые $CC_1$ и $DD_1$ тоже пересекаются.

Публикацию подготовил Б. М. Ивлев