Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена

57

$$\frac{\sqrt{x^{-1}}-1}{\sqrt{x}+1} \cdot \sqrt{x}(1-\sqrt{x})^{-1}.$$

4. В основании треугольной парамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороны, длина которого равна $\sqrt{2}$. Найдите объем этой парамиды, если известно, что $ASC=ASB = \frac{\pi}{6}, SAB = \frac{\pi}{4}$.

Физика
Задачи устиного экзамена

Задачи 2, 4 представлены на вступительных экзаменах на физico-механический факультет, 5 — на радиофизический, 6, 8 — на электромеханический, 1, 7 — на гидротехнический и 3 — на вечерний факультет.

1. Первую треть пути велиспедист едет со скоростью $v_1=2,0$ м/с, вторую — со скоростью $v_2=3,0$ м/с, а последнюю треть — со скоростью $v_3=5,0$ м/с. Найдите среднюю скорость велиспедиста.

2. Вдоль невесомого резинового шнура длиной $l_0$ сокальзывает металлическая шайба. Сила tremия, действующая между шнуром и шайбой, постоянна и по модулю равна $f$. Жесткость шнура $k$. Найдите выделившееся при этом количево теплоты. Какая часть работы силы tremия, действующей на шнур, превращится в теплло?

3. Плотность пара равна $\rho=2,4$ кг/м$^3$ при температуре $T=295$ K и давлении $p=10^5$ Pa. Найдите массу одного киломоля и одной молекулы пара, считая его идеальным газом. Универсальный газовый постоянную считать равной $R=8,3$ Дж/(моль·К).

4. Стеклянная пластинка целиком заполняется зазор между обкладками плоского конденсатора, емкость которого при отсутствии пластинки равна $C_0$. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения $U$. Найдите механическую работу, которое необходимо совершить против электрических сил, чтобы извлечь пластинку из конденсатора.

5. В схеме, изобравенной на рисунке 1, известны ЭДС $\mathcal{E}$ и $\mathcal{E}_0$ источников, сопротивления $R$ и $R_0$ резисторов, а также емкость $C$ конденсатора. Внутренние сопротивления источников пребежимо малы. Найдите заряд на обкладке 1 конденсатора.

6. Две электрические лампочки включали в себя сначала последовательно, а затем параллельно (рис. 2). Сопротивление первого лампочки равно $R_1=360$ Ом, второй — $R_2=240$ Ом. Какая из лампок потребляет большую мощность и во сколько раз в первом и втором служежа?

7. Два математических матрика начиная от колебаться одновременно. За одно и то же время первый матрик совершает $N_1=16$, а второй $N_2=8$ колебаний. Найдите отношение длины магнитков.

8. Угол padения света на границу двух сред (при переходе его из первой среды во вторую) $a=30^\circ$. Абсолютный показатель предположения второй среды $n_2=2,40$. Найдите абсолютный показатель предположения второй среды, если угол между отраженным и предположенным лучами $\delta=90^\circ$.

Публикация подготовили Ю. Н. Волzin, Ю. О. Максимов, В. П. Попов, С. П. Преобранский, В. А. Чихачев

Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1
(математический факультет)

1. Найдите область определения выражения
   $$\frac{\sqrt{3}a+\sqrt{3}b}{a^2+b^2}:\left(\frac{a^2-1}{a+b}-\frac{b^2}{a+b}\right)^{-1}$$

и упростите его.

2. Решите уравнение
   $$\log_3(2x+21)-\log_3(4-x)=2^{\log_2 6-1}.$$

3. Доказите тождесто
   $$\sin^2\left(\frac{5\pi}{2}+\beta\right)+\sin(\pi-\beta)\cdot(1+\text{ctg}\beta)+\frac{\sin^2\beta}{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\beta\right)(1+\text{tg}\beta)}=\cos\beta-\sin\beta.$$

4. Две окружности касаются внутренним обрезом в точке $N$. Отрезок $MN$ является диаметром большей окружности. Хорда $MK$ большей окружности касается меньшей окружности в точке $C$. Доказите, что $NC$ является биссектрикой $\angle MNK$.

5. В правильной треугольной парамиде величины плоского угла при вершине равна $a$, а кратчайшее расстояние между боковым ребром и противолежащей стороной основания равно $l$. Найдите объем парамиды.

Рис. 1.
Рис. 2.

58

Вариант 2
(физический факультет)

1. Упростите выражение
   $$\frac{a-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}-1}-2a^{\frac{1}{3}}+1) \cdot \frac{1+a^{\frac{1}{3}}}{1-a^{\frac{2}{3}}}.$$
2. Решите неравенство
   $$\left(\frac{2}{5}\right)^{x^2-5x+6} < 1.$$
3. Решите уравнение
   $$1+\log_2(x^2-1)=\frac{1+\log_2x \cdot \log_32}{\log_32}.$$
4. Доказите справедливость равенства
   $$\frac{\sin^2 a}{\cos a(1+tg a)}-\frac{\cos^2 a}{\sin a(1+ctg a)}=\sin a-\cos a.$$
5. Определите объем правильной шестиугольной призы, если известно, что ее самая большая диагональ имеет d и составляет с боковым ребром призы угол a.
   Задание устного экзамена
6. Вычислите без таблиц
   $$\frac{\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ}.$$
7. Найдите область определения функций
   $$y=\lg(x^2-x-2)+\frac{x^2-9}{x-3}.$$
8. Вычислите
   $$16^{0,5 \log_4 25-1} \cdot 5^{\log_1\frac{5}{5}}.$$
9. Решите уравнение
   a) $81x=3^{2-\log_3 x};$ 6) $5^x-5^{3-x}=20;$
   b) $\log_3(1+\log_2(1+3\log_2 x))=1.$
10. Решите неравенство
    a) $\sqrt{x^2-3x-10}>x-2;$ 6) $(3x-1)\log_2 x>0;$
    b) $(0,4)^{4x^2-2x-2}<(0,4)^{3+2x};$
    r) $\log_{\frac{1}{2}}\log_3 x>1.$
11. Найдите наиболее и наиболее значения функций y=4x^3-6x^2 на промежуточке [0; 3].
12. Основанием примыда служит прямогольный треугольник, все боковые ребра примыда имеют равные длины. Доказите, что вершина примыда проектируется в середину гипотенузы ее основания.
13. Что больше: объем шара радиуса 1 для объем правильного tetraэдра с ребром 4 дм?
14. Найдите объем воронки, развертка боковой поверхности которого представляется собой полукруг радиуса R.
15. Доказите, что площадь прямогольной трапеции, в котором можно описать окружность, равна произведению длины ее оснований.
    Физика
    Задание устного экзамена
    Физический факультет
16. Тело, двигаясь равноускоренное из состояния покоя, прошло некоторый путь. Чему равно отношение средней скорости движения тела на второй половине пути к средней скорости на первой половине?
17. Над сосудом с водой укреплены две колбы горышком вниз так, что горышки находятся в воде. Колычистно заполнены водой. При этом уровень воды в них различный. Объясните наблюдаемое явление. Каким образом изменить уровень воды только в одной из колб?
18. График, приведенный на рисунке, или построирует процесс превращения водыного пара в лед. Используя график, определите, каково первоначальное количество пара и какое его количество превращаются в лед.
19. Луч света падает под углом a=30° на поверхности воды, наlintой в аквариум. На дне аквариума находится плоское зеркало. Во сколько раз изменяется массу воды и выходящим лучи, если воду заменить другой жидкостью, показатель преломления которой будет в два раза больше, чем у воды? Уровень жидкости прежний.
    Matематический факультет
20. Из пунктов A и B одновременно называется друг друга начали двигатся два тела. После того как они повторяются, первое тело через t_1=10 с приблиgio в пункт B, а второе, проехав s=100 м за t_2=40 с, приблиgio в пункт A. Определите скорости движения тела, если движение было равномерным и прямолинейным.
21. Герметически закрыта консервная банка заполнена водой. В крышке, дне и боковой стенке банки сделали по одному малому отверстию. Как, закрыв лишь одно из отверстия, прекратить вытекание воды из банки?
22. Источник тока с ЭДС б=30 В и внутренним сопротивлением r=6 Ом замкнут на два резистора, соединенных парально. При этом на первом резисторе выделяется количество теплоты в три раза больше, а в втором — в шесть раз больше, чем на внутреннем сопротивлении источника. Какой ток протекает через каждый резistor и через источник?
    Индустриальное-педагогическое факультет
23. К вычислении вертикального приложения, массовой которого можно пребежать, подвешивают груз: сначала к ее свободному концу, а затем — к середине. Во сколько раз деформация приложения в первом случае будет больше, чем во втором?
24. Имеется две двойные одинаковые по размером оконные рамы. Расстояние между стеклами у них одинаковое. Во второй раме посередине сделана сплошная горизонтальная перемычка. Будут ли различается данные рамы по теплопередаче? Ответ обязывате.
25. Имеется гильза из фольги, подвешенная на шелковой нити, и две пластины на изолирующих ручках: одна из зонита, другая из плескигласа. Как экспериментально определить, заряжена гильза или нет, если ее заряд будет много меньше заряда, образующая при тренении друг о другу имеющихся в распоряжении пластинок?
    Публикацию подготовили
    Л. А. Бирюков, З. И. Новосельцева

59

Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова
Математика
Вариант 1

1. $x = \frac{4}{7}; y = \frac{3}{7}$. Указание. По условиям, $\frac{x'}{y'} = \frac{40}{33}(*)$, $x+y=1$. Подставляя в (*) $k=1/2$, получим после упрощения системы $\frac{x(x+2y)}{y(2x+2y)} = \frac{40}{33}, x+y=1$.
2. $x_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{l\pi}{2} (k, l \in \mathbb{Z})$. Указание. Воспользовитесь тождеством
   $$\text{ctg} \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \text{ctg} \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{1-2 \cos 2x}{1+2 \cos 2x}.$$
3. $\frac{7}{47}$. Указание. Исследуйте разность между левой и правой частими приближенного равенства с помощью произвольной.
4. Искомая точка нахождения на расстоянии $\frac{L \pm \sqrt{12R^2 - 3L^2}}{2}$ до одной из двух близких вершин треугольника ($\sqrt{3}R \leq L \leq 2R$).
5. $\arccos \left( \frac{7}{25} \frac{1}{\cos a/2} \right)$ при $0 < a < 2 \arccos 7/25$.
   Вариант 2
6. $\frac{7}{64}$. Указание. На промежутках $\frac{1}{4} \leq x < 1; 1 \leq x < 4; 4 \leq x < 9; 9 \leq x \leq 10$ исследуйте с помощью произвольной разность между левой и правой частими приближенного равенства.
7. $x = \frac{\pi}{14} (2k+1) (k \in \mathbb{Z})$.
8. $a^3 + b^3 = 1$. Указание. Подставив в выражение $x^3 + y^3 + 2^3 - 3xyz$ вместе $x, y$ и $z$ их выражения через $X, Y, Z$, получим
   $$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (a^3 + b^3)(X^3 + Y^3 + Z^3 - 3XYZ).$$
9. $\frac{2-\sqrt{3}}{4} a$.
10. $|BE| = \frac{2a-p+2\sqrt{(p+a)(p-2a)}}{3}$, если $2a<p<3a$; $|BE|=0$, если $p=2a$; $|BE|=a$, если $p=3a$.
    Вариант 3
11. $\frac{4P}{M} (1+\cos a)$. Указание. Пусть $m_1$ и $m_2$ — массы частиц $(m_1+m_2=M)$, а $v_1$ и $v_2$ — скорости, с которых они движутся. Из закона сохранения импульса следует, что
    $$m_1v_1 - P = \frac{MP \cos a}{M-m_1}.$$
    С другой стороны,

$$v_2 = \frac{P}{M-m_1}.$$
Постому
$$v_1 + v_2 = \frac{MP(1+\cos a)}{(M-m_1)m_1}.$$
Поскольку наиболее значение значения достигается при $m_1=m_2=\frac{M}{2}$, наименьшая скорость слияния равна $\frac{4P}{M}(1+\cos a)$.
2. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$.
3. $\{(9, 3)\}$. 4. Отношение большого из отрезков к меньшему равно $k = \frac{p+\sqrt{2p-1}}{1-p}$, если $\frac{1}{2} \leq p < 1$. При $p=1$ квадраты совпадают.
5. $\frac{\sin^4 a}{3 \sin \frac{a}{2} \sqrt{4 \sin^2 \frac{a}{2} - 1}} R^3$ при $\frac{\pi}{3} < a \leq \frac{\pi}{2}$.
Вариант 4

1. 0,6; 0,8.
2. $x = \frac{3}{2}$.
3. $a < -1$. Указание. Пусть $f_a(x)$ — левая часть неравенства. Должно быть $f_a(1)>1$, $f_a\left(\frac{1}{4}\right)>1$. Отсюда следует, что $a<-1$, но при $a<-1$, все $x$ из промежутка $\left[\frac{1}{4}:1\right]$ удовлетворяют исходному неравенству.
4. $x_1 = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi$; $x_2 = \pm \frac{5\pi}{6} + 2l\pi (k, l \in \mathbb{Z})$.
5. $\frac{1}{6} \sin^2 a \cos \varphi \sin (a-\varphi) \cos a \sin^2(a+\varphi)$.
   Вариант 5
6. 15 km/ч. 2.1.
7. 2. $\{0, \frac{\pi}{2}; \pi\}$.
8. $] \frac{1}{9}, \frac{1}{3} ] \cup ] 1, +\infty[$. 4. $\frac{3}{4} a$.
9. $\frac{\sqrt{3} \cdot tg a/2}{\sqrt{3} \cdot tg^2 a/2-1} 7$.
   Вариант 6
10. 40 km/ч; 30 km/ч. 2.1. $x_1 = \frac{\pi}{2} + k\pi, x_2 = 2l\pi |k, l \in \mathbb{Z}$.
    2.2. $\{arctg 3+k\pi, \frac{\pi}{4}+k\pi |k \in \mathbb{Z}\}$.
    3.1. $\{8/3\}$. 3.2. $\{2, 32\}$.
11. $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$, где $a, b$ — длины стороны параллелограмма, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла, вторая — с данной точкой, а остальные лежат на сторонах угла.
12. $b \cos \frac{a}{2} tg \frac{a}{4}$.

Физика
Писменный эксперимент
Вариант 1

1. На рисунке 1 изображены силы, действующие на вершинку кубик: сила тяжести $Mg$, сила реакции опоры $\vec{N}$, сила трения $\vec{F}_{\tau}$

60

Рис. 1.

и сила натяжения нити $\vec{T}$. Очевидно, что под действием этих сил кубик может не только двигаться поступательно, но и поворачивать. Поэтому необходимо проанализировать обе возможности.

1. Поступательное движение.
   Уравнение поступательного движения имеет вид:

$$\vec{N} + Mg\vec{T} + \vec{T} + F_{\tau p} = Ma,$$

или (в проекциях на оси координат)

$$N - Mg - T \sin \alpha = Ma,$$
$$T \cos \alpha - F_{\tau p} = Ma_x.$$

Поскольку кубик должен находиться в поке, ускорение $\vec{a} = 0$, то есть $a_x = a_y = 0$, откуда получаем

$$N = Mg + T \sin \alpha,$$
$$F_{\tau p} = T \cos \alpha = F/2.$$

Поскольку $0 \leq F_{\tau p} < \mu N$, окончательное имеем:

$$F < \frac{2\mu Mg}{1 - \mu tg \alpha}.$$

Так как $F > 0$, это условие является ограничением только при $1 - \mu tg \alpha > 0$. Если же $\mu tg \alpha \geq 1$, то наступает «заклинивание», то есть при любом значении $F$ кубик не может двигаться поступательно.

2. Вращение.

Кубик может опрокинутся, поворачиваясь относительно оси, проходящей через точку $O$, в которой при опрокидывании будет приложена сила реакции опоры $\vec{N}$. Максимальное значение силы натяжения нити, при котором кубик еще не опрокинется, можно найти из условия равенства нулю суммы моментов сил:

$$Mg \frac{a}{2} - Ta \cos \alpha = 0.$$

Учитывая, что $T \cos \alpha = F/2$, получим

$$F = Mg.$$

Очевидно, что опрокидывания не производит, если

$$F < Mg.$$

(2)

Рассматривая совместно условия (1) и (2), находим, что при

$$\mu < \mu^*(a) = \frac{1}{2 + tg \alpha}$$

кубик с ростом $F$ равше начет скольнить, а при выполнения противоположного неравенства — опрокидывается.

Полученный ответ можно найти представить графически. Рисунок 2 соответствует следующему фиксированного $a$, для которого $0 < tg \alpha < 2$. Допустимые значения параметров $F/Mg$ и $\mu$ лежат в затрихованной области (физическая смысл имеет область $\mu \leq 1$). При $\alpha \to 0$ значение $\mu^* \to 1/2$ и $\mu_{\kappa p}(\alpha) \to \infty$. При $tg \alpha > 2$ величины $\mu_{\kappa p}$ лежит в интервале $\mu^*(\alpha) < \mu_{\kappa p}(\alpha) < 1/2$.

2. Условие равновесия невеонное внешнее давление равное сумме давления газов в состоянии. Используя это условие, а также уравнение состояния идеального газа

$$pV = \frac{m}{M} RT,$$

получим для начального состояния

$$p_1 = \frac{2M_2p_0}{M_1 + M_2} = \frac{14}{15} p_0$$ и

$$p_2 = \frac{M_1}{M_2} p_1 = \frac{16}{15} p_0,$$

где $p_0$ — внешнее давление, $p_1$, $p_2$ — давления кислорода и азота в сосудах, а $M_1$ и $M_2$ — их молярные массы. Так как в процессе нагрева $pV^2 = const$, то, используя уравнение идеального газа, можно показать, что $TV = const,$

откуда имеем

62

4. Так как показатель преломления воздуха меньше показателя преломления воды, действие пузырька эквивалентно действию рассеивающей линии, которая параллельный пучок лучей преобразует в расходящийся. Если точка пересечения продолженной расходящся лучей оказывается от линии на расстоянии, большем фокусного, экран следует удалить от линии. Если же указано расстояние окажется равным или меньшим фокусного, получить сфоксированное изображение на экран невозможно.

Задание устного экзамена

1. Глубина погружения тела не изменится.
2. $M_r = M_B \frac{m_3 - m_1}{m_2 - m_1} \frac{p_0}{p} = 48$ кг/кмоль (здесь $M_B = 29$ кг/кмоль — молярная масса воздуха, $p_0 = 1$ атм — нормальное атмосферное давление).
3. $\Delta T = \frac{AT}{pV} = 9,5$ К.
4. $x = \frac{UL^2}{2dv^2} \frac{e}{m} \approx 6 \cdot 10^{-3}$ м.
5. $R = \frac{U^2}{P} \frac{a}{(1+a)^2} \approx 9$ Ом (здесь $a = 0,1$).
6. Предмет должен находиться на расстоянии $d < F/3 = 10$ см от первой линии.
7. $\lambda_2 = \lambda_1 \frac{k^2 \lambda_{\max}}{\lambda_{\max} - (1-k^2) \lambda_1} \approx 540$ nm.

Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина

Математика
Вариант 1

1. $a^{-\frac{1}{15}} \cdot b^{-\frac{1}{3}}$ при $b > 0, a > 0$.
2. $[5; +\infty] \cup \{4\}$.
3. 2,25; 0,75$\sqrt{11}$; 0,25$\sqrt{105}$. Указание. Вершина $S$ проектировется либо в центре вписанной окружности, либо в центре одной из внешних окружностей*).
4. Указание. Задание сводится к исследованию функции $f(x) = 2\sqrt{\cos x} + \sqrt{-\cos 2x}$ при $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$.
   Вариант 2
5. $\{\sqrt{2}; 2\}$; 2. $x_1 = \frac{\pi}{4} (2k+1); x_2 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

*) Вневписанной называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолженной двух других его сторон.

3. $D(f) = 0; 1[ \cup ] 1; +\infty[; E(f) = 0; +\infty[.$
4. $(1+\sqrt{3})/6; (\sqrt{1+\sqrt{3}})/3.$ Указание. Возможны два случая: 1) $\triangle ABC \cong \triangle ASC$ и 2) $ACS = CAS = \frac{5\pi}{12}, ABS = \frac{7\pi}{12}$, поскольку по теореме синусов $\frac{\sin ACS}{|AS|} = \frac{\sin ASC}{|AC|} = \frac{\sin ABS}{|AS|}$, то есть $\sin ACS = \sin ABS$. Поэтому либо $ACS = ABS = \frac{7\pi}{12}$ и тогда $\triangle ABC \cong \triangle ASC$, либо $ACS = \pi - ABS = \frac{5\pi}{12}$ и тогда имеет место случай 2.

Физика

1. $v_{cp} = \frac{3}{1/v_1 + 1/v_2 + 1/v_3} \approx 2,9$ м/с.
2. $Q = f(l_0 - f/(2k))$; работа силы треня, действующего на шнур, превращается в теплонаповину.
3. $M = \frac{QRT}{p} 10^3 \approx 58,8$ кг/кмоль;
   $m_0 = \frac{M}{10^3 N_A} \approx 9,7 \cdot 10^{-26}$ кг
   (здесь $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}$ 1/mоль — постоянная Авогадро).
4. $A_{max} = (\varepsilon - 1)C_0U^2/2$ (здесь $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость стекла).
5. $q = \frac{C(\theta_0 - \theta)R}{R_0 + R}$.
6. В первом случае первая лампочка потребляется в 1,5 раза большего мощность, чем вторая, а во втором случае вторая лампочка потребляется в 1,5 раза большего мощность, чем первая.
7. $l_1/l_2 = (N_2/N_1)^2 = 1/4$.
8. $n_1 = n_2/tg a \approx 4,15$.

Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герценна
Математика
Писъемый экзамен
Вариант 1

1. Выражение определено при $a \geq 0, b \geq 0, a \neq b$ и равно $\frac{a+b}{a-b}$ при $a > b$ и $\frac{a+b}{b-a}$ при $a < b$.
2. {3}.
3. Указание. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры данных окружностей (рис. 7). Так как $MCO_2 = MKN = 90^\circ$, прямые $CO_2$ и $KN$ параллельны. Поэтому $\hat{1} = \hat{2}$, но $\hat{1} = \hat{3}$, поскольку треугольник $O_2CN$ — равноведенный.

63

5. $v_n = \frac{l^3}{3 \sin \frac{3}{2} a}$.

Указание. Пусть в параметре $SABC$ точка $D$ — середина $BC$, $DK$ — общий перпендикуляр $AS$ и $BC$, $O$ — основание высоты, $|BC| = x$. Найдите $x$ из соответствия $|KD| \cdot |AS| = |SO| \cdot |AD|$, предварительно выразив $AD$, $SO$, $AS$ через $l$, $x$ и $a$.

Вариант 2

1. 1, 2. ] - $\infty$; $-\frac{1}{2} [\cup] 2$; $\infty$. {2}.
2. ] - $\infty$; $-1 [\cup] 2$; $3 [\cup] 3$; $\infty$.
3. $\frac{5}{16}$.
4. a) $\left\{\frac{1}{3}\right\}$; 6) {2}; b) {2}.
5. a) ] 14; $\infty$; $[; 6)$ ] 0; $\frac{1}{3} [\cup] 1$; $\infty$; b) ] - $\infty$;
   $\frac{1-\sqrt{6}}{2} [\cup] \frac{1+\sqrt{6}}{2}$; $\infty$; $\sqrt{3}$.
6. $y_{\min} = y(1) = -2$;
   $y_{\max} = y(3) = 54$.
7. Объем правильно тетраэдра с ребром 4 большие объема шара радиуса 1.
8. $\frac{\pi R^3}{24} \sqrt{3}$.

Физика

Физический факультет

1. $v_{cp2}/v_{cp1} = \sqrt{2} + 1 \approx 2,4$.
2. Различие в уровнях воды объясняется различием давления воздуха в колбах (давление большие там, где уровень ниже). Для изменения уровня воды в одной из колб необходимо изменить давление воздуха в ней, нагрев или охладив колбу, например с помощью тряпочки, смоченной горячей или холодной водой.
3. $m_1 = 1$ кг; $m_2 \approx 0,35$ кг.
4. Расстояние между лучами уменшится примерно в 2,2 раза.

Matематический факультет

1. $v_1 = s/t_2 = 5$ м/c; $v_2 = s/\sqrt{t_1 t_2} = 2,5$ м/c.
2. Закрыв одно из ответений (либое), нужно поворачивать банку до тех пор, пока два других ответств не оказываются на одном горизонтальном уровне.
3. $I_r = \frac{\theta}{10r} = 1/2A$; $I_{R1} = 1/6A$; $I_{R2} = 1/3A$.

Индустриально-педагогический факультет

1. Деформацияружины в первом слуае в 2 раза большие, чем во втором.
2. Теплопередача осуществляется за счет излучения, теплопроводности и конвекции. Два первых процесса для обенх рам пропускают одинаково. Конвекция же для второй рамы будет затруднена, поэтому вторая рама будет лучше сохранять телло в помещении.
3. Нужно потребить пластины друг о другу, расположить их параллельно (с целью создания однородного электростанческого поля) и помещить между ними гильзу. Если гильза отключится от положения равновесия, значит, она заряжена.

Шахматная страница
(см. «Квант» № 1)

Задание 1 (A. Казанцев, 1949-1950 гг.).

1. Кc2 Сg7 2. c7 Лc6 3. a7 Лl:c2 4. Cd2 a2
2. a8Ф a1Ф 6. Ф:a1 C:a1 7. c8Ф+! Лl:c8
3. Cc3! Лb8 9. Cb2! Лd8 10. Cd4! Лe8 11. Ce5!
   Несмотри на лишню ладью и полную беззащитность взбесившегося слона, черные вынуждены повторять ходы, смиряясь с ничей!
   Задание 2 (A. Казанцев, 1953 г.). 1. Лb7! Фe5
4. Cd1+ Кра5 3. b4+ Кра6 4. Ce2+! Фe2
5. Крb8! Фe5+ 6. Крc8 Фe8+ 7. Крc7 C:d5
6. a8Ф+!! Ф:a8 9. Лb6+ Кра7 10. b5 Cb7
7. Лa6+! С:a6 12. b6×!
   A. Карпов об этом этапе сказал так: «Этijd заслуживает самой высокой пожавы. В нем удивительно изящный финал, которое предшествует увлекательная вступительная игра».
   Квант для младших школьников
   (см. «Квант» № 2)
8. Если 16 блокотов стоит $x$ рублей и на 1 рубль можно купить $x$ блокотов, то один блокот стоит $x:16$ и $1:x$, то есть $x/16=1/x$, откуда $x^2=16$, то есть $x=4$, а один блокот стоит $1:4=0,25$ рублей.
9. Обозначим путь, пройденный на льжах сегодня, через $x$, а вчера — через $y$. Тогда позавчера был пройден путь $y+3$ км. Из второго соотношения следует, что $y+40=y+3+x$. Отсюда $x=37$ км.
10. В многоугольнике, у которого каждая сторона либо вертикальная, число сторон четно, так как его стороны последовательно черезют: вертикальная — горизонтальная — вертикальная — … — горизонтальная.
11. В этом высказывании нарушен закон сохранения энергии.
    «Квант» для младших школьников
    (см. «Квант» № 3)
12. 1+2=3
13. -1+2+3=4
    12-3-4=5
    1+2-3-4+5+6=7
    1+2+3-4+5-6+7=8
    12+3+4-5-6-7+8=9.
14. На первом месте 6«Г», на втором 6«А», на третьем 6«В» и на четвертом 6«B».
15. 6, 2 и 1.
16. 1+2+3+…+12+14=92.
17. Воздух, находящийся в горячеем стакане, нагревается от его стенок, расширяется и начинает выходить из-под стакана. Образуется «воздущая подушка», из-за чего резко уменьшается трене, и стакан начинает скользить по столу в сторону наклона стола, даже если этот наклон почти не заметен.

Наша обложка
(см. «Квант» № 3)
Задание с четырьмя страницами обложки третьего номера является хорошего иллюстрацией того, что черезур подробный чертеж может даже несколько затруднений поиск решения. Из чертежа на обложке третьего номера надо увидеть, что искомый угол равен по величине плоскому углу ADO, где O — центр шара (прямая DA перpendикулярна BD (ли-

64

ниш пересечения плоскости) по условияю, а DO — по теореме о трех перпендикулярах (проекция прямой DO на плоскость ABC есть прямая DA)); после этого можно избавиться от лишних деталей чертежа (рис. 8) и перейти к решению.

Первое решение. Пусть φ — величина искомого угла; тогда tg φ=OA:DA=2R:a, где R — радиус шара, a — длина ребра основания прямиды. Выразим R через a, составив и приравняв два выражения для расстояния OS от центра шара до вершины прямиды. Из прямогольного треугольника OPS (P — точка касания прямой BS с шаром) имеем

$$OS^2=OP^2+PS^2=R^2+(a-b)^2$$

(1) (PS=PB=BS=BA-BS=a-b, где b — длина бокового ребра прямиды; отрезки BP и BA равны как касательные, проведенные к шару из одной точки).

Из треугольника OAS, в котором угол OAS равен 45° (AO — перпендикуляр к плоскости ABC, а прямая AS наклонена к ней под углом 45°), по теореме косинусов получаем второе равенство:

$$OS^2=OA^2+AS^2-2OA \cdot AS \cdot \cos 45^\circ = R^2+b^2-Rb\sqrt{2}.$$

(2) Теперь выразим b через a из прямогольных треугольников AHS и AHD (SH — высота прямиды):

$$b=AS=AH\sqrt{2}=AD \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2}=a\sqrt{\frac{2}{3}},$$

подставим это выражение в (1) и (2) и приравняем правые части этих соотношения:

$$R^2+\left(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2a^2=R^2+\frac{2}{3}a^2-\frac{2}{\sqrt{3}}Ra,$$

Имеем:

$$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BA} \cdot (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AO})=\overrightarrow{BA}^2(\angle BAO=90^\circ).$$

Аналогично,

$$\overrightarrow{BS} \cdot \overrightarrow{BO}=(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HS}) \cdot (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AO})=\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{HS} \cdot \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{BA} \cdot \cos 30^\circ+HS \cdot AO.$$

Подставляя эти выражения в (3) и получим тем, что $\angle HBS=45^\circ$, получим ответ.

Главный редактор — академик Ю. А. Осипьян
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров
Заместитель главного редактора: Л. Г. Асламазов, А. А. Леонович, В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловьев
Редакционная коллекция: М. И. Башмаков, В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, Н. В. Васильев, С. М. Воронин, В. В. Гнеденко, В. Л. Гутенхахер, Н. П. Долбилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков, А. Р. Зильберман, А. И. Климанов, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, Е. М. Никшин, С. П. Новиков, М. К. Потапов, В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов, А. П. Савин, Я. А. Смородинский, А. В. Сосинский, В. М. Уровев, В. А. Фабрикант
Редакционный совет: А. М. Балдин, С. Т. Белев, В. В. Буховцев, Е. П. Великов, И. Я. Верченko, В. В. ВозвRIженский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Erмолаева, А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, Л. В. Канторович, В. А. Кириллин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикева, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенko, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовили:
А. Н. Виленкин, В. Н. Дубровский, А. А. Егоров, В. М. Ивлев, Т. С. Петрова, А. В. Сосинский, В. А. Тихомирова

Номер оформили:
А. В. Болдин, Е. В. Винодарова, В. В. Губин, М. В. Дубах, П. П. Лахтунов, И. Е. Смирнова, Е. К. Тенчурина, Е. С. Шабельник

Фото представили:
В. П. Шевченко

Заведующая редакция Л. В. Чернова

Редактор отдела художественного оформления
Э. А. Смирнов

Художественный редактор Т. М. Макарова

Корректор М. Л. Медведская

103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, •Квант•, тел. 250-33-54

Сдано в набор 16.02.85. Подписано к печати 27.03.85
Печать офсетная. Усл. кр.-отт. 23,8
Вумага 70×10 1/16
Усл. печ. л. 5,60. Уч.-изд. л. 7,53. Т-07435
Тираж 178 412 экз. Цена 40 коп. Заказ 397

Ордена Трудового Красного Заменини
Чеховский полигraphический комбинат
ВО •Созозолигraphпром•
Государственное комитета СССР
по делам издаемых, полигraphии и книжной торговли
142300, г. Чехов Московской области