Bài toán kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học khác nhau vào năm 1984

48

Bài tập
kỳ thi tuyển sinh
thành nhiều loài khác nhau vào năm 1984

Chúng tôi cung cấp một bộ bài kiểm tra đầu vào môn toán và vật lý cho một số trường đại học - Belarus (1), Voronezh (2), Donetsk (3), Kiev (4), Omsk (5), Tashkent (6), Ural (7) và các học viện - Bách khoa Gorky (8), Kỹ thuật Leningrad (9), Bách khoa Riga (10), Bách khoa Tomsk (11), Sư phạm Tbilisi (12), Y tế PM Moscow (13), Kỹ thuật vô tuyến Minsk (14).

Toán học
Bài thi viết
đại số

1. (5) Một số tự nhiên đã cho. Nếu bạn thêm số 2 vào ký hiệu số ở bên phải, bạn sẽ có một số chia hết cho 9 không có số dư. Hơn nữa, thương của phép chia lớn hơn số đã cho với 21. Tìm số này.

2. (5) Hai máy liên hợp đang thu hoạch trên một cánh đồng ngũ cốc. Sau khi người đầu tiên làm việc trên ruộng được 2 giờ, và người thứ hai làm việc trong 5 giờ, hóa ra một nửa cánh đồng đã bị dỡ bỏ. Sau đó, họ làm việc cùng nhau trong 1,5 giờ và dọn sạch một phần tư cánh đồng. Phần còn lại của công việc chỉ được thực hiện bởi sự kết hợp đầu tiên. Xác định xem anh ấy có bao nhiêu thời gian cho việc này.

3. (2) Hai thiết bị tự động hóa, ép các thành phố A và B chỉ vào nhau, với tốc độ riêng, gặp nhau sau 6 giờ. Xe thứ nhất đi hết 2/5 quãng đường từ A đến B mất thêm 2 giờ so với xe thứ hai đi hết 2/15 quãng đường từ B đến A. Mỗi xe đi hết quãng đường từ A đến B mất bao lâu?

4. (2) Số chục của số có hai chữ số nhân với 4 số lớn hơn hàng đơn vị của nó; tích của số này và tổng các chữ số của nó là 496. Tìm số này.

5. (10) Tổng của ba số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là 66, tích của số hạng thứ hai và thứ ba là 528. Tìm tổng của bốn mươi số hạng đầu tiên.

6. (3) Hai vật cách nhau 310 m đồng thời bắt đầu chuyển động hướng về nhau. Vật thứ nhất chuyển động đều với vận tốc 1 m/s, vật thứ hai chuyển động đều với vận tốc ban đầu 1 m/s và gia tốc 3 m/s2. Họ sẽ gặp nhau trong bao lâu?

7. (11) Tính toán
   $$\frac{1}{5} : \left(\frac{17}{40} + 0,6 - 0,005\right) \cdot 1,7$$

8. Rút gọn biểu thức:
   a) (3)
   $$\frac{1}{c^2} - a^2 \frac{1}{c} \left(\left(\frac{c}{a}\right)^{-1} - \left(\frac{a}{c}\right)^{-1}\right) : \frac{(a+c)\sqrt{c}}{\sqrt{1/a}}.$$

6. (10)
   $$\frac{(ab^{-1}+a^{-1}b+1)(a^{-1}-b^{-1})^2}{a^2b^{-2}+a^{-2}b^2-(ab^{-1}+a^{-1}b)}$$

b) (12)
$$\left(\frac{x^2}{y^2} - \frac{1}{y^2} + \frac{x^2}{y^2}\right) \times \frac{x^2}{y^2} - x^2$$
$$\times \frac{x^2}{y^2} \cdot y^2 - \frac{2y}{x-y}.$$

9. (6) Tính toán
   $$\log \frac{1}{a^3} + \log_a \sqrt{a\sqrt{a}}.$$
10. (2) Chứng minh rằng tổng
    $$\sqrt{\sin^4 x + 4\sin^2 \left(\frac{\pi}{2}-x\right)} + \sqrt{\cos^4 x + 4\cos^2 \left(x-\frac{\pi}{2}\right)}$$

là một số không đổi, độc lập với $x$.

11. Tìm thấy:
    a) (5) $\cos^4 a + \sin^4 a$ nếu $\sin 2a = \frac{1}{7}$;
    b) (3) $\cos(60^\circ - a)$ nếu $\lg a = \frac{3}{4}$ và $180^\circ < a < 270^\circ$.

12. (10) Rút gọn biểu thức $\frac{1+\cos a}{\sin a} \times \left(1 + \frac{(1-\cos a)^2}{\sin^2 a}\right)$ và tìm giá trị của nó nếu $\cos a = -0,8; \frac{\pi}{2} < a < \pi$.

13. (6) Biểu thức $\sin a + \cos \frac{a}{2}$ bằng nếu $\cos a = -\frac{2}{3}$ và $\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{2}$ là gì.

14. (12) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $|3x-7|=x+5$.

15. Giải phương trình:
    a) (6) $x^2-0,8|x|-0,33=0$;
    b) (11) $16 \cdot 2^{3x}=\frac{1}{32} \cdot 4^{x-3}$;
    b) (4) $3^{2x}-3^x=702$;
    r) (9) $2 \cdot 5^{1-x}-2 \cdot 5^{x+1}+25^x+25^{-x}=26$;
    d) (2) $|x-3|^{x^2-x}=|x-3|^2$;
    e) (10) $x^{1-\frac{1}{3}} \log x^2 - \frac{1}{\sqrt{100}}=0$;
    g) (9) $2^{|x+2|}-|2^{x+1}-1|=2^{x+1}+1$;
    h) (9) $3\log_2(x+1)^2+12=2\log_2(5-x)^3+2\log_2(5+x)^3$;
    i) (9) $\log_{36}x^2+\log_6(x+5)=1$;

50

điểm đã cho phương trình
$$S=5t^2+58t-623.$$

2. (3) Vật chuyển động thẳng theo quy luật $S(t)=5+6t^2-\frac{1}{3}t^3$, trong đó $S(t)$ là quãng đường (tính bằng mét) và $t$ là thời gian (tính bằng giây). Tìm giá trị cực đại của vận tốc của nó.

3. (6) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=2x^2+2$ đi qua điểm (0; -6).

4. (6) Chứng minh rằng hàm $y=1+12x+3x^2-2x^3$ trả về trên khoảng $-1; 1$.

5. Tìm điểm cực đại, cực tiểu và khoảng đơn điệu của hàm số:
   a) (13) $y=x^4+4x^3-8x^2+3$;
   b) (4) $y=\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}$.

6. Tìm giá trị quan trọng nhất của hàm:
   a) (13) $y=x^2(2x-3)-12(3x-2)$ trên đoạn $[-3; 6]$;
   b) (3) $y=15-3\cos x+\cos 3x$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$.

7. (3) Tìm các điểm tới hạn của hàm $f(x)=\cos x+\frac{1}{2}\sin(2x+\pi)$ thuộc đoạn $[0; \pi]$.

8. (7) Với những giá trị nào của $a>0$ thì điểm $x=3$ là điểm cực tiểu của hàm $f(x)=2x^3-6a^2x+3$?

9. (2) Tìm các giá trị của tham số $c$ mà hàm số
   $$f(x)=(c-12)x^3+3(c-12)x^2+6x+7$$
   tăng đơn điệu cho tất cả $x$.

10. (4) Được biết rằng $2x^2+2y^2=1$. Tìm nhiều giá trị nhất và nhiều giá trị nhất của hàm $z=3x-y$.

Hình học

1. (2) Cho $ABCD$ là hình bình hành, với $[AD] \parallel [BC]$, $K$ là trung điểm của $[BC]$ và $P$ là trung điểm của $[DC]$. Biểu thị dưới dạng vectơ $\vec{AK}=\vec{a}$ và $\vec{AP}=\vec{b}$ tổng của vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CB}$.

2. (10) Một tam giác cân bằng có góc ở đỉnh $120^\circ$ được mô tả xung quanh một đường tròn bán kính $r$. Tìm độ dài các cạnh của tam giác.

3. (2) Chứng minh rằng trong một tam giác thẳng, đường tròn tại điểm tiếp tuyến chia cạnh huyền thành các đoạn có tích bằng diện tích của tam giác đã cho.

4. (7) Một hình tròn có bán kính $R$ nội tiếp trong hình thoi. Khi các điểm tiếp xúc của đường tròn từ cạnh hình thoi được nối với nhau. Tìm diện tích của tam giác thu được nếu đường chéo chính của hình thoi gấp 4 lần bán kính của hình tròn nội tiếp.

5. (5) Hai đường tròn tiếp xúc nhau ở bên ngoài. Một tiếp tuyến được vẽ với phần đầu tiên trong số chúng, đi qua tâm của vòng tròn. Trong trường hợp này, khoảng cách từ điểm tiếp xúc đến tâm của đường tròn thứ hai bằng đường kính của đường tròn thứ hai. Tìm tỉ số diện tích của tam giác thu được với cạnh bên của nó. Tính độ dài đường trung bình của một hình thang biết chiều cao của nó là 4 cm và cạnh của nó là 5 cm.

6. (10) Đường chéo thẳng của hình thang bằng cạnh bên của nó. Tính độ dài đường trung bình của một hình thang biết chiều cao của nó là 4 cm và cạnh của nó là 5 cm.

7. (6) Góc ở đáy của tam giác cân bằng bằng $\varphi$. Chiều cao của tam giác này hạ xuống đáy sẽ chia cho một chiều cao khác ở đoạn nào?

8. (2) Trong tam giác $ABC$ các cạnh $|AC|=b$, $|BC|=a$, $|AB|=c$ đã biết. Tìm tỉ số của điểm $D$, nằm trên cạnh $[BC]$, chia đoạn $[BC]$, nếu biết tích các khoảng cách từ điểm $D$ đến hai cạnh còn lại của tam giác là quan trọng nhất.

9. (16) Diện tích đáy của một đường thẳng tam giác đều bằng một nửa diện tích mặt bên của nó. Tìm các giá trị của góc mặt phẳng tại đỉnh của đường thẳng.

10. (3) Trong một đường thẳng tam giác đều, nó bằng một nửa diện tích bề mặt bên của nó, nếu tỷ lệ giữa cạnh bên và cạnh đáy là 2:3. Viết Đáp số theo độ.

11. (12) Đáy của hình bình hành thẳng là hình vuông có đường chéo phẳng $m$. Đường chéo nhỏ của hình bình hành được áp vào mặt phẳng của đế một góc $\beta$. Tìm thể tích của hình bình hành.

12. (7) Tại đáy của tam giác thẳng có $ABC$ cạnh bằng $a$. Cạnh bên $DB$ vuông góc với mặt phẳng đế. Độ dài cạnh bên $CD$ là 2a. Điểm $M$ là trung điểm của cạnh $AD$. Tìm góc giữa các đường thẳng $CM$ và $MB$.

13. (11) Thể tích của hình nón là $V$ và bán kính của đáy là $R$. Diện tích giây phát sáng của hình nón là bao nhiêu? Tính toán nếu $V=4\pi R$.

14. (6) Một hình thoi có góc nhọn $a$ được ghép quanh một cạnh của nó. Độ dài đường chéo lớn hơn của hình thoi là $d$. Tìm mặt phẳng của vật quay thu được.

15. (5) Mặt bên của hình nón có đường sinh $l$ biến thành một hình cung có góc ở tâm bằng $6\pi/5$. Tìm thể tích của hình nón.

16. (13) Một hình nón được đặt trong hình trụ sao cho đáy của hình nón trùng với đáy dưới của hình trụ, và đỉnh của hình nón trùng với tâm của đáy trên của hình trụ. Đường sinh của hình nón nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $a$. Tìm thể tích của hình trụ nếu tổng diện tích bề mặt của hình nón là $S$.

17. (10) Một quả bóng nội tiếp trong một hình nón. Góc giữa chiều cao của hình nón và phần tử tạo của nó bằng $a$. Tìm tỉ số thể tích của hình nón và thể tích của hình cầu.

18. (3) Xung quanh hình nón, góc nghiêng của ma trận với mặt phẳng đáy bằng $a$, một hình cầu được ngoại tiếp. Tìm tỉ số thể tích của hình nón và hình cầu đã cho.

19. (4) Một quả bóng nội tiếp trong một hình nón. Tỉ số giữa thể tích hình cầu và thể tích hình nón là $q$. Không-

51

Vẽ góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy của hình nón. Vui lòng cung cấp các giá trị hợp lệ cho $q$.

23. (3) Một paramid tứ giác đều được mô tả xung quanh một quả cầu có bán kính $R$, các mặt bên của nó nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $a$. Tìm tổng diện tích bề mặt của paramid.

24. (4) Trong một lăng trụ tam giác đều, vẽ một phần đi qua một trong các cạnh của đáy dưới và đỉnh đối diện của đáy trên. Tìm diện tích mặt cắt ngang nếu cạnh của đáy bằng $a$ và mặt phẳng tiết diện tạo thành một góc bằng $a$ với mặt phẳng của đáy.

25. (4) Ba quả bóng giống hệt nhau có bán kính $r$ chạm vào một mặt phẳng và mỗi quả bóng chạm vào hai quả bóng khác. Tìm bán kính của quả bóng chạm mặt phẳng và ba quả bóng đã cho.

26. (13) Chứng minh rằng nếu các cạnh đối diện của một tứ diện bằng nhau thì các bi nội tiếp trong tứ diện và ngoại tiếp xung quanh nó là đồng tâm.

27. (13) Chứng minh rằng nếu tất cả các đường chéo của hình bình hành có độ dài bằng nhau thì hình đó là hình chữ nhật.

Kiểm tra miệng

đại số

1. (9) Ba số có tổng bằng 26 tạo thành một cấp số nhân và là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ năm của một cấp số cộng. Tìm những con số này.

2. (6) Tìm hai số sao cho số thứ nhất bằng 40% bình phương của số thứ hai, số thứ hai bằng 135% bình phương của số thứ nhất.

3. (6) Tính toán
   $$\log_{0,25} \cos 675^\circ.$$

4. (3) Tìm 10% của số
   $$\frac{(27^{\log_3 2} + 5^{\frac{1}{2} \log_5 49}) (-81^{\log_9 4} + 8^{\frac{1}{2} \log_2 9})}{3 + 5^{\frac{1}{2} \log_5 16 + \log_5 3}}.$$

5. (12) Tính $\cos(\alpha + \frac{5}{4}\pi)$ nếu $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$, $\pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi$.

6. (12) $\log_3 \frac{1}{7}$ nằm giữa những số nguyên nào?

7. (2) Không sử dụng bảng logarit, chứng minh rằng
   $$\frac{1}{\log_2 \pi} + \frac{1}{\log_5 \pi} > 2.$$

8. (3) Tính giá trị của biểu thức $(\cos^2 \alpha - 2 \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cos(\pi + \alpha) - \sin^2 \alpha)^2$ tại $\alpha = \frac{5\pi}{24}$, sau khi đơn giản hóa nó.

9. Giải phương trình:
   a) (9) $\sqrt{5x-1} = \sqrt{3x-2} - \sqrt{2x-3}$;
   b) (9) $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}$;
   b) (10) $\sqrt{4+x}\sqrt{x^2+40} = x+2$;
   r) (9) $4^{1-x} - 4^{1+x} + 16^x = 16^{-x} = 7$;
   d) (9) $\lg x^2 + \lg(x+10)^2 = 2\lg 11$;
   e) (10) $\log_2(9^{x-1}+7) = 2 + \log_2(3^{x-1}+1)$;
   j) (7) $4\sin^4 x + \cos 4x = 1 + 12\cos^4 x$;

3. (9) $\sin 2x = 1 + \sqrt{2} \cos x + \cos 2x$.

10. (10) Tìm nghiệm của phương trình $3 \sin(\frac{\pi}{4}-x) = 2 \cos(\frac{\pi}{4}+x)$ thuộc khoảng $-\pi$; 0[.
11. (7) Với $x$ thì vectơ $\vec{a} = (-1; 4 \sin x)$ vuông góc với vectơ $\vec{b} = (\sin 3x; \cos 2x)$.
12. Giải hệ phương trình:
    a) (9) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x+y}{3} + \frac{x+y}{6} = 6, \\ x^2+5y^2=6xy; \end{array} \right.$
    b) (2) $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{(x+y)^2} = 3, \\ \sqrt{(x-y)^2} = 1. \end{array} \right.$
13. Giải bất đẳng thức:
    a) (3) $\frac{1}{x+2} < \frac{3}{3x-1}$;
    b) (7) $|x^2-5x| < 6$;
    b) (9) $\sqrt{x+1/4} > 2x-1/2$;
    r) (6) $(x+2)\sqrt{x^2-3x-4} \ge 0$;
    d) (9) $\log_1/3 x > \log_2 3-5/2$.
14. (10) Tìm tất cả các giá trị của $x$ thuộc khoảng $[0; \pi]$ mà bất đẳng thức đúng
    $$\left(\frac{5}{4}\right)^{2\cos^2 x} < \frac{5}{4}.$$
15. Tìm miền xác định của hàm số:
    a) (12) $y = \sqrt{|x|-4}$;
    b) (10) $y = \frac{\sqrt{7+6x-x^2}}{\lg(2x-8)}$;
    b) (2) $f(x) = \sqrt{2^x-3^x}$;
    r) (9) $y = \log_{(x+5)}(\sqrt{x^2-5x-24}-x+2)$.
16. (11) Xác định các hệ số của phương trình bậc hai $x^2+px+q=0$ sao cho nghiệm của nó là $p$ và $q$.
17. (10) Đồ thị hàm số $y=a^x+2$ đi qua điểm $M(1; 8)$. Tìm $a$ và tập hợp các giá trị của $x$ sao cho $0,5 < y \leq 16$. Xây dựng một biểu đồ biểu thị trên đó tập hợp mong muốn $x$ và tập hợp đã cho $y$.
18. Vẽ đồ thị:
    a) (6) $y=x^2-|x|(x+4)+2$;
    b) (7) $y=|\log_2(x-1)|$;
    b) (7) $y \leq e^{\ln \sin x}$.
    Phân tích
19. (6) Các nghiệm của một tam thức bậc hai là -1 và 3. Tìm nghiệm của một tam thức tùy ý.
20. (3) Tìm giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm $y=15-3\cos x+cos 3x$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$.
21. Tìm các khoảng tăng và giảm của hàm số:
    a) (9) $y=(x+1)\sqrt{(x-1)^2}$;
    b) (12) $y=2^{x^2-4x}$.
22. (2) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của một đường cong
    $$y=x^5+8x+1$$
    tạo thành một góc nhọn với trục $Ox$.
    Hình học
23. (3) Tọa độ ba đỉnh của hình bình hành $A(-3, -2), B(3, 1), C(5, 0)$ đã biết. Tìm tọa độ đỉnh thứ tư của nó.

52

2. (6) Đã cho các vectơ $\vec{OB} = \vec{b}$ và $\vec{OC} = \vec{c}$, trong đó $O$ là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác $ABC$. Tìm các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

3. (10) Độ dài hai cạnh của một tam giác vuông là 12 cm và 35 cm. Tìm độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.

4. (2) Một hình tròn có bán kính $r$ nội tiếp một tam giác vuông có góc $a$. Tìm cạnh huyền của tam giác này.

5. (7) Cho một hình thang hình chữ nhật có hai đáy bằng 3 và 2 và cạnh ngắn hơn bằng 1. Xác định khoảng cách từ giao điểm các đường chéo của hình thang đến đáy của nó.

6. (6) Tỉ số giữa diện tích hình tròn và diện tích hình thoi ngoại tiếp nó bằng $\frac{\pi}{8}$. Tìm góc nhọn của hình thoi.

7. (3) Chu vi của một tam giác đều là 12. Hỏi diện tích của tam giác đó bằng bao nhiêu?

8. (11) Đường sinh của hình nón nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $a$. Xác định diện tích đáy của hình nón nếu tổng bề mặt của nó là $Q$. Tính giá trị diện tích đáy tại $Q=36$, $a=60^\circ$.

Vật lý

Bài toán thi nói và thi viết Cơ học

1. (11) Tốc độ của tàu điện tăng từ $v_1=21,6$ km/h lên $v_2=108$ km/h trên đường $l=54$ m. Xác định gia tốc của đoàn tàu. Trình bày kết quả theo đơn vị SI.

2. (10) Một vật rơi tự do đi được quãng đường bao nhiêu trong giây thứ ba chuyển động ($g=10$ m/s$^2$)?

3. (10) Một vật có khối lượng $m=2$ kg phải được ném thẳng đứng xuống dưới với vận tốc ban đầu là bao nhiêu để sau $t=1$ s thì động năng của nó bằng $E_k=2,5$ kJ ($g=10$ m/s$^2$)?

4. (10) Những giọt nước rơi từ mái của một tòa nhà ở độ cao $h=16$ m đều đặn, giọt đầu tiên chạm đất tại thời điểm gót chân được tách ra khỏi mái. Xác định: a) thời điểm rơi rơi; b) khoảng cách giữa hình tam giác và giọt thứ tư trong không khí khi giọt đầu tiên chạm đất.

5. (1) Một quả bóng được ném thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Một số điểm $A$ bóng đi qua hai lần: sau thời gian $t_1$ và thời gian $t_2$ sau khi bắt đầu chuyển động. Xác định độ cao của điểm $A$ bằng bề mặt trái đất. Tuân thủ không khí không được tính đến.

6. (5) Từ một chiếc trực thăng nằm ở độ cao $h=500$ m, một hòn đá đã được thả rơi. Sẽ mất bao lâu để hòn đá chạm tới bề mặt trái đất nếu: a) máy bay trực thăng không chuyển động; b) máy bay trực thăng bay lên với tốc độ $v_0=4,9$ m/s? Tuân thủ không khí không được tính đến.

7. (11) một hòn đá được ném theo phương ngang ở độ cao $h=1,25$ m so với mặt đất, rơi xuống đó cách điểm ném một khoảng $l=5$ m (theo phương ngang). Xác định vận tốc ban đầu của hòn đá. Trình bày kết quả theo đơn vị SI. Tuân thủ không khí không được tính đến. Chấp nhận $g=10$ m/c$^2$.

8. (1) Thể tích $V_\pi$ của một chiếc phao sắt phải bằng bao nhiêu để nó có thể nổi trên mặt nước? Thể tích phao $V$, mật độ sắt $Q_\pi$, mật độ nước $Q_\beta$.

9. (9) Trên các cốc có diện tích bằng nhau nhúng vào nước, ta tìm thấy một quả cầu sắt có khối lượng bằng nhau $m$. Xác định khối lượng của một quả cầu đồng đặc cần thêm vào để khôi phục lại trạng thái cân bằng. Mật độ của nhôm $Q_a=2,7$ g/cm$^3$, sắt $Q_\beta=7,88$ g/cm$^3$, đồng $Q_\gamma=8,93$ g/cm$^3$.

10. (9) Một ống dài có đường kính $d$ được hạ xuống một bể chứa chất lỏng, phía sau gắn chặt một đĩa hình trụ có độ dày $h$ và đường kính $D$. Mật độ của vật liệu đĩa $Q_\alpha$ lớn hơn mật độ của chất lỏng $Q_\beta$. Ống được nâng lên từ từ. Xác định mức độ đĩa thoát ra khỏi ống.

11. (1) Để lấy mẫu đất, một thiết bị được hạ xuống đáy đại dương trên cột thép. Tìm độ sâu ngâm tối đa nếu độ bền kéo của thép là $\sigma_{\pi p}=4,8 \cdot 10^8$ H/m$^2$. Khối lượng của thiết bị có thể được so sánh với khối lượng của troy. Mật độ của thép là $Q_c=7,8 \cdot 10^3$ kg/m$^3$, mật độ của nước biển là $1,03 \cdot 10^3$ kg/m$^3$.

12. (14) Bình chứa hai chất lỏng không trộn lẫn được có mật độ khác nhau. Một khối vỏ đơn nổi ở bề mặt tiếp xúc chất lỏng, chìm hoàn toàn trong chất lỏng. Mật độ của vật liệu khối $Q$ lớn hơn mật độ $Q_1$ của chất lỏng phía trên, nhưng nhỏ hơn mật độ $Q_2$ của chất lỏng phía dưới ($Q_1<Q_2$). Phần thể tích của khối lập phương sẽ nằm trong chất lỏng phía trên là bao nhiêu?

13. (14) 1/3 đoàn tàu được tháo móc khỏi đoàn tàu đang chạy dọc theo đoạn đường nằm ngang với vận tốc không đổi $v_0$. Sau một thời gian, tốc độ của ô tô rời đi giảm đi một nửa. Giả sử lực kéo không thay đổi khi đoàn tàu bị gãy, hãy xác định vận tốc đầu tàu tại thời điểm này. Lực kéo tỷ lệ thuận với trọng lực và không phụ thuộc vào tốc độ.

14. (14) Tìm gia tốc mà các tải có khối lượng $m_1$ và $m_2$ sẽ chuyển động trong một hệ gồm một khối cố định và ba khối di động (hình 1). Với tỷ lệ nào giữa các khối lượng thì hệ sẽ ở trạng thái cân bằng? Ngừng sử dụng tren và rất nhiều khối.

15. (11) Với một lực nhỏ nhất đặt theo phương ngang, một khối phẳng phải được ép vào một bức tường thẳng đứng để nó không trượt xuống? Khối lượng của khối là $m=6$ kg, hệ số ma sát giữa khối và tường là $μ=0,1$. Trình bày kết quả theo đơn vị SI. Chấp nhận $g=10$ m/c$^2$.

16. (1) Đoàn tàu đang đến gần ga với tốc độ $v=72$ km/h và bắt đầu giảm tốc độ. Thời gian phanh ngắn nhất để dừng hẳn mà vẫn an toàn cho hành khách đang ngủ (hành khách không bị ngã khỏi kệ)? Quãng đường phanh tối thiểu là bao nhiêu? Coi gia tốc của máy cắt khi phanh là không đổi, hệ số ma sát giữa các hành khách trên kệ là $μ=0,2$.

17. (13) Vogon di chuyển dọc theo bán kính cong $R=800$ m với tốc độ $v=72$ km/h. Khoảng cách giữa các đường ray là $l=1,68$ m. Xác định xem thanh ray lắp vào phải cao hơn bao nhiêu so với thanh bên trong để không bị lật?

18. (1) Bên trong ống giữa các điểm $A$ và $B$ (hình 2) máy rửa khối $m$ trượt. Xác định lực ép cực đại của vòng đệm lên thành ống nếu chiều dài AB bằng đường kính của ống. Ban ngày không được tính đến.

19. (9) Một ô tô có khối lượng $m=1000$ kg lái lên một cây cầu lồi dài $l=156$ m

53

đồng tốc độ $v_0=36$ km/h. Tại chỗ nó chuyển động với gia tốc $a=1$ m/s². Xác định lực ép của máy vào giữa chỗ có bán kính cong $R=200$ m.

20. (1) Ống chỉ được treo bằng sợi chỉ quấn trên đó gần một bức tường thẳng đứng (hình 3). Bán kính cuộn dây nhỏ $r$, bán kính lớn hơn $R$, hệ số ma sát giữa cuộn dây và tường $μ$. Góc $α$ giữa sợi dây và tường theo hướng nào thì cuộn dây không trượt dọc theo tường?

21. (1) Nếu các vật nặng có khối lượng $m_1$ và $m_2$ lần lượt được treo vào lò xo, thì chiều dài của nó sẽ bằng sự tương ứng của $l_1$ và $l_2$. Công nào được thực hiện khi lò xo bị kéo dãn từ chiều dài $l_1$ đến chiều dài $l_2$?

22. (14) Một quả cầu gỗ có khối lượng $M$ nằm trên một giá đỡ mỏng. Một viên đạn có khối lượng $m$ bay thẳng đứng lên trên, chạm vào quả bóng từ bên dưới và xuyên qua nó. Trong trường hợp này, quả bóng nhảy lên độ cao $h$. Viên đạn sẽ bay lên cao bao nhiêu so với lúc giao bóng nếu tốc độ của nó trước khi chạm bóng là $v$?

23. (10) Hai khối lượng $m_1=10$ kg và $m_2=15$ kg được treo tự do trên các sợi dây dài $l=2$ m sao cho chúng chạm vào nhau. Tải thay đổi bị lệch một góc $α=60°$. Xác định: a) thế năng của tải bị loại bỏ đã thay đổi bao nhiêu; b) Tải trọng sẽ tăng lên độ cao bao nhiêu nếu thả tải trọng lệch đi và sau va chạm các tải trọng chuyển động cùng nhau.

24. (1) Hai quả cầu có khối lượng tỉ lệ 1:2 được treo trên những sợi dây nhẹ giống nhau có chiều dài $l$. Trong trường hợp này, các quả bóng chạm vào nhau. Các quả bóng được di chuyển theo hướng ngược nhau sao cho chúng lệch khỏi phương thẳng đứng một góc $α$, đồng thời chúng được thả ra. Xác định vận tốc của viên bi quay ngay sau khi va chạm. Bỏ qua sức cản của không khí.

25. (8) Một tời điện có công suất $N=15$ kW, trượt đều lên trên dọc theo mặt phẳng nghiêng của vật. Xác định góc nghiêng của mặt phẳng nếu nó có xung lượng $P=5 \cdot 10^3$ kg m/s và hệ số ma sát là $μ=0,1$.

Vật lý phân tử. Kể hiện tượng

1. (14) Động năng trung bình của chuyển động xaotic của các phân tử ở một nhiệt độ nhất định là như nhau đối với mọi chất. Xác định tỉ số tốc độ trung bình của chuyển động tự nhiên của các phân tử hydro và oxy ở cùng nhiệt độ.

2. (8) Một bình có dung tích $V=10$ l chứa đầy khí ở áp suất $p=2 \cdot 10^5$ Pa. Bao nhiêu nước sẽ tràn vào bình nếu một lỗ được tạo dưới nước ở độ sâu $h=40$ m ở phần dưới cùng của nó? Áp suất khí quyển $p_a=10^5$ Pa. Mật độ nước $q=10^3$ kg/m³.

3. (1) Có một chất khí đựng trong một bình kín ở nhiệt độ $T=300$ K và áp suất $p=1,1 \cdot 10^5$ Pa. Khi chất khí này được đun nóng lên $\Delta T=400$ K thì áp suất khí trong xi lanh tăng $\Delta p=160$ kPa. Khí có phân ly khi đun nóng không? Có thể tránh được việc thay đổi thể tích của xi lanh trong quá trình gia nhiệt.

4. (14) Khí lần lượt được chuyển từ trạng thái 1 với nhiệt độ $T_1$ sang trạng thái 2 với nhiệt độ $T_2$, sau đó ở trạng thái 3 với nhiệt độ $T_3$ và trở về trạng thái 1. Xác định nhiệt độ $T_3$ nếu các quá trình thay đổi trạng thái xảy ra như trong hình 4 và đã biết nhiệt độ $T_1$ và $T_2$.

5. (9) Nước nặng $m=3$ g được cho vào bình có thể tích $V=10$ l, chứa đầy không khí khô trong điều kiện bình thường (áp suất $p_0=1,01 \cdot 10^5$ Pa, nhiệt độ $t_0=0^\circ\text{C}$) và đun nóng đến nhiệt độ $t=100^\circ\text{C}$. Xác định áp suất của không khí ẩm trong bình ở nhiệt độ này.

6. (1) Một bình có thể tích $V=100$ l chứa đầy không khí khô ở áp suất khí quyển bình thường ($p_0=1,01 \cdot 10^5$ Pa). Sau đó, $m=100$ g nước được đổ vào bình và hàn nhiệt lại. Liệu toàn bộ nước có biến thành hơi nước nếu bình được đun nóng đến nhiệt độ $t=100^\circ\text{C}$ và nhiệt độ này được duy trì không đổi? Khối lượng mol của nước là $M=18 \cdot 10^{-3}$ kg/mol, hằng số khí phổ quát là $R=8,31$ J/(mol K). Có thể tránh được việc thay đổi thể tích của bình khi đun nóng.

7. (14) Nhiệt độ trong nồi hơi của động cơ hơi nước là $t_1=150^\circ\text{C}$. Nhiệt độ tủ lạnh $t_2=10^\circ\text{C}$. Mô-men xoắn vận hành tối đa theo lý thuyết của máy là bao nhiêu nếu $m=200$ kg than được đốt trong lò có hiệu suất là $\eta=80\%$ ở tốc độ ấm từ xa là $q=3,1 \cdot 10^7$ J/kg?

8. (5) Viên đạn chì phải di chuyển với tốc độ bao nhiêu để tan chảy khi va vào tường? Nhiệt độ của viên đạn đang bay là $T=300$ K. Người ta cho rằng toàn bộ lượng nhiệt tỏa ra khi va chạm đã làm viên đạn nóng chảy. Nhiệt độ nóng chảy của chì là $c=100$ J/(kg K), nhiệt dung riêng của chì là $\lambda=3 \cdot 10^4$ J/kg.

54

9. (1) Trong thời gian τ=2,0 giờ ô tô đã đi được quãng đường s=160 km. Đồng thời, động cơ phát triển công suất trung bình N = 70 kW với hệ số hiệu suất η = 25%. Người lái xe đã tiết kiệm được bao nhiêu nhiên liệu trong chuyến đi này nếu mức tiêu thụ là m₀=36 kg mỗi s₀=100 km? Tellota của nhiên liệu q=4,2 · 10⁷ J/kg.

Nguyên tắc cơ bản của điện động lực học

1. (5) Hai điện tích chính xác đặt cách nhau một khoảng l. Nếu khoảng cách giữa chúng giảm Δl=50 cm thì lực tương tác sẽ tăng gấp 2 lần. Tìm l.

2. (9) Giữa các bản của một tụ điện phẳng nằm ngang trong không khí có một giọt dầu tích điện có khối lượng m=10⁻⁸ g và điện tích q=10⁻¹⁵ C. Khi hiệu điện thế giữa các bản là U=500 V và ở tốc độ ban đầu v₀=0, giọt di chuyển một quãng đường nhất định chậm hơn hai lần so với khi không có điện trường. Tìm khoảng cách giữa các tấm. Yêu cầu sức cản không khí.

3. (8) Tụ điện dương được tích điện đến hiệu điện thế U = 200 V, sau đó ngắt khỏi nguồn điện áp, khoảng cách giữa các bản tăng lên gấp 3 lần và toàn bộ được nhúng vào dầu máy biến áp. Xác định hiệu điện thế giữa các bản tụ điện sau khi ngâm trong dầu, nếu giá trị điện môi của dầu ăn là ε=2,2.

4. (14) Ở đáy bình chứa chất lỏng có chất điện môi lỏng với chất điện môi tương đối là dầu ăn S. Một tấm khác, có dạng một thanh có chiều cao H và diện tích S, nổi phía trên nó trong chất điện môi. Mặt phẳng dưới của khối sẽ chìm xuống độ sâu bao nhiêu nếu đặt các điện tích Q có cùng độ lớn nhưng trái dấu vào các bản? Mật độ của chất lỏng là Q₀, mật độ của khối là Q (Q₀>Q). Trường giữa các tấm được coi là đồng nhất.

5. (8) Xác định EMF của nguồn nếu khi nối một điện trở có điện trở R thì điện áp ở các cực của nguồn là U₁=10 V và khi nối một điện trở có điện trở 5R thì điện áp là U₂=20 V.

6. (13) Ắc quy bị chập mạch đến dây dẫn không có rôto. Hai ampe được mắc song song với nhau trong mạch; chúng thể hiện sự tương ứng của I₁=2 A và I₂=3 A. Sau đó, các ampe này được nối nối tiếp trong mạch và chúng hiển thị I₃=4 A. Dòng điện trong mạch khi không có ampe là bao nhiêu?

7. (14) Cho một hình vuông nối dây (hình 5). Điện trở cạnh hình vuông R=1 Ohm. Các tiếp điểm M và N chuyển động đồng thời trên các cạnh AB và CD. Điện trở của hình vuông thay đổi trong giới hạn nào?

8. (11) Nguồn dòng được đóng một lần bởi một dây dẫn có điện trở R₁=4 Ohm, và nguồn còn lại được đóng bởi một dây dẫn có điện trở R₂=9 Ohm. Trong trường hợp chung, lượng nhiệt tỏa ra trong một vật dẫn

55

17. (10) Một dây dẫn có chiều dài $l=0,5$ m và điện trở $R=0,025$ Ohm chuyển động tịnh tiến trong mặt phẳng vuông góc với từ trường với dấu hiệu là $B=5 \cdot 10^{-3}$ T. Một dòng điện $I=4$ A chạy qua dây dẫn. Tốc độ của dây dẫn là $v=0,8$ m/s. Công suất dùng để làm nóng dây dẫn lớn gấp bao nhiêu lần công suất dùng để làm chuyển động dây dẫn trong từ trường?

18. (9) Các nón điện tích đơn có số khối $A_1=20$ và $A_2=22$ được gia tốc trong điện trường nhờ hiệu điện thế $U=4 \times 10^3$ V, sau đó đi vào một từ trường đều có chỉ số $B=0,25$ T. vuông góc với các đường sức từ và có hình bán nguyệt, được dệt thành hai bó. Xác định khoảng cách giữa các tia này.

19. (1) Một từ trường đồng nhất có chỉ thị $B$ được tạo ra trong một dải có độ dày $d$ (hình 9). Chùm tia điện tử được định hướng vuông góc với vạch và đường thẳng của vectơ chỉ thị từ. Ở tốc độ nào $v$ các electron sẽ không bay sang phía bên kia của dải (phản xạ từ bức tường từ)?

20. (14) Trong một từ trường đều có chỉ số $B$ có một cuộn dây khép kín có đường kính $d$ và có số vòng $n$. Mặt phẳng của cuộn dây vuông góc với các đường chỉ thị trường. Điện tích nào sẽ truyền qua mạch cuộn dây nếu bề mặt của nó là $180^\circ$? Dây mà cuộn dây được quấn có diện tích mặt cắt ngang $S$ và điện trở suất $q$.

Dao động và sóng

1. (11) Điểm vật chất thực hiện dao động điều hòa theo phương trình $x=2 \sin \left( \frac{\pi}{3} t + \frac{\pi}{4} \right)$, trong đó mọi đại lượng đều được tính bằng đơn vị SI. Xác định chu kỳ dao động. Trình bày kết quả theo đơn vị SI.

2. (10) Xác định chiều dài của nam châm toán học nếu biết rằng khi chiều dài của sợi dây giảm đi $\Delta l=5$ cm thì tần số dao động của nam châm tăng $k=1,5$ lần.

3. (5) Hai nam châm bắt đầu dao động đồng thời. Trong cùng khoảng thời gian, vật thứ nhất tạo ra dao động $N_1=20$ và vật thứ hai tạo ra dao động $N_2=10$. Xác định tỉ số chiều dài của các nam châm này.

4. (1) Vật gắn vào vòng tròn bị ném mất thăng bằng và thả ra làm cho nó dao động điều hòa dọc theo thanh ngang. Xác định tỉ số động năng của hệ và thế năng của nó sau một thời gian $t$ trôi qua sau khi bắt đầu dao động, nếu chu kỳ của chúng là $T$. Khối lượng của lò xo có thể được chuyển đổi.

5. (10) Một quả cầu kim loại có khối lượng $m=10$ g và mang điện tích dương $q=1,6 \cdot 10^{-7}$ Cl được treo trên một sợi dây dài. Xác định: a) lực căng của sợi dây, nếu sợi dây và quả cầu nằm trong một điện trường đều hướng lên trên có hướng $E=10^5$ V/m; 6) mối liên hệ giữa chu kỳ dao động tự do khi điện trường tắt và khi điện trường mở.

6. (10) Máy thu được điều chỉnh theo bước sóng nào nếu mạch thu của nó có độ tự cảm $L=0,003$ H và điện dung $C=3 \cdot 10^{-10}$ Ф ($c=3 \cdot 10^8$ m/s)?

7. (11) Xác định chu kỳ dao động điện từ tự do trong mạch có độ tự cảm $L=10$ mH và điện dung $C=10$ mF. Trình bày kết quả tính bằng micro giây và làm tròn đến số nguyên gần nhất.

8. (5) Mạch dao động gồm một cuộn dây có độ tự cảm $L=0,2$ mH và một tụ điện biến thiên, điện dung của nó có thể thay đổi từ $C_1=50$ đến $C_2=450$ pF. Mạch này có thể bao phủ dải tần số và bước sóng nào?

9. (10) Mạch điện gồm cuộn dây và tụ điện. Chu kì dao động tự nhiên của mạch tăng lên bao nhiêu lần nếu ghép thêm 3 tụ điện giống nhau mắc song song với tụ điện?

Quang học

1. (11) Một chùm ánh sáng song song chiếu vào mặt phân cách giữa hai môi trường có chiết suất $n_1$ và $n_2$ ($n_1 < n_2$) theo hướng tia 1 (hình 10). Chùm tia sáng khúc xạ nằm ở hướng nào (2, 3 hoặc 4)? Đáp số biện minh.

2. (14) Mặt cắt ngang của lăng kính thủy tinh có dạng tam giác đều. Chùm tia rơi vào một trong các mặt thay đổi của chùm tia tới và chùm tia ló ra khỏi lăng kính. Chiết suất của dòng chảy là $n=1,5$.

3. (13) Một nguồn sáng điểm có thể được nhúng trong nước ở độ sâu tối đa bao nhiêu để một chiếc bè hình vuông có cạnh $a=4$ m không truyền ánh sáng vào khoảng không phía trên mặt nước? Chiết suất của nước là $n=1,33$, tâm của bè nằm phía trên nguồn sáng.

4. (8) Một tia sáng chiếu vào mặt lăng kính thủy tinh biến thiên theo bề mặt của nó và rời khỏi mặt đối diện, lệch khỏi hướng ban đầu một góc $a$ (hình 11). Xác định góc khúc xạ của lăng kính $\beta$ nếu chiết suất của dòng chảy là $n$.

5. (1) Nhựa bao gồm nhiều lớp phẳng của các chất khác nhau. Một tia sáng từ không khí rơi xuống lớp thứ nhất một góc $a$. Xác định góc khúc xạ ở lớp cuối cùng nếu chiết suất của chất thuộc lớp này là $n$.

6. (1) Một tia sáng rơi bình thường lên mặt bên của nêm thủy tinh. Góc của cái nêm phải là bao nhiêu để chùm tia phản xạ từ cái nêm thứ hai, mạ bạc, bị hư hỏng và rơi trở lại bề mặt thứ nhất của nó, phản xạ hoàn toàn lên nó? Xét chiết suất của dòng chảy $n$ đã biết.

56

Hình 12.

7. (10) Tiêu cự của thấu kính của thiết bị chiếu là $F=0,25$ m. Thiết bị chiếu sẽ tăng phạm vi bao nhiêu nếu màn hình được lấy ra khỏi ống kính ở khoảng cách $f=4$ m?

8. (9) Điểm di chuyển với tốc độ $v_1=1$ m/s vuông góc với trục quang chính của đường thu có tiêu cự $F=20$ cm, cắt trục ở khoảng cách $d=60$ cm so với đường thẳng. Ảnh của điểm chuyển động với tốc độ bao nhiêu?

9. (1) Một vật ở dạng que được đặt dọc theo trục quang chính của một đường thu mỏng sao cho các đầu của nó cách xa đường đó ở những khoảng cách $d_1=3/2$ F và $d_2=5/4$ F, trong đó F là tiêu cự chưa xác định của đường thẳng. Hỏi chiều dài của ảnh lớn hơn chiều dài vật bao nhiêu lần?

10. (1) Một nguồn sáng chính xác được đặt trên trục quang chính, cách đường thu $d=60$ cm, tiêu cự của nó là $F=40$ cm. Thấu kính được cắt thành hai nửa dọc theo đường kính của nó và cách nhau đối xứng một khoảng $r=1$ cm theo hướng vuông góc với trục quang chính.

Danh sách độc giả gửi đúng lời giải

(Để bắt đầu, xem trang 46)

94, 97; M. Kudryashev (Moscow) 02; M. Kuzin (Kolomna) 99; D. Kutsuloria (Tbilisi) 96; P. Linnik (làng Anapskaya, vùng Krasnodar) 93, 95; Yu. Litvinenko (Voronezh) 96; K. Lopin (Frunze) 93; D. Lunts (Saratov) 93—97, 99, 00; P. Lushinkov (Moscow) 93, 95—97, 01, 02, 04; O. Mazyar (Lviv) 96, 02, 06; I. Maresin (Moscow) 06; G. Marchenko (Saratov) 95; A. Mastykin (Minsk) 94; Yu. Makhlin (Moscow) 00, 02, 06; S. Mashkevich (Kyiv) 93, 95, 96, 00—02, 06; A. Medvedev (Gorky) 06; V. Menkov (Moncherorsk) 93—96, 99, 01, 02—04, 06, 07; A. Mikalyevich (Panevėžys) 94, 96, 99, 00; S. Minev (Sverdlovsk) 93-95; T. Misirpashev (Moscow) 99, 00, 02, 07; A. Mikheev (Moscow) 93, 96, 97; V. Moravetsky (Kyiv) 99, 06; O. Moroz (Alma-Ata) 02; A. Muravyova (Brest) 99; S. Magchilov (Odeska) 93—03, 06, 07; A. Nedachin (Kyiv) 99; S. Nikonenko (Kyiv) 93, 95, 97, 99, 02, 06; S. Odanesyan (Baku) 04; N. Ovcharenko (Kyiv) 04, 06; E. Odnogorova (Vinnitsa) 01; A. Onufriev (Moscow) 93, 00, 02, 06; O. Osaulenko (Kyiv) 93, 95, 99, 00, 04; S. Pavlik (Uzhgorod) 93; R. Palamaruk (Nizhyn) 96, 06; A. Panytse (Magadan) 06; V. Parkansky (CHISINAU) 93, 94; D. Pastukhov (Vitebsk) 93, 96, 97, 99, 01, 02; A. Perepelchiy (Vladimir-Volsky) 96, 06; S. Puchikhin (Moscow) 95; O. Posudnesky (Bereza) 06; V. Prybitkov (Nakhodka) 06; A. Prikhodovsky (Bạch dương) 06; S. Rakhamov (Kazan) 95-02; R. Rivkin (Minsk) 02, 07; A. Rostov (Vinnitsa) 96, 02, 04; S. Rosya (Minsk) 99, 00, 07; M. Rudik (Vinnitsa) 93, 02; Yu. Rybalochka (Kyiv) 96, 99, 01, 02, 04, 06; M. Savchenko (Belgorod) 95, 96, 99, 00, 02; T. Sazaidak (Kanev) 94, 95, 04; V. Sakbaev (Alma-Ata) 96, 06, 07; V. Samoilov (Kyiv) 96, 97, 99, 02; V. Sandomirsky (Vratsk) 99, 06; A. Sivachenko (Moscow) 06; M. Skorobozatok (Kyiv) 93, 95—97, 99, 00, 02—04, 06, 07; S. Sobessky (Novosibirsk) 95, 99; A. Somov (Kyiv) 93; G. Spivak (Kyiv) 93, 94, 96, 02; S. Stelanyants (Yerevan) 93, 97, 02, 04; I. Strulovtsikov (Kyiv) 93, 96; V. Suleymanov (Baku) 93-97; R. Sunik (Kyiv) 93; V. Tartakovsky (Kyiv) 93, 95—97, 99, 00, 02, 06; I. Terez (Simferovol) 93, 94, 96, 97, 99, 00, 02; P. Trusevchiy (Serdobsk) 96; S. Tuzhansky (Vinnitsa) 99, 02, A. Tyurin (Ikolaev) 02; D. Ullov (Gelendzhik) 96; E. và T. UKLIST (Astrakhan) 96; R. Ulmasov (Dushanbe) 93; M. Umansky (Moscow) 95; A. Umov (Miass) 93, 96, 00; N. Fedin (Omsk) 93, 94, 96, 97, 99—02, 04, 06, 07; L. Fedichkin (Moscow) 93—95, 00, 02, 04, 06, 07; S. Feranchuk (Minsk) 94, 96, 97, 99, 00, 02; S. Ferleer (Tashkent) 99, 00, 02; A. Fokin (Moscow) 93; V. Furman (Tashkent) 93—02, 06, 07; A. Tsirs (Apatity) 93, 95-02; S. Chernyshe (Tashkent) 06; G. Shvets (Kyiv) 93, 96, 00, 04, 06; D. Shklovsky (Leningrad) 06; P. Schmudt (Anjan) 00, 01; O. Ykovleev (Irkutsk) 93-02; MỘT. Yastrebov (Kirovograd) 06.

59

22. $H = \frac{(v - M \sqrt{2gh})^2}{2g}$.
23. a) $\Delta E_p = m_1 g l (1 - \cos \alpha) = 100$J; 6) $H = l m_1^2 (1 - \cos \alpha) / (m_1 + m_2)^2 = 0,16$ m.
24. $v = \sqrt{2g l (1 - \cos \alpha) / 3}$.
25. $\alpha_1 = 12^\circ; \alpha_2 = 24^\circ$.

Vật lý phân tử. Hiện tượng nhiệt

1. $v_B / v_K = \sqrt{M_K / M_B} = 4$.
2. $m = \rho V \left(1 - \frac{p}{p_a + \rho gh}\right) = 6$ kg.
3. Vâng, sự phân ly của sản xuất.
4. $T_3 = T_2^2 / T_1$.
5. $p = p_0 \frac{T}{T_0} + \frac{m R T}{M V} \approx 1,89 \cdot 10^5$ Bố.
6. Không, không phải tất cả nước đều biến thành hơi nước.
7. $A = \eta m q (1 - T_2 / T_1) \approx 1,6 \cdot 10^9$ J.
8. $v = \sqrt{2 (c (T_\pi - T) + \lambda)} \approx 346$ m/c.
9. $\Delta m = m_0 \frac{s}{s_0} - \frac{N \tau}{q \eta / 100\%} = 9,6$ kg.

Nguyên tắc cơ bản của điện động lực học

1. $l = \Delta l (2 + \sqrt{2}) \approx 170$cm=1,7m.
2. $d = 4q U / (3mg) \approx 7 \cdot 10^{-3}$ m=7 mm.
3. $U' = 3U / \varepsilon \approx 273$ V.
4. $h = H \frac{\rho}{\rho_0} + \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 \varepsilon S^2 \rho_0 g}$.
5. $\mathcal{E} = \frac{4 U_1 U_2}{5 U_1 - U_2} \approx 27$ V.
6. $I = \frac{I_3 (I_1^2 + I_2 I_2 + I_2^2)}{I_3 (I_1 + I_2) - I_1 I_2} \approx 5,4$ A.
7. $0,75 R \leqslant R_{\text{KB}} \leqslant R$.
8. $r = \sqrt{R_1 R_2} = 6$ Ôm.
9. $\eta = 1 - r I / \mathcal{E}$; xem hình 8.
10. $P' = P_1 (P - P_1) / P$.
11. a) $Q = I^2 R \tau = 24 000$ J=24 kJ;
12. $k = 1 + Q / (cm T) = 1,4$.
13. $\mathcal{E} = \frac{q^2 I_0}{C (q I_0 - PC)} \approx 51,1$ V.
14. Phần giới thiệu có giá trị tương đương điện cao hơn tương ứng với mục 1 (xem hình 8 trong bài viết).
15. $A = 2 U v F / (RT) \approx 1,5 \cdot 10^5$ J (ở đây F=96.500 C/mol là hằng số Faraday, R=8,31 ​​J/(mol K) là hằng số khí phổ quát).
16. $\frac{e}{m} = \frac{2 U}{B^2 R^2} = 1,76 \cdot 10^{11}$ C/kg.
17. $\frac{N_1}{N_2} = \frac{I R}{l B v} = 50$.
18. $x = \frac{2 \sqrt{2}}{B} \sqrt{\frac{m_0 U}{e}} (\sqrt{A_2} - \sqrt{A_1}) \approx 16 \cdot 10^{-3}$ m=16 mm (ở đây $m_0 = 1,67 \times 10^{-27}$ kg là đơn vị khối lượng nguyên tử, $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Cl là điện tích của ion hóa trị một).
19. $v \leqslant e B d / m$.
20. $q = B d S / (2 \rho)$.

Dao động và sóng

1. $T = 6$ tr.
2. $l = \Delta l \frac{k^2}{k^2 - 1} = 9 \cdot 10^{-2}$m=9cm.
3. $l_2 / l_1 = (N_1 / N_2)^2 = 4$.
4. $\frac{E_k}{E_p} = t g^2 \left(\frac{2 \pi}{T} t\right)$.
5. a) $T = m g - q E = 8,1 \cdot 10^{-2}$ N;
6. $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{1 - \frac{q E}{m g}} = 0,9$.
7. $\lambda = 2 \pi c \sqrt{LC} \approx 1,8 \cdot 10^3$ m.
8. $T = 2 \pi \sqrt{LC} \approx 63$ μs.
9. $v_1 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \approx 5 \cdot 10^7$ Hz; $v_2 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \approx 1,7 \cdot 10^7$ Hz; $\lambda_1 = \frac{c}{v_1} \approx 6$ m; $\lambda_2 = \frac{c}{v_2} \approx 18$ m.
10. $T_2 / T_1 = \sqrt{C_2 / C_1} = 2$.

Quang học

1. Theo định luật khúc xạ ánh sáng, tia khúc xạ truyền theo hướng 4 (xem hình 10 trong bài).
2. $\varphi = 60^\circ$.
3. $h = \alpha \sqrt{n^2 - 1} / 2 \approx 1,7$ m.
4. $\beta = \arctg \left(\frac{\sin \alpha}{n - \cos \alpha}\right)$.
5. $\beta = \arcsin \left(\frac{\sin \alpha}{n}\right)$.
6. $\frac{\pi}{4} \geqslant \varphi \geqslant \frac{1}{2} \arcsin \left(\frac{1}{n}\right)$.
7. $\Gamma = f / F - 1 = 15$.
8. $v_2 = v_1 F / (d - F) = 0,5$ m/c.
9. $l' / l = 8$.
10. $l = \frac{dr}{d - F} = 3$ xem
11. $x = \frac{d_0 (F + l) - l^2}{d_0 - l + F} \approx 6,8$cm; $\Gamma = \frac{d_0}{x - l} \approx 14$.
12. $h = \frac{E_k}{v - v_{\min}} = \frac{9,9 \cdot 10^{-20} \text{Дж}}{1,5 \cdot 10^{14} \text{Гц}} = 6,6 \cdot 10^{-34} \text{Дж} \cdot \text{с}; A = h v_{\min} \approx 4 \cdot 10^{-19} \text{Дж}$.
13. $d = (W_1 - W_2 - A) / (e E) = 9,2 \cdot 10^{-3}$ m=9,2mm.
14. $P = \frac{\eta W_0 m N_A}{M t} \approx 52$ MBt (ở đây $M = 235 \cdot 10^{-3}$ kg/mol là khối lượng mol của uranium, $t = 1$ sutt=24·60·60 s).
    Sử dụng hàm nghịch đảo
    (xem «Kvant» số 5)
15. a) $x \cdot \arcsin x + \sqrt{1 - x^2}$; 6) $x \cdot \ln x - x$.
16. a) $\frac{1}{2} [x^2 + x \sqrt{x^2 - 1} - \ln (\sqrt{x^2 - 1} + x)]$;

6. $\frac{1}{2} [x \sqrt{x^2 - 1} - \ln (\sqrt{x^2 - 1} + x)]$.

7. a) $\pi - 1$; 6) $\frac{\pi}{4}$; b) $3 \ln 2 - \frac{3}{2}$; r) $\sqrt{2} + \frac{1}{2} \ln (3 - 2 \sqrt{2})$.
8. chỉ dẫn. $\frac{y^2}{1 - y^2} = \frac{1}{2(1 + y)} + \frac{1}{2(1 - y)} - 1$.

60

Trường học yêu thích bài toán
(xem «Kvant» số 5)

1. 1−1/2+1/3−1/4+…+1/99−1/100=1+1/2+1/3+…+1/100−2(1/2+1/4+1/6+…
   …+1/100)=1+1/2+1/3+…+1/100−(1+1/2+1/3+…+1/50)=1/51+1/52+…
   …+1/100.

2. a) 69999. Lời giải. Giả sử số $a$ có tổng các chữ số $k$ hóa ra chính xác là $n$ chín ($n=0, 1, 2, ...$). Khi đó tổng các chữ số của số $a+1$ bằng $k+1-9n$.
   Do đó, $9n-1$ phải chia hết cho 7. $n$ nhỏ nhất bằng 4. Tiếp theo, chúng ta tìm thấy đáp số bằng cách chọn. 6) Trong 13 số tự nhiên liên tiếp $a$ có ít nhất 7 số cùng mười, tổng các chữ số của chúng là bảy số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 7. Số 13 trong điều kiện bài toán không thể đổi thành số nhỏ hơn: trong 12 số 994, 995, …, 1005 không có số nào có tổng các chữ số chia hết cho 7.

3. S/30. Lời giải. Hãy thực hiện $MN \parallel AC$ (hình 9).
   Sau đó $MN=\frac{1}{2}LC$. Mặt khác, các tam giác $AKL$ và $MKN$ tương tự nhau, do đó $AL/MN=AK/MK=1/2$. Do đó, $AL=MN/2=CL/4$, tức là $AL=AC/5$. Tiếp theo, $S_{AMC}=\frac{1}{2}S$, $S_{AKC}=S_{AMC}/3=S/6$ và cuối cùng là $S_{AKL}=S_{AKC}/5=S/30$.

4. $x=y=z=1$ hoặc $x=y=z=-1$. Lời giải. Trừ phương trình thứ hai từ phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được
   $$x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0,$$
   từ đâu $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0$, nhưng điều này có nghĩa là $x=y=z$.

5. Giả sử tam giác $ABC$ được yêu cầu được dựng, $A'$ và $A''$ là các điểm đối xứng với các điểm $A$ so với cạnh của góc (hình 10). Vì $A'B=AB$, $A''C=AC$ nên chu vi của tam giác $ABC$ bằng độ dài đoạn thẳng đứt đoạn $A'BCA''$. Permet vị trí sẽ nhỏ nhất trong trường hợp $B$ và $C$ là giao điểm của $A'A''$ tính từ cạnh của góc (hình 11).

6. Hãy phân tích $x^3+y^3+z^3-3xyz$ thành thừa số, một trong số đó hóa ra là $x+y+z$. Chúng tôi có: $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)=(x+y+z)((x+y)^2-(x+y)z+z^2)+(x+y)^2-3xy)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$.

7. $2\sqrt{m_1^2+m_2^2}/3$. Lời giải. Diện tích của tứ giác $ABMN$ (hình 12) là $\frac{1}{2}m_1m_2\sin \alpha$, trong đó $\alpha$ là góc giữa hai đường chéo $AM$ và $BN$ của tứ giác này. Mặt khác, $S_{ABMN}=S_{ABC}-S_{NMC}=\frac{3}{4}S_{ABC}$, do đó $S_{ABC}=4S_{ABMN}/3=2m_1m_2\sin \alpha/3$.

Nó tuân theo điều kiện $\sin \alpha=1$. Do đó, các đường trung tuyến $AM$ và $BN$ vuông góc. Vẫn còn phải áp dụng định lý Pythagore cho tam giác.

8. $2^{2800}>3^{3500}$. Lời giải. Vì chỉ cần chứng minh $2^{799}>3^{500}$ là đủ, tức là bất đẳng thức $2^{800}/3^{500}>2$. Chúng tôi có: $2^{800}/3^{500}=(256/243)^{100}=(1+13/243)^{100}$. Chúng ta hãy sử dụng định lý bất đẳng thức $(1+\alpha)^2\geq1+2\alpha$, định lý này đúng với mọi $\alpha$. Chúng tôi nhận được $(1+13/243)^{100} \geq(1+26/243)^{50} \geq(1+52/243)^{25} >(1+52/243)^{24} \geq(1+104/243)^{12} \geq(1+208/243)^{6} \geq(1+416/243)^{3} >2^3>2$.

60

61

chuỗi số $a_{1n\beta}$ và $\beta_{1n\alpha}$. Khoảng cách của hàm $y=\ln x/x$ và xây dựng đồ thị của nó (hình 14). Hàm này trả về $]0; e]$ và giảm $[e, +\infty[$. Vì $e>1,0002>1,0001$, chúng tôi nhận được $\ln 1,0002/1,0002>\ln 1,0001/1,0001$ đó và do đó $1,0002^{1,0001}>1,0001^{1,0002}$. Vì $\pi>e$, chúng tôi nhận được $\ln \pi/\pi<\ln e/e$ đó và do đó $e^{\pi}>\pi^{e}$.

13. $v/16$. Lời giải. Từ đẳng thức của các tam giác phẳng $ABD$ và $BCD$ suy ra $|AO|=|OC|$, trong đó $O$ là giao điểm của đường chéo của tứ giác $ABCD$ (hình 15). Các đoạn $OP$ và $QN$ là đường trung bình của các tam giác $ASC$ và $ASD$ nên chúng song song với đường thẳng $AS$. Do đó, các đường thẳng $OP$ và $QN$ song song và do đó, $(OP)$ song song với mặt phẳng $MQN$. Từ đó, các hình tam giác $MNQP$ và $MNQO$ có kích thước bằng nhau (chúng có chung đáy $MNQ$ và độ dài các đường cao bằng nhau, vì các điểm $P$ và $O$ cách xa mặt phẳng $MNQ$ như nhau). Bây giờ chúng ta tính thể tích của tam giác $MNQO$. Đáy của tam giác này là $MON$, được tạo thành bởi các đường giữa của tam giác $ABD$. Diện tích của nó là $S_{ABD}/4=S_{ABCD}/8$. Khoảng cách từ điểm $Q$ đến mặt phẳng $ABCD$ bằng một nửa chiều cao của đường thẳng $SABCD$. Âm mưu $V_{MNOQ}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{8}V_{SABCD}=V/16$.

14. Không. Bằng chứng. Đặt $3=aq^k$, $5=aq^l$, $7=aq^m$, ở đâu $k<l<m$. Sau đó $q^{k-l}=3/5$; $q^{k-m}=3/7$, từ đâu $(3/5)^{k-m}=(3/7)^{k-l}$, tức là $7^{l-k}=3^{m-l}\cdot5^{m-k}$. Sự bằng nhau thu được là không thể đối với $k, l, m$ tự nhiên, vì vế trái của nó chia hết cho 7, còn vế phải của nó thì không.

15. Gọi $ABCD$ là tứ giác đã cho (hình 16). Nó xuất phát từ điều kiện

$$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{0},$$

$$\vec{a}^2+\vec{b}^2+\vec{c}^2+\vec{d}^2=\vec{e}^2+\vec{f}^2.$$

Vì $\vec{e}=\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{f}=\vec{b}+\vec{c}$, từ (2) chúng ta thu được $\vec{a}^2+\vec{b}^2+\vec{c}^2+\vec{d}^2=(\vec{a}+\vec{b})^2+(\vec{b}+\vec{c})^2$, từ đó $\vec{d}^2=2\vec{b}(\vec{a}+\vec{c})+\vec{b}^2$. Thay thế $\vec{a}+\vec{c}$ bằng $-(\vec{b}+\vec{d})$ (từ đẳng thức (1)), chúng ta thu được $\vec{d}^2=-2\vec{b}\vec{d}-\vec{b}^2$, tức là $\vec{d}^2+2\vec{b}\vec{d}+\vec{b}^2=(\vec{b}+\vec{d})^2=0$. Do đó, $\vec{b}=-\vec{d}$, nhưng điều này cũng có nghĩa là $ABCD$ là hình bình hành.

Chạy vòng tròn và kể một câu chuyện dài (xem «Kvant» số 2)

Nhiệm vụ

1. Đáp số: 20 năm. Lời giải. Trước hết, rõ ràng là nhà dân túy sinh ra ở thế kỷ 20 (tổng các chữ số của số năm bất kỳ không quá $1+9+9+9=28$). Gọi $x$ và $y$ là hai chữ số cuối cùng trong năm sinh của anh ấy. Nó suy ra từ điều kiện 1984—19xy=1984-(1900+10x+y)=1+9+x+y. Vì vậy $11x+2y=74$. Vì $x$ và $y$ là các chữ số và $x$ là số chẵn nên chúng ta nhận được $x=6, y=4$. Vậy là cậu bé sinh năm 1964 tròn 20 tuổi.

2. Đáp số. Sẽ có một số. Gợi ý. Gọi $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5<x_6<x_7$ là tuổi của 7 người này, với $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=x=100$. Giả sử tổng số tuổi của ba người bất kỳ không lớn hơn 49. Khi đó $x_5+x_6+x_7\leq x_5+x_5+1+x_5+2\leq 49$. Pozny $3x_5<46$, tức là $x_5\leq 15$. Tiếp theo là $x_4\leq 14$, nhưng sau đó là $x_1\leq 11$, $x_2\leq 12$, $x_3\leq 13$. Pozny $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6\leq 11+12+13+14+49=99<100$.

3. Đáp số. Ed 2 tuổi, Mouse 12 tuổi, Dodo 72 tuổi. Gợi ý. Gọi tỉ số tuổi của Chuột và Ed là $k$, và $x$ là tuổi của Ed. Nó tuân theo điều kiện $k^2+x+kx=84$. Coi $k$ là một số nguyên và giả sử rằng độ tuổi cũng được biểu thị dưới dạng số nguyên, chúng ta thu được rằng 84 chia hết cho $x$. Nhìn qua các ước của số 84, chúng ta thấy rằng $x=2$, do đó $k=6$.

4. Đáp số: $1\cdot2\cdot3\cdot\dots(n-1)=(n-1)!$, trong đó $n$ là số lượng người tham gia phiên bản beta. Hãy để tổng số người tham gia beta $n$-peg và $n$-thay thế một số vị trí (không quan trọng là vị trí nào). Còn lại $n-1$ khoảng trống trên vòng tròn. Anh ta có thể xếp người tham gia đầu tiên vào bất kỳ vị trí nào trong số $n-1$ còn lại, người thứ hai vào $n-2$ vị trí còn lại, v.v. Tổng cộng, có $(n-1)(n-2)\dots1$ cách.

5. Nhiều khả năng là 60.000 con chuột sẽ ăn thịt một con mèo!

6. Đáp số: $\frac{a}{v}$. Gợi ý. Từ thông điệp về sự đối xứng, rõ ràng là tại mỗi thời điểm, những người tham gia phiên bản beta sẽ ở các đỉnh của một hình vuông nhỏ hơn hình vuông ban đầu (xem hình 17), bằng cách nào đó được xoay so với hình ban đầu. Chuyển động theo tư thế của mỗi bờ có thể được hình dung theo cách này: nó di chuyển theo đường chéo qua một hình vuông lớn về phía trung tâm của nó và hình vuông được bao quanh ở trung tâm. Tốc độ của mỗi lần chạy bất cứ lúc nào được hướng dọc theo cạnh của hình vuông nhỏ hơn. Người chạy di chuyển dọc theo đường chéo với tốc độ $v/\sqrt{2}$. Theo đó, tại thời điểm $O$ tất cả người chạy đều tìm thấy chính mình tại thời điểm $t=$

$$\frac{a/\sqrt{2}}{v/\sqrt{2}}=\frac{a}{v}.$$

63

$S'A'B'C'$ và $T_A$ theo tam giác ASM, $A'S'M'$ và $AA_1N$. Vì $NH:HM = NH:H'M' = S'H:S'H' = x$ (các đoạn $HM$ và $H'M'$ đối xứng với $O$, $\triangle S'HN \sim \triangle S'H'M'$) và $AH:HM = 2$ (H là tâm của tam giác đều $ABC$),

$$y = \frac{AN}{AM} = \frac{AH-NH}{AM} = \frac{2-x}{3}.$$

Bạn có thể thu được giao điểm của đường cơ sở $SABC$ với $S'A'B'C'$ bằng cách cắt các hình tam giác $T_S$, $T_A$, $T_B$ và $T_C$ khỏi nó. Chúng tôi sẽ sử dụng điều này để tính toán khối lượng của nó; bạn chỉ cần tính đến việc các hình tam giác có thể giao nhau.

Ví dụ: hãy xem xét các hình tam giác $T_S$ và $T_A$. Chúng cắt nhau khi và chỉ khi các cạnh tương ứng $SS_1$ và $AA_1$ cắt nhau (hình 20 và 21), nghĩa là khi bất đẳng thức $SA \leq SS_1 + AA_1 = xSA + ySA$ giữ nguyên

hoặc $x + y \geq 1$; thay thế $y = (2-x)/3$ ở đây, chúng ta nhận được $x \geq 1/2$. Trong điều kiện này, giao điểm của các tam giác $T_S$ và $T_A$ bản thân nó là một tam giác sẵn sàng cho số nguyên tố $SABC$ đã cho với hệ số $S_1A_1/SA = x + y - 1 = (2x - 1)/3$. Điều này cũng rất đúng đối với các giao điểm của tam giác $T_S$ với $T_B$ và $T_C$. Tương tự, tại $2y \geq 1$, tức là tại $x \leq 1/2$, các tam giác $T_A$, $T_B$ và $T_C$ cắt nhau. Giao điểm theo cặp của chúng là các hình tam giác sẵn sàng $SABC$ với hệ số $2y - 1 = (1 - 2x)/3$. Cả ba tam giác tại $x > 0$ đều không có điểm chung và tại $x = 0$ chỉ có một điểm như vậy - điểm $H$.

Bây giờ chúng ta có thể viết biểu thức cho âm lượng $v(x)$

Giao điểm của prima $SABC$ và $S'A'B'C'$. Âm lượng của phần chính $SABC$ được áp dụng cho 1, sau đó âm lượng của phần chính $T_A$, $T_B$ và $T_C$ bằng $(2-x)^3/27$, phần chính $T_S - x^3$, giao điểm của $T_S$ với các phần chính còn lại $(2x - 1)^3/27$, giao điểm theo cặp $T_A$, $T_B$ và $T_C$ $(1 - 2x)^3/27$. Từ đây chúng ta có được điều đó

$$v(x) = v_1(x) = 1 - x^3 - \frac{1}{9}(2-x)^3 + \frac{1}{9}(1 - 2x)^3$$

tại $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$,

$$v(x) = v_2(x) = 1 - x^3 - \frac{1}{9}(2-x)^3 + \frac{1}{9}(2x - 1)^3$$

tại $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$

(từ thể tích của tất cả các hình tam giác sơ bộ, chúng ta trừ thể tích của các hình tam giác $T_S$, $T_A$, $T_B$, $T_C$ và cộng vào chênh lệch này thể tích của các giao điểm theo cặp của chúng, vì mỗi trong số đó

«Kvant» cho học sinh nhỏ

(cm. «Kvant» № 4)

1. Không. Giả sử số 10a+b khi chia một số có ba chữ số cho 11. Nếu $a+b$ nhỏ hơn 10 thì các chữ số của số chúng ta sẽ là $a$, $a+b$ và $b$, điều này trái với việc giảm các chữ số, vì $a+b$ không nhỏ hơn $a$ và nếu $a+b$ lớn hơn 10 thì các chữ số sẽ là $a+1$, $a+b-10$ và $b$, ngược lại với số giảm dần, vì $a+b-10$ nhỏ hơn $b$.

2. Lít, số 2, 6 và 5.

3. Xem hình 22.

4. Từ hình đầu tiên, có thể thấy một cuốn sổ màu đỏ hoặc nâu ở trên cùng. Và sau đó từ giây - có một cuốn sổ màu nâu nằm trên cùng. Biết rằng có một cuốn sổ màu nâu nằm ở trên cùng, từ hình đầu tiên, chúng ta thu được rằng cuốn thứ hai có thể là cuốn sổ màu đỏ hoặc xanh, và từ cuốn thứ hai - nó chỉ có thể có màu đỏ hoặc vàng. Theo đó, hình thứ hai có nghĩa là cái thứ ba là cuốn sổ màu vàng, cái thứ tư là cuốn sổ màu xám và cái thứ năm là cuốn sổ màu xanh.

Puc. 20.

Giao điểm của prima $SABC$ và $S'A'B'C'$. Âm lượng của phần chính $SABC$ được áp dụng cho 1, sau đó âm lượng của phần chính $T_A$, $T_B$ và $T_C$ bằng $(2-x)^3/27$, phần chính $T_S - x^3$, giao điểm của $T_S$ với các phần chính còn lại $(2x - 1)^3/27$, giao điểm theo cặp $T_A$, $T_B$ và $T_C$ $(1 - 2x)^3/27$.

Các tập này đã được trừ hai lần). Bây giờ chúng ta cần tìm những cái tùy ý:

$$v'_1(x) = -3x^2 + \frac{1}{3}(2-x)^2 - \frac{2}{3}(1-2x)^2,$$

$$v'_2(x) = -3x^2 + \frac{1}{3}(2-x)^2 + \frac{2}{3}(1-2x)^2,$$

đảm bảo rằng $v'_1(x) \geq 0$ cho $0 \leq x \leq 1/2$ và $v'_2(x) \leq 0$ cho $1/2 \leq x \leq 1$ (và $v'_1(1/2) = v'_2(1/2) = 0$) và từ đó suy ra rằng hàm $v(x)$ trả về trong khoảng [0; 1/2] và giảm trên đoạn [1/2; do đó, 1] đạt giá trị tối đa $v(1/2) = 1/2$. Vì $OH=OH' = \frac{1-x}{2}SH$, chúng ta nhận được đáp số: thể tích của giao điểm đang xét của các số nguyên tố đạt giá trị lớn nhất khi điểm $O$ chia chiều cao của số nguyên theo tỷ lệ $SO:OH=3$ (trường hợp 3 trên trang bìa).

B. N.

64

5. Các dây điện kêu vo vo vì chúng rung lên ngay cả khi có một cơn gió nhỏ, giống như những vảy lớn.

«Kvant» cho học sinh nhỏ
(xem «Kvant» số 5)

1. Vì 10a+b chia hết cho a nên b cũng chia hết cho a. Và từ khả năng chia hết của số này cho b, suy ra rằng a chia cho b, hoặc 2a chia cho b, hoặc 5a chia cho b. Trong trường hợp đầu tiên a=b, cho các số 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, trong trường hợp thứ hai là các số 12, 24, 36 và 48, và trong trường hợp thứ ba là số 15.

2. Yura là Muscovite, Tolya là Gorkovite, Alyosha là Sverlovite, Kolya là Permyak, Vitya là Leningrader.

3. Đặt hai chữ số đầu tiên tạo thành số có hai chữ số x và số thứ hai - số có hai chữ số y, sau đó theo điều kiện 100x+y=x²+2x√y+y. Do đó x=100-2√y. Số có bốn chữ số 100x+y càng nhỏ thì x càng nhỏ, và từ biểu thức x đến y, x nhỏ nhất khi y=81 là số lớn nhất có hai chữ số là một số chính phương. Vậy số cần tìm là 8281

4. Nếu toàn bộ cái chai được làm nóng đều thì tất cả các bộ phận của nó sẽ giãn nở đều. Nhưng thủy tinh là một chất dẫn điện phẳng của cơ thể. Do đó, nút chai sẽ nóng ít hơn nóng, do đó, nó sẽ nở ra ít hơn, dẫn đến có khoảng cách giữa nút chai và bình nóng.

5. a) 264:12=22 hoặc 264:22=12; 6) 390:13=30; c) 288=2·122; d) 10·1-9=1; đ) 100·1-99=1; e) 99+99=198; g) 11·91=1001; h) 11·1=9+2.

Trang cờ vua
(xem «Kvant» số 3)

Cả hai nhiệm vụ nhỏ (7 quân trên bàn cờ) đều thuộc về bố cục cờ vua cổ điển của Liên Xô L. Kubbel.

Nhiệm vụ 5. 1. Fa2! Kr:a8 2. c8Q×, 1… Kc8 2. d8K×!, 1… Kc6 2. Qd5×, 1… Kc6(b5) 2. c8Q×.

Nhiệm vụ 6. 1. Fe3! Kra4(b4) 2. Qb3×, 1… Kc4(a5-a4) 2. Q:c5×, 1… c4 2. Qe8×!

Tổng biên tập - Viện sĩ Yu. A. Osipyan
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov
Phó tổng biên tập: L. G. Aslamazov, A. A. Leonovich, V. A. Leshkovtsev, Yu. P. Sollovev

Tuyển tập biên tập: M. I. Bashmkov, V. E. Belonuchkin, V. G. Boltyansky, A. A. Borovoy, Yu. M. Bruk, V. V. Vavilov, N. V. Vasiliev, S. M. Voronin, V. V. Gnedenko, V. L. Gutenkhacher, N. P. Dolbilin, V. N. Dubrovsky, A. N. Zemlykov, A. R. Zilberman, A. I. Klimanov, S. M. Kozel, S. S. Krotov, L. D. Kudryavtsev, E. M. Nikshin, S. P. Novikov, M. K. Potapov, V. G. Razumovsky, N. A. Rodina, N. H. Rozov, A. P. Savin, Ya. A. Smorodinsky, A. V. Sosinsky, V. M. Uroev, V. A. Fabrikant

Ban biên tập: A. M. Baldin, S. T. Belev, V. V. Bukhovtsev, E. P. Velikov, I. Ya. Verchenko, V. V. Vozvyazhensky, G. V. Dorofeev, N. A. Ermolaeva, A. P. Ershov, Yu. V. Ivanov, L. V. Kantorovich, V. A. Kirillin, G. L. Kotkin, R. N. Kuzmin, A. A. Logunov, V. V. Mozhaev, V. A. Orlov, N. A. Patrikeeva, R. Z. Sagdeev, S. L. Sobolev, A. L. Stasenko, I. K. Surin, E. L. Surkov, L. D. Faddeev, V. V. Firsov, G. N. Ykovlev

Số đã được chuẩn bị:
A. N. Vilenkin, V. N. Dubrovsky, A. A. Egorov,
V. M. Ivlev, T. S. Petrova, A. V. Sosinsky,
V. A. Tikhomirova

Số đã được phát hành:
Yu. M. Aratovsky, E. V. Vinodarova, M. V. Dubakh, T. N. Kolchenko, A. Ya. Korshunov, D. A. Krymov, V. F. Laktonov, P. P. Lakhtunov, N. L. Lilye, Yu. P. Martinenko, Yu. N. Safonov, I. E. Smirnova, E. K. Tenchurina, P. E. Chudnovsky
Ảnh trình bày
L. V. Melikhov, L. D. Shvarts

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova

biên tập nghệ thuật
E. A. Smirnov

Biên tập viên nghệ thuật T. M. Makarova, E. V. Morozova

Người hiệu đính N.V. Rumyantseva

103006 Mátxcơva K-6, st. Gorky, 32/1, •Kvant→.
điện thoại. 250-33-54

Giao hàng vào ngày 17/04/85. Ký xuất bản ngày 20/05/85.
In offset. CR.-ott có điều kiện. 23,8.
Vumaga 70×108 1/16
Lò nướng có điều kiện l. 5.6. Biên tập học thuật. tôi. 7,52. T-12303.
Lưu hành 179254 bản. Giá 40 kopecks. Đặt hàng 1001

Huân chương Cờ đỏ Lao động
Nhà máy in Chekhov
VO •Soozopographrom→
Ủy ban Nhà nước Liên Xô
về xuất bản, in ấn và kinh doanh sách
Chekhov, khu vực Moscow