Sao Cycloid Tuổi

8

Tuổi sao của họ Cyclopidae

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. G. Gindikin

Cyclops đóng một vai trò chưa từng có trong lịch sử toán học thế kỷ 17, thời đại Geronic của giải tích vi phân. Có lẽ dấu vết hùng hồn nhất của điều này đã được lưu giữ cách xa toán học - trong tiểu thuyết. Trong phần thứ ba của Những chuyến du hành của Guliver, Jonan Swift kể về việc Guliver đến hòn đảo bay Laputa và nhà vua, người bảo trợ khoa học và âm nhạc, chiêu đãi anh một bữa tối thịnh soạn. Một thanh thìa được cắt theo hình tam giác đều và một miếng thịt bò hình kim cương được theo sau bởi một chiếc bánh pudding có hình họ cyclopidae. Tin rằng vào đầu thế kỷ 18, thật khó để tưởng tượng ra một hình thức phức tạp hơn!

Ba mươi năm sau, Cyclops xuất hiện trên các trang của cuốn “Cuộc đời và Meninium của Tristram Shandy, Quý ông,” cuốn tiểu thuyết bất hủ của Laurence Sterne. Toby Shandy tốt bụng lập dị, có ý định xây dựng một nơi sẽ trở thành một tài liệu tham khảo cho nghệ thuật xây dựng công sự, quyết định đặt cho nó hình dạng của một họ cyclopidae: “… anh ấy đã thay đổi lời giải thành dạng một nơi do Marquis de L’Hôpital phát minh ra, được Bernoulli the Younger mô tả kỹ lưỡng và khoa học, như những người thân yêu của bạn có thể thấy trong Acta Erud. Lips, an. 1695; các vị trí được giữ ở trạng thái cân bằng ổn định bằng trọng lượng chì, giúp bảo vệ chúng không quá hai giờ, nếu các vị trí được vẽ theo hình đường cong, càng gần với đường cyclopid càng tốt.”

Chúng ta sẽ quay lại L’Hopital, Bernoulli và tạp chí khoa học Acta Eruditorium, nhưng bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu xem những người cùng thời với Toby Shandy, sống vào giữa thế kỷ 18, có thể đã biết gì về Cyclopides.

Một nguồn thông tin có thẩm quyền là “Lịch sử của roulette, còn được gọi là triode hoặc cyclopida”, ghi ngày sớm nhất là vào tháng 10 năm 1658 và có chữ ký của Amos Dettonville; như chúng ta sẽ thấy, đây là một vở kịch câm của nhà toán học, vật lý học và nhà tư tưởng người Pháp Blaise Pascal (1623-1662). Ông viết: “Con lăn là tuyến tính và có dạng cột, sau đường thẳng và đường tròn không có đường thẳng nào thường xuyên gặp hơn; nó thường hiện ra trước mắt mọi người đến mức người ta phải ngạc nhiên vì sao người xưa của nó lại không được xét đến… hoặc không gì khác hơn là đường đi của bánh xe khi nó lăn với chuyển động riêng của nó từ lúc chiếc đinh bắt đầu nhô lên khỏi mặt đất, cho đến khi tính chất liên tục của bánh xe đưa nó trở lại mặt đất sau khi kết thúc cả một cuộc cách mạng, coi bánh xe là một vòng tròn hoàn hảo, chiếc đinh là một điểm trên chu vi của nó và trái đất hoàn toàn bằng phẳng.” Văn bản này chứa định nghĩa về họ cyclopidae: nó là

9

quỹ đạo của một điểm trên một đường tròn lăn không trượt theo đường thẳng. Điểm nhô lên từ vị trí thấp hơn của nó, mô tả một vòm lồi một cách đối xứng và với mỗi vòng quay sẽ thu được một vòm mới; tại điểm tiếp xúc của vòm nó sắc nét (hình 1).

Thuật ngữ “cyclonde” (bắt nguồn từ một vòng tròn) thuộc về Galileo (1564-1642), người dường như là người đầu tiên xem xét nó. “Roulette” là một thuật ngữ tiếng Pháp (từ động từ rouler - cuộn), “trochonda” là từ tương đương trong tiếng Hy Lạp. Sự khác biệt về thuật ngữ phản ánh cuộc tranh luận sôi nổi giữa Pháp và Ý về mức độ ưu tiên trong việc phát hiện ra cơn lốc xoáy: Pascal khẳng định rằng Marin Mersin (1588–1648) đã xem xét vấn đề này ngay từ năm 1615, trước cả Galileo.

Epicyclondes trong hệ thống Ptolemaic

Sự ngạc nhiên của Pascal về việc người xưa không quan tâm đến lốc xoáy là điều đáng chú ý. Lý do cho điều này là gì? Thực tế là đối với các nguồn cổ xưa về sự xuất hiện của các đường cong mới, có rất nhiều bài toán cho mỗi vị trí hình học, và quỹ đạo của các chuyển động đường cong nằm ngoài sự quan tâm của hầu hết các nhà toán học thời cổ đại.

Chỉ có cơ học mới, bắt đầu vào những năm đầu của thế kỷ 17 với các công trình của Galileo về chuyển động, mới tái cấu trúc nguồn gốc tư tưởng, và nổi tiếng rằng chính Galileo, nhờ cách tiếp cận đầu tiên, đã trở thành một epicyclonde. Epicyclondes (xem trang 2 của bìa, a, b) được lấy dưới dạng quỹ đạo của các điểm của một vòng tròn dao động không trượt dọc theo mặt ngoài của một vòng tròn khác (khi lăn ở mặt trong, thu được các đường cong gọi là zypocyclondes; vùng e). Epicyclondes được tìm thấy trong hệ địa tâm của thế giới*), Ptolemy (85?—165?). Ngay cả Plato (427-347 TCN) và Aristotle (384-322 TCN) cũng tin rằng tất cả các hành tinh, cũng như Mặt trời và Mặt trăng, đều quay đều theo một vòng tròn có tâm là Trái đất. Lý thuyết này không chỉ mâu thuẫn với dữ liệu số thu được từ việc tổng hợp các bảng thiên văn mà còn không giải thích được một số tác động định tính thô sơ. Giả sử sao Hỏa, theo quy luật, di chuyển ngược chiều kim đồng hồ trên bầu trời đầy sao, ở vùng lân cận đối lập bắt đầu di chuyển theo chiều kim đồng hồ (“chuyển động lùi”). Điều này có thể dễ dàng giải thích trong khuôn khổ hệ địa tâm, nhưng các nhà khoa học về cây cối, những người không nghi ngờ giáo điều cơ bản của hệ địa tâm, đã quyết định đối chiếu nó với dữ liệu quan sát thiên văn. Apollonius, và sau ông là Ptolemy, duy trì tiên đề rằng chuyển động tròn đều thống trị trên thế giới, nhưng tin rằng chuyển động của các hành tinh là phức tạp; hành tinh chuyển động theo một vòng tròn, tâm của nó lần lượt quay theo một vòng tròn lớn có tâm là Trái đất. Hóa ra là có thể chọn tốc độ của hai vòng quay này sao cho quỹ đạo của các hành tinh sẽ chứa các vòng trong đó sẽ xảy ra “chuyển động ngược dòng”. Những quỹ đạo này sẽ không chính xác là ngoại xoáy thuận nhưng sẽ rất gần với các đường cong. Nếu chúng ta giả sử rằng nó không phải là một đường tròn mà là một đường tròn lăn dọc theo một đường tròn đứng yên thì các điểm biên của nó sẽ mô tả các ngoại xoáy thuận,

*) Trong hệ địa tâm của thế giới, Trái đất được coi là trung tâm của Vũ trụ, trái ngược với hệ địa tâm của Copernicus, theo đó các hành tinh đều quay quanh Mặt trời.

11

vectơ vận tốc nằm ngang tại điểm của cyclode có vectơ quay (ta liên hệ với đường tròn sinh ra và có cùng độ dài), ta thu được tiếp tuyến của cyclode đi qua điểm đỉnh của đường tròn theo bài toán đã cho (chia công thức này cho hình 1).

Một lý do tương tự (có lẽ tương đương) được Gilles Person người Pháp áp dụng, dựa trên Robervala (1602-1675). Công lao của Roberval nằm ở chỗ ông không giới hạn bản thân trong việc xem xét xoáy thuận mà đã phát triển một kỹ thuật chung để vẽ các tiếp tuyến bằng cách biểu diễn các đường cong dưới dạng quỹ đạo của các chuyển động phức tạp. Phương pháp của ông lúc đầu hoàn toàn có tính cạnh tranh so với các phương pháp vẽ tiếp tuyến khác hiện có vào thời điểm đó.

Tuy nhiên, tương lai thuộc về những phương pháp trực tiếp hơn được phát triển bởi Pierre Fermat (1601–1665) và René Descartes (1596–1650). Các phương pháp này không yêu cầu “cách tiếp cận riêng lẻ” đối với từng đường cong (ví dụ: lựa chọn chuyển động của các bộ phận). Những phương pháp này có cho phép chúng ta vẽ tiếp tuyến với xoáy thuận - đường cong có nguồn gốc cơ học không?

Chúng tôi phát hiện ra rằng phương pháp tiếp tuyến của Fermat có thể được xây dựng mà không gặp bất kỳ khó khăn nào, nhưng phương pháp của Descartes, tập trung vào việc xem xét các đường cong được xác định bởi đa thức, đã thất bại. Nhưng Descartes không phải là người đưa ra lý do để khẳng định rằng ông đã không hoàn thành được nhiệm vụ được giao cho các đồng nghiệp của mình.

Anh ấy đã nghĩ ra một lý thuyết cơ học tuyệt vời đến kinh ngạc. Trong phiên bản mô hình hóa, chúng ta đang nói về thực tế là khi xử lý một cơn lốc, chúng ta không xem xét chuyển động của một điểm vật chất biệt lập mà là chuyển động của một tấm rắn - một vòng tròn lăn. Trong trường hợp này, tại mỗi thời điểm, chuyển động, như một quy luật, khác rất ít so với chuyển động quay của tấm xung quanh một tâm quay (tức thời) nhất định. Vận tốc tại mọi điểm phân bố lại của bán kính tâm quay tức thời. Trong trường hợp xoáy thuận, như dễ hiểu, tâm quay tức thời không phải là tâm của vòng tròn lăn mà là điểm tiếp xúc của nó với đường chỉ thị. Từ đây, quy tắc vẽ tiếp tuyến được xây dựng ở trên ngay lập tức được tuân theo (góc vuông được viết dựa trên đường kính).

Khu vực và “bạn đồng hành” của lốc xoáy

Hãy kết thúc với các tiếp tuyến và chuyển sang diện tích. Trong trường hợp lốc xoáy, các nhà toán học Pháp đã xem xét những bài toán này thậm chí còn sớm hơn bài toán trên các tiếp tuyến (có lẽ lý do là do độ tin cậy cao hơn trong các bài toán diện tích). Trước hết, chúng ta đang nói về việc tính diện tích của đoạn dưới vòm dưới cùng của lốc xoáy. Vvinini và Toricelli cho rằng Galileo biết rằng diện tích của đoạn này bằng ba lần diện tích của vòng tròn sinh ra. Roberval đã chứng minh định lý này vào năm 1634. Đôi lời về lối lập luận rất hay của Roberval. Tại mỗi thời điểm, Roberval theo dõi điểm quan sát được của cơn xoáy thuận trên đường kính thẳng đứng của vòng tròn lăn và quan sát cách hình chiếu này di chuyển. Một đường cong mới thu được, mà Roberval gọi là “bạn đồng hành của cơn bão” (hình 2) Và sau đó họ phát hiện ra rằng đường cong rất đối xứng này là … một hình sin phức tạp! Đây chính xác là cách (chứ không phải dưới dạng đồ thị hình sin) sóng hình sin lần đầu tiên xuất hiện trong toán học. Diện tích bên dưới hình sin rất dễ tính: nếu bạn cắt nó bằng các đường ngang và dọc ở giữa, bạn sẽ có được các phần tạo thành hình chữ nhật có cạnh 2lr và r (xem hình 2, trong đó r=1), tức là diện tích là 2lr². Đối với hai hình còn lại (được gọi là cánh hoa của Roberval), chúng minh họa hoàn hảo một phương pháp tính diện tích rất phổ biến trong những năm đó - nguyên tắc Bonaventura Cavalieri (1598-1647). Nó bao gồm thực tế là nếu hai hình cắt nhau bất kỳ đoạn inch ngang nào có chiều dài bằng nhau,

Hình 2.

12

thì họ có cùng diện tích. Cavalieri đã tưởng tượng ra những hình bao gồm các lớp “không thể phân chia” - các lớp song song có độ dày bằng 0 - và lập luận rằng trong sự dịch chuyển của các lớp vào mùa đông, diện tích không thay đổi. Các cánh hoa của Roberval có các điểm giao nhau với các mặt ngang giống như lớp men của vòng tròn lăn bị cắt bởi đường kính thẳng đứng, nghĩa là theo nguyên lý Cavalieri, tổng diện tích của chúng bằng diện tích $r^2$ của vòng tròn này, và tổng diện tích dưới vòm của cycloid là $3\pi r^2$. Đó chẳng phải là một lý lẽ rất sắc bén sao!

Bài toán Cuộc thi của Mersenne và Pascal

Điều này kết thúc giai đoạn đầu tiên trong “cuộc đời” của cycloid. Những mối liên hệ đầu tiên với nó bài toán đã được giải quyết rất tốt và cycloid đã chắc chắn chiếm được vị trí của nó trong tầm nhìn của các nhà khoa học lớn nhất. Nhưng vẫn còn đó bài toán chưa được giải quyết, điều này là đương nhiên khi được đặt trong khuôn khổ phân tích đang phát triển của các số vô hạn. Người quảng bá bài toán mới (trong trường hợp cycloid) là Mersenne, người mà chúng tôi đã đề cập. Điều đáng nói thêm vài lời về ông và vai trò đặc biệt của ông trong lịch sử khoa học. Nhà sư người Pháp Mersenne đã có những thành tựu riêng trong cả toán học và vật lý (ví dụ, ông đo khá chính xác tốc độ âm thanh), nhưng công lao của ông với tư cách là người tổ chức khoa học còn cao hơn nhiều. Vào thời điểm chưa có tạp chí khoa học, hầu hết mọi thông tin liên lạc khoa học đều được thực hiện thông qua Mersenne: ông ấy giống như một loại “hộp thư”. Các nhà khoa học từ các quốc gia khác nhau đã thông báo cho anh ấy về kết quả của họ, hiểu rằng anh ấy sẽ nhanh chóng cho các đồng nghiệp và đối thủ cạnh tranh quan tâm biết về họ (và quyền hạn của Mersenne là sự đảm bảo cho việc duy trì ưu tiên). Mersenne theo dõi bài toán hiện tại, chuyển chúng cho những nhà khoa học quan tâm đến chúng một cách tự nhiên. Năm 1639, “Thứ Năm Mersenne” bắt đầu, với sự tham dự của Etten và Blaise Pascally (cha và con trai), Desargues, Midorge, Roberval, nói tóm lại là tất cả các nhà khoa học xám có mặt ở Paris năm đó. Những “Thứ Năm” này là đại diện của Viện Hàn lâm Khoa học Pháp. Ví dụ của Christien Huygens (1629-1695), người mà Mersenne đã trao đổi thư từ từ năm 1646, cho thấy Mersenne quan tâm đến sự phát triển của tài năng trẻ như thế nào. Anh ta bắt đầu với giáo dục bài toán, chuyển sang những câu chưa được giải, dự đoán rằng phóng viên trẻ của anh ta sẽ trở thành “Apollo và Archimedes … của thế kỷ tới,” và cuối cùng đặt bài toán (hứa một phần thưởng cho lời giải) trên ligne đã cho của ma trận vật lý, mà Geugens sẽ chỉ có thể giải quyết sau vài thập kỷ mà không ngừng suy nghĩ về nó suốt thời gian này.

Đối với cycloid, Mersenne tin rằng chúng ta không nên giới hạn mình trong việc tính diện tích của một đoạn hoàn chỉnh của cycloid, mà nên xem xét các đoạn bị cắt bởi các đoạn nằm ngang khác nhau, chúng ta cần tìm trọng tâm của các đoạn này, thể tích của các vật chuyển động được hình thành bởi chúng, v.v. Hóa ra, Mersenne đã đánh giá chính xác rằng trong những vấn đề này, các thao tác cơ bản với “các lớp không thể phân chia” của Cavalieri không dẫn đến mục tiêu (bạn cần tính khoảng từ sin trong dạng tổng quát). Vì vậy, Mersenne đã nhắm đến những bài toán đồng nghiệp độc đáo và có triển vọng nhất của mình - Blaise Pascal.

Tuy nhiên, Pascal chỉ bắt đầu nghiên cứu bài toán này vào mùa xuân năm 1658, khi ông đang ở tu viện Port-Royal sau những biến động nghiêm trọng và khi dường như ông đã hoàn toàn từ bỏ toán học và sẽ không bao giờ quay lại với nó. Những câu chuyện của cháu gái ông Gilbertie Père và cháu gái Margarita về lần tiếp xúc cuối cùng của Pascal với nhà toán học vẫn được lưu giữ. Anh nhớ lại nhiệm vụ của Mersenne khi anh không thể ngủ được vì đau răng dữ dội. Những suy ngẫm về cơn lốc xoáy khiến anh quên đi cơn đau và dần dần bắt được Pascal. Đến sáng, anh biết lời giải đã không chịu nổi bài toán từ lâu và… đã hoàn toàn khỏi bệnh đau răng. Pascal không có ý định viết ra kết quả, nhưng người bạn của ông, Công tước Roanne đã thuyết phục ông làm như vậy, trấn an ông rằng việc ông quay trở lại toán học là do “cảm hứng từ trên cao”. Công tước đã phân bổ 60 đồng vàng để tổ chức một cuộc thi giành lời giải bài toán Mersenne.

Vào tháng 6 năm 1658, một lá thư theo chu kỳ được gửi đến các nhà hình học lớn nhất ở châu Âu với đề xuất quyết định

13

sáu bài toán về chu kỳ. Hạn chót của cuộc thi—ngày 1 tháng 10—là cực kỳ ngắn. Bức thư được ký bằng bút danh “Amos Dettonville”, một phép đảo chữ của bút danh “Louis de Montalt” của Pascal, theo đó “Thư gửi một Giám tỉnh” của ông được xuất bản vào thời điểm đó.
Vào ngày 7-9 tháng 10, cuộc thi được công bố kết thúc và kết quả được tổng kết vào ngày 24 tháng 10. Mersenne không đạt được lời giải của bài toán của mình. Chức năng của nó như một “hộp thư” đã được xem xét bởi Pierre Carcavi (1603-1684), người đứng đầu ban giám khảo cùng với Roberval. Sau khi nhận ra Dettonville, các nhà toán học vĩ đại nhất đã tắt máy: John Wallis (1616-1703) đã giải được tất cả bài toán, nhưng có những phàn nàn về lời giải của ông, Heugens đã giải được bốn bài toán. Và ban giám khảo đã trao giải cho Dettonville, người đã sử dụng quỹ thưởng để xuất bản lời giải. Heugens viết cho Canon de Sluz, một người tham gia cuộc thi, người đã giải được một bài toán: “Công việc thực hiện phức tạp đến mức không thể thêm gì vào được”.

Cuộc thi Pascal đóng một vai trò lớn trong đời sống khoa học. Để phân tích nâng cao các vi phân, điều cơ bản là phải chuyển từ việc xem xét các ví dụ cụ thể sang các phương pháp tổng quát. Những cân nhắc của Pascal trên thực tế không sử dụng các chi tiết cụ thể của chu kỳ và có thể dễ dàng áp dụng vào tình huống chung. Tuy nhiên, bản thân Pascal đã không làm điều này, và điều này được đánh giá cao khi Leibniz (1646-1716), người cùng với Newot, đã phát triển các phương pháp chung của phép tính vi phân và tích phân, theo khuyến nghị của Heugens, chuyển sang công trình của Pascal. “Tôi được chiếu sáng bằng một ánh sáng mới,” Leibniz viết và ngạc nhiên khi Pascal không hình thành sự tiếp nhận đã hứa, như thể “có tấm màn che mắt anh ấy”. Thật khó để đoán tại sao điều này lại xảy ra. Các nhà khoa học thường không nhìn thấy những động tác mà đôi khi có vẻ tự nhiên. Nhưng một lần nữa, có thể giả định rằng Pascal không còn lo lắng cho số phận của toán học nữa: ông đã cống hiến sức lực cuối cùng của mình để suy nghĩ về ý nghĩa của cuộc sống, về vị trí của con người trên Trái đất.

Cuộc thi Pascal đã bắt đầu một cuộc sống mới cho xích lô. Những người tham gia cuộc thi không giới hạn bản thân trong các nhiệm vụ do Pascal đề xuất. Ví dụ,

Christopher Wren (1632-1723), một nhà toán học tài năng người Anh, kiến ​​trúc sư nổi tiếng (người tạo ra Nhà thờ St. Paul ở London), tuy không đạt được nhiều thành công trong cuộc thi nhưng đã đưa ra một định lý gây ấn tượng rất mạnh đối với các nhà toán học. Ông đã chứng minh rằng độ dài của một cung tròn là 8r.

Đồng hồ có mặt số xoáy thuận

Một người tham gia cuộc thi khác, Geugens, 28 tuổi, đã bị phân tâm bởi lời giải bài toán về cơn lốc xoáy từ việc chế tạo một chiếc đồng hồ bo mạch chủ, điều mà anh ấy đã nhiệt tình cống hiến toàn bộ thời gian của mình trong năm thứ hai. Chiếc đồng hồ đầu tiên xuất hiện vào giữa năm 1658. Kể từ đó, Geugens bận rộn sắp xếp chúng. Ý tưởng cơ bản của đồng hồ matnik là chu kỳ dao động của matnik là một đơn vị thời gian có thể tái tạo liên tục, do tính chất đẳng thời của matnik được phát hiện bởi Galileo (sự độc lập của chu kỳ với biên độ dao động), không thay đổi khi các dao động suy giảm. Geugens muốn tạo ra một chiếc đồng hồ bấm giờ hàng hải có thể thay đổi kinh độ trên tàu (dựa trên sự khác biệt về giờ địa phương trên tàu và tại cảng khởi hành; thời gian khởi hành là thứ mà đồng hồ bấm giờ “ghi nhớ”). Vấn đề đo kinh độ là khoảng cách thế kỷ. Không có gì đáng ngạc nhiên khi các cường quốc hàng hải hàng đầu đã trao những giải thưởng tuyệt vời cho phương pháp hoàn toàn đáng tin cậy để đo kinh độ trên tàu.

Ngay sau khi biết đến phát minh của Heugens, người ta biết rằng Galileo đã có ý tưởng về đồng hồ bo mạch chủ, nhưng chỉ nghĩ ra nó một năm trước khi qua đời, khi ông không còn đủ sức để thực hiện nó. Con trai ông, Vincenzo, người đã hoàn thành dự án, cũng không thể đảm đương được nhiệm vụ này.

Trong khi tạo ra chiếc đồng hồ đầu tiên, Geugens phát hiện ra rằng tuyên bố của Galileo về tính vô tận của các dao động của tấm thảm toán học là không chính xác. Nó chỉ có giá trị đối với các góc nhịp nhỏ. Làm thế nào chúng ta có thể đảm bảo tính vượt thời gian? Geugens nhận ra rằng để làm được điều này cần phải giảm chiều dài của tấm thảm vì nó lệch khỏi phương thẳng đứng. Nhưng quy luật chiều dài giảm dần sẽ như thế nào

14

chúng tôi đình chỉ? Trong những giờ đầu tiên, Geugens chọn theo kinh nghiệm hình dạng của “má”, trên đó sợi treo được quấn một phần khi nó di chuyển ra khỏi phương thẳng đứng (hình 3). Nhưng anh ấy không thể tìm ra cách tính toán hình dạng của má. Tuyệt vọng, anh loại bỏ má theo thiết kế năm 1658 (bằng cách lắp bộ giới hạn biên độ). Nhưng một năm sau, những điều mới mẻ đã xuất hiện - giờ đây Heugens đã biết chính xác quy luật thay đổi độ dài của hệ thống treo, trong đó xảy ra hiện tượng đẳng thời của các dao động: trong thời gian đó, như chúng ta nhớ, ông đã tham gia vào thiết kế của Pascal!

Galileo hiểu rõ ràng rằng bài toán về dao động của ma trận toán học tương đương với bài toán về chuyển động của một điểm vật chất nặng dọc theo một rãnh tròn (trùng với quỹ đạo của đầu ma trận). Các liên kết giống hệt nhau được áp dụng cho điểm di chuyển dọc theo khe và phần cuối của ma trận. Tuyên bố về thuyết đẳng thời tương đương với thực tế là, từ bất kỳ vị trí nào trên kẽ hở, một điểm bắt đầu di chuyển, nó sẽ kết thúc ở điểm dưới cùng sau cùng một thời điểm. Người ta không nên ngạc nhiên về khả năng tồn tại của hiệu ứng như vậy: nếu chuyển động bắt đầu ở độ cao cao hơn, thì điểm sẽ di chuyển một khoảng cách xa hơn, nhưng đạt được tốc độ lớn hơn trên đường đi. Tuy nhiên, như Geugens đã phát hiện ra, một khoảng trống hình tròn, trái ngược với quan điểm của Galileo, không có tính chất đẳng thời gian. Và dạng khoảng trống thứ sáu của Heugens, trong đó thời gian đi xuống không phụ thuộc vào điểm xuất phát. Đường cong Heugens này còn được gọi là isochrone). Hóa ra hình xăm đó là… một cơn lốc xoáy ngược!

Nhưng điều này vẫn không giải quyết được hoàn toàn bài toán. Chúng ta cần đưa ra phương pháp treo (hình dạng của má), trong đó phần cuối của ma trận sẽ di chuyển theo cơn lốc. Và một lần nữa lại là một sự trùng hợp ngẫu nhiên: Geugens trước đây quan tâm đến sự phát triển của các đường cong - quỹ đạo của các điểm của các sợi quấn quanh các chướng ngại vật cong. Kinh nghiệm sẵn có cho phép anh ta phát hiện ra rằng để thu được ma trận xoáy thuận, dung dịch kiềm cũng phải có hình dạng xoáy lốc. Trong trường hợp này, lốc xoáy tương ứng với phần cuối của ma trận và lốc xoáy của các khe phải được dịch chuyển nửa vòng. Độ dài của ma trận là 4r; khi nó hoàn toàn kết thúc, hóa ra là

Hình 3.
ở phía dưới má. Từ đây suy ra ngay định lý Ren nói trên: chu vi của má gấp đôi chiều dài của ma trận.

Geugens tin tưởng vào tính chất cơ bản của các tính chất của cơn lốc xoáy mà ông đã phát hiện ra: “… cần phải củng cố và, khi cần thiết, nâng cao thêm kiến ​​thức của Galileo về các vật thể rơi. Kết quả mong muốn nhất, như thể là đỉnh cao nhất của lời dạy này, là tính chất đa năng được phát hiện của cơn lốc.”

Vào năm 1661, việc thử nghiệm đồng hồ ma trận varnit hàng hải bắt đầu, nhưng dần dần người ta thấy rõ rằng một chiếc đồng hồ bấm giờ hàng hải đáng tin cậy đã không được tạo ra dọc theo con đường này. Tuy nhiên, nghiên cứu lý thuyết của Geugens về toán học và cơ học, được thực hiện liên quan đến việc cải tiến đồng hồ, có ý nghĩa quan trọng đến mức cuốn sách “Đồng hồ ma trận” (1673) của ông, trong đó chúng được tóm tắt, trái ngược với sách của Galileo và Newton, là một tượng đài vĩ đại cho kỷ nguyên hình thành cơ học cổ điển.

Trong “Đồng hồ ma trận”, Geugens CONSTATIROVAL tuyên bố rằng xoáy thuận được nghiên cứu “chính xác và kỹ lưỡng hơn các đường cong khác”.

Bí mật cuối cùng của cơn lốc xoáy

Cyclonda một lần nữa có cơ hội làm các nhà toán học ngạc nhiên khi sắp xếp thứ tự trong việc phân tích các số vô cùng nhỏ. Nhu cầu chuyển từ xem xét cá nhân bài toán sang xây dựng một phương pháp chung lần đầu tiên được nhận ra bởi Isaac Newton (1643-1727), người trong “những ngày nghỉ dịch hạch” ở Lincolnsper (1665-1667) đã xây dựng phương pháp “fluoxy” của mình. Tuy nhiên, ông không vội công bố nó mà tập trung vào việc thu được nhiều kết quả khác nhau bằng phương pháp này. Pháo hoa của những kết quả này lấp lánh trên khắp đất nước.

15

trong “Các nguyên lý toán học của triết học tự nhiên” (1687), nhưng phương pháp này không được phát triển một cách có hệ thống ở đây mà vẫn còn ở nền tảng. Từ đầu những năm 70, Gottfried Wilhelm Leibniz, bị phân tâm khỏi nhiều công việc chính phủ và khoa học của mình, với sự nhiệt tình ngày càng tăng, bắt đầu phát triển chủ nghĩa công thức của phép tính vi phân và tích phân (dưới ảnh hưởng mạnh mẽ của công trình đã đề cập của Pascal). Ông đã biết về công trình của Newton và từ năm 1676 ông đã trao đổi thư từ với ông ấy. Không giống như Newton, Leibniz tích cực thu hút sự chú ý đến phương pháp của mình, cả qua tiếp xúc cá nhân và qua các trang của tạp chí Acta Eruditorium (hãy nhớ rằng chú Toby đã đọc nó), xuất bản từ năm 1682.

Năm 1696, ghi chú “Mới bài toán, mời các nhà toán học lời giải,” xuất hiện trên các trang của Acta Eruditorium. Đây là công thức của nó: “Ở mặt phẳng phía trên, cho hai điểm A và B. Hãy xác định đường đi AMB, đi xuống dọc theo đường đi này dưới tác dụng của trọng lực của chính nó, vật M, bắt đầu di chuyển từ điểm A, sẽ đến điểm B trong thời gian ngắn nhất.” Tôi thích vấn đề này; Leibniz gọi cô ấy là “rất xinh đẹp và hoàn toàn không được biết đến”. Tuy nhiên, Galileo đã nhiệt tình thảo luận trong Cuộc trò chuyện của mình rằng một điểm nặng rơi dọc theo một đoạn thẳng chậm hơn so với dọc theo một đường đứt nét có cùng đầu, và khẳng định khá tự tin rằng một điểm rơi xuống nhanh nhất dọc theo một phần tư vòng tròn. Đường cong dốc nhất bắt đầu được gọi là brachystrochone. Nhưng nó có phải là một vòng tròn khác không?

Tính kịp thời của bài toán được thể hiện ở chỗ nó được giải quyết tương đối nhanh chóng bởi cả hai anh em nhà Bernoulli - Jacob (1654-1705) và Johann (1667-1748), Leibniz, L’Hôpital (1661-1704), và Newoton (ông ấy đã giới thiệu cái tên ẩn danh lời giải, nhưng theo Johann Bernoulli, “Tôi nhận ra con sư tử bằng những cái nút của nó”). Phổ biến nhất là lời giải của chính I. Bernoulli. Động thái mà ông đề xuất hoàn toàn bất ngờ: ông đề xuất thay thế bài toán cơ học bằng quang học. Dễ dàng thấy rằng nếu chúng ta xét một môi trường quang học trong đó tốc độ ánh sáng tại điểm M bằng $\sqrt{2gy}$, trong đó $y$ là hiệu giữa độ cao của điểm A và M, thì ánh sáng từ điểm A đến B truyền dọc theo brachistochrone (theo nguyên lý Fermat, ánh sáng chọn đường đi mất ít thời gian nhất). Sau đó, một mặt sử dụng định luật khúc xạ và tính chất nổi tiếng của tiếp tuyến với đường tròn (xem ở trên), có thể dễ dàng suy ra rằng brachistochrone là một đường tròn lật ngược với đỉnh ở điểm A!

Một trong những nhà sử học cơ học đã viết về nó như thế này:

“Không cần bất kỳ phương pháp nào khác, chỉ với sự trợ giúp của trí tưởng tượng hình học của mình, Johann Bernoulli quyết định bài toán chỉ trong nháy mắt, sử dụng một cách khéo léo những gì đã được biết một cách tình cờ - bức tranh là một khái niệm về sự thay thế và đẹp đến kinh ngạc. Chúng ta phải nhận ra ở Johann Bernoulli một bản chất nghệ thuật thực sự, làm việc trong lĩnh vực khoa học tự nhiên. Anh trai ông, Jacob Bernoulli, là một nhà khoa học thuộc loại hoàn toàn khác. Ông có tinh thần phê phán mạnh mẽ hơn nhưng trí tưởng tượng sáng tạo ít hơn nhiều. Và ông đã quyết định bài toán về brachistochrone, nhưng khó hơn nhiều để chỉ định phương pháp cho lời giải bài toán của chi này. Vì vậy, chúng tôi tìm thấy ở mỗi anh em chỉ một trong hai khía cạnh tài năng khoa học đó, mà trong những nghiên cứu vĩ đại nhất về tự nhiên, chẳng hạn như Newton, được kết hợp với sức mạnh phi thường.

Lịch sử hào hùng của chu kỳ kết thúc vào cuối thế kỷ 17. Cô ấy xuất hiện một cách bí ẩn ở lời giải trong số bài toán khác biệt nhất đến nỗi không ai nghi ngờ rằng cô ấy đã đóng một vai trò hoàn toàn đặc biệt. Sự tôn kính đối với chu kỳ được duy trì trong một thời gian dài, nhưng thời gian trôi qua, và rõ ràng là nó không liên quan đến quy luật chức năng của tự nhiên, chẳng hạn như phần conchex. Các vấn đề dẫn đến chu trình đóng một vai trò to lớn trong sự phát triển của cơ học và phân tích toán học, nhưng khi dữ liệu tuyệt vời của những ngành khoa học này được xây dựng, hóa ra những bài toán này là đặc biệt, không phải là quan trọng nhất. Một tháng sáu lịch sử mang tính hướng dẫn đã diễn ra. Tuy nhiên, làm quen với lịch sử đáng kinh ngạc của chu kỳ, bạn có thể thấy nhiều sự thật quan trọng trong lịch sử khoa học.