8
Звездный век циклопиды
Кандидат физико-mатематических наук
С. Г. Гиндикин
Циклопда сыграла беспреcedentedную роль в истории математики XVII века, геронческого века анализа бесконечного малых. Быть может, наиболее красоречивые следы этого сохранились вдалеке от математики — в художественной литературе. В третьей части «Путешествий Гуливера» Джонан Свифт рассказывает, как Гуливер попадает на летающий остров Лапуту и король, покровительствоващий наук и музыке, угошает его изысканным обедом. За барныйлопаткой, вырезанной в форме равностороннего треугольника, и куском говядины в форме ромба последовал пудинг в форме циклопиды. Верячто, в начале XVIII века трудно было представить себе более изощренную форму!
Лет через тридцать циклопда появляется на страницах «Жизни и мениний Тристрама Шенди, джентльмена», бессмертного романа Лоренса Стерна. Чудакованый добряк Тоби Шенди, собираясь построить мест, который должен стать учетом фортификационного искусства, решает придать ему форму циклопиды: «…он переменил решение в ползу места, изобретеного маркизом de Лопиталем, который так обстоятельно и научно описан Бернулли-младшим, как ваши миLOCти могут убедиться в Acta Erud. Lips, an. 1695; также месты удерживаются в устойчивом равновесии свинцовым грузом, который их охраняет не хуже двух часовх, если мест выведен в форме кривой линии, как можно больше приближающейся к циклопиде».
К Лопиталю, Бернулли и к научному журналу Acta Eruditorium мы еще вернемся, а пока выясним, что могли знать о циклопиде современники Тоби Шенди, жившие в середине XVIII века.
Авторитетным источником информации является «История рулеты, называемой также треходной или циклопидой», датированная еще октября 1658 года и подписанная Амосом Деттонвиллем; как мы увидим, это псевдомим французского математика, физика и мыслита Блеза Паскала (1623—1662). Он пишет: «Рулета является линейной столбцной, что после прямой и окружности нет более часто встречающей линии; она так часто вычерчивает перед глазами каждой, что надо удивлять тому, как не рассмотрен ее древние… либо это не что иное, как путь колеса, когда оно катится своим движением с того момента, как гвоздь начал подниматься с земли, до того, когда неперерывное качество колеса не приводит его опять к земле после окончания целого оборота, считая, что колесо — идеальный круг, гвоздь — точка его окружности, а земля — идеально плоская». В этом тексте содержится определение циклопиды: это
9
траектория точки окружности, которая катится без скольжения по прямой. Точка, поднимаясь с нижнего положения, описывает симметрично выпуклу арку, причем при каждом обороте получается новая арка; в точке соприкосновения арок имеет острые (рис. 1).
Термин «циклонда» (происходящая от круга) принадлежит Галилею (1564—1642), который, по-видимому, первый рассмотрел ее. «Рулетта» — французский термин (от глагола rouler — катать), «трохонда» — его греческий эквивалент. Разнобой в терминологии отражает энергичный франко-итальянскую дискусцию о приоритете в открытии циклонды: Паскаль утверждает, что Марен Мерсен (1588—1648) рассмотрел ее уже в 1615 году, равше Галилея.
Эпициклонды в системе Птолемея
Достойно внимания удивление Паскала по поводу того, что циклонду не рассмотрел древние. В чем причина этого? Дело в том, что для древних источников появления новых кривых были разнообразные задачи на геометрическое месточек, а траектории криволиейных движений были за пределами интересов большинства математков древности.
Лишь новая механика, начавшаяся в первые годы XVII века с работ Галилея о движениях, перестроила идеологическо происходения, и знаменитлено, что именно Галилей в результате первого подходения — эпициклондой. Эпициклонды (см. 2-ю с. обложки, a, б) получаются как траектории точек окружности, качающей без скольжения по внешней стороне другой окружности (при качении по внутренней стороне получаются кривые, называемые zипоцклондами; обл., д). Эпициклонды встречаются в геоцентрической системе мира*), Птолемея (85?—165?). Еще Платон (427—347 до н. э.) и Аристotel (384—322 до н. э.) считали, что все планеты, а также Солнце и Луна, равномерно врашаются по окружности с центром в Земле. Эта теория не только входила в противоречие с численными данными, полученными по составлению астрономических таблиц, но не объясняла ряд грубых качественных эффектов. Скажем, Марс, который, как правило, дивигрался по звездному небу против часовой стрелки, в окрестности противостояния начиная дивягаться по часовой стрелке («попятное движение»). Это легко объяснить в рамках геоцентрического системы, но ученыдеревности, не сомневающиеся в основном догмате геоцентрического системы, решили примирить ее с данными астрономических наблюдений. Аполлоний и вслед за ним Птолемей сохраняют аксиому о том, что в мире царит равномерное круговое движение, но полагают, что движение планет является сложным; планета движется по окружности, центр которого в свою очередь вращается по большой окружности с центром в Земле. Оказывается, что можно так подобрать скорости этих двух вращений, что траектории планет будут содержать петли, на которых будут происходить «попятное движение». Эти траектории не будут в точности эпициклондами, но очень близки к кривым. Если предположить, что по неподвижной окружности катится не окружность, а круг, то его граничные точки будут описывать эпициклонды,
*) В геоцентрической системе мира Земля считает центр Вселенной, в отличие от геоцентрической системы Коперника, согласно которой планеты вращаются вокруг Солнца.
11
горизонтальные вектор скорости в точке циклоды с врашательным вектором (касаоцимся производащего круга и имеющим ту же длину), получаем, что касательная к циклоде проходит через верхиной точку круга в соответствии with the given problem (проделяте это построение на рисунке 1).
Аналогичное рассудение (возможно, несколько равны) принимает француз Жиль Персон, по производу Робервалы (1602—1675). Заслуга Роберваля заключитсь в том, что он не ограничился рассмотрением циклоды, а разработал общую технику проведения касательных при помощи представления кривых в виде траекторий сложных движений. Его метод был по началу в полне конкурентонособен в сравнению с другими способами проведения касательных, имеющих в это время.
И все же будущее принадлежало более прямым методам, разработавшим Пьером Ферма (1601—1665) и Рене Декартом (1596—1650). Эти методы не требовали «индивидуального подхода» к каждой кривой (например, подбора составляющих движений). А позволяют ли эти методы проведсти касательную к циклоде — кривой механического проискождения?
Выяснили, что метод Ферма касательная строится без всяких затруднений, а вот метод Декарта, ориентированный на рассмотрение кривых, заданных многочленами, отказал. Но не таков Декарт, чтобы дать повод утверждать, что он не справился с задачей, доступной его коллегам.
Он придумывает удивительное по красоте механического теории. В моделиизированном варианте речь идет о том, что при обработании циклоды мы рассматриваем не движение изолированной материальной точки, а движение твердой пластины — катащегося круга. При этом в каждой момент времени движение, как правило, мало отличается от поворота пластины около неокоторого (мгновенного) центра врашения. Скорости во всех точках перепределения радиуса мгновенного центра врашения. В случае циклоды, как легко понять, мгновенный центр врашения — это не центр катащегося круга, а его точка касания с направляющей прямой. Отсюда немедленно следует формулировано выше правило проведения касательной (ведьписанный прямой угол опирается на диаметр).
Площадь и «спутница» циклоды
Покончим с касательными и перейдем к площадям. В случае циклоды французские математики рассмотрели эти задачи даже раньше, чем задачу о касательных (возможно, причиной была большая уверенность в задачах о площадях). Прежде всего речь идет о вычислении площади сегмента под подной аркой циклоды. Ввинини и Торичелли утверждают, что Галилей знал, что площадь этого сегмента равна утроенной площади производащего круга. Робервал доказал эту теорему в 1634 году. Несколько слов об очень красивом рассудении Роберваля. В каждый момент времени Робервал процурет наблюдаемую точку циклоды на вертикальной диаметр катящого круга и следит, как перемещается эта проекция. Получается новая кривая, которую Робервал называл «спутница циклоды» (рис. 2) А потом выяснили, что эта очень симметричная кривая является …свиднутой синусоидой! Именно так (а не как график синуса) впервые появились в математике синусоида. Площадь под синусоидой считается легко: если разрезать ее средним горизонтальным и вертикальным линяями, то получаются части, из которых составляется прямой угольник со стороны 2лr и r (см. рис. 2, где r=1), то есть площадь равна 2лr². Что касается двух оставшихся фигуры (их называли лепестками Роберваля), то они как нельзя лучше иллюстрировали очень популярный в те годы прием вычисления площадей — приципи Бонавентуры Кавальери (1598—1647). Он состоит в том, что если две фигуры при пересечении любыми горизонтальными дюйм отрезки равной длины,
Рис. 2.
12
то они имеют одинаковые площади. Кавальери мыслил себе фигуры состоящими из «неделимых» — паралельных слоев нульовой толщины — и утверждал, что при взимных сдвигах слоев площадь не меняется. Лепестки Роберваля имеют те же пересечения с горизонтальными, что и отсекаемая вертикальным диаметром поливна катящегося круга, значит, по принципу Кавальери их общая площадь равна площади этого круга, а общая площадь под аркой циклойды равна . Не правда ли, очень оструимое расужждение!
Задачи Мерсенна и конкурс Паскаля
На этом кончается первый этап «жизни» циклойды. Первые связи с ней задачи решились очень красно, и циклойда прочно заняла место в поле зреня крупнейших ученых. Но оставались нерешенные задачи, которые естественно было поставить в рамках развивающегося анализа бесконечного малых. Пропагандистом новых задач (в случае про циклойды) был Мерсенн, который мы уже упоминали. О нем и его своеобразной роли в истории науки стоит сказать еще несколько слов. У французской монаха Мерсенна были собственные достижения и в математике и физике (например, он доволно точно измерил скорость звука), но много выше его заслуги как организатора науки. В то время, когда еще не было научных журналов, почти все научные связи осуществлялись через Мерсенна: он был своеобразным «почтовым ящиком». Учены из разных стран сообщали ему о полученных результатах, понимая, что он оперативно дакт знать о них заинтересованным коллегам и конкурентам (а авторитет Мерсенна был гарантийной сохранения приоритета). Мерсенн следил за актуальным задачи, передавал их тем ученым, который было естественно имми занимать. С 1639 года начались «мерсенновские четверги», которые посещали Эттен и Блез Паскалли (отец и сын), Дезарг, Мидорж, Робервал, словом все серые учены, находившиеся в тот год в Париже. Эти «четверги» были представником Французской Академии наук. На примере Христина Гюйгенса (1629—1695), с которым Мерсенн переписывался с 1646 года, видно, как заботился Мерсенн о становлении молодого таланта. Он начинает с учебных задач, переходит к нерешенным, предшествует, что его юный корисpondент станет «Аполлонем и Архимедом … грудущего века», и, наконец, ставит задачу (обещая премию за решение) о приведенной ligne физической матрики, которое Гойгенс сможет решить лишь через несколько десятилетий, не прекращая все это время думать над ней.
Что касается циклойды, то Мерсенн считал, что не следует ограничивать вычислениям площади полного сегмента циклойды, а надо рассмотреть сегменты, отсекаемые различными горизонтальными, нужно найти центрыяжесты этих сегментов, объемы тел вращения, ими образованных, и т. д. Мерсенн, верятоно, правильно оценивал то, что в этих задачах элементарные манипуляции с «неделимыми слоями» Кавальери не ведут к цели (нужно соччитать интервал от синуса в обшем виде). Поэтому Мерсенн нацеливал на эти задачи самого многообещающего и оригинального из своих коллег — Блеза Паскаля.
Паскаль, однако, занялся этим задачи лишь весной 1658 года, когда он находился в монастре Пор-Рояль послеяжельх потрясений и когда казалось, что он окончательно разочаровался в математике и уже никак да не вернется к ней. Сохранили рассказы егоести Жильберти Перь и племянницы Маргариты о последнем контакте Паскаля с математкой. Он вспомнил о задачах Мерсенна, когда не мог уснуть из-за жестчайшей зубной боли. Размышления над циклойдой отвлекали от боли и постепенно захватили Паскаля. К утру он знал решение давно не поддавшейся задачи и… совершенно исцелился от зубной боли. Паскаль не собирался записывать полученный результат, но его друг герцог де Роанне уговорил его сделать это, успокив тем, что возврашение к математике было вызванно «внушением свыше». Герцог выделил 60 пистолей для организации конкурса на решение задач Мерсенна.
В июне 1658 года рассылается циклярное письмо крупнейшим геометрам Европы с предложением решить
13
шесть задач о циклиоде. Срок конкурса — 1 октября — предельно краток. Письмо подписано псевдоном «Амос Деттонвилль», — это анаграмма псевдонама Паскаля «Луи де Монтальт», под которым в это время выходили его «Писма к провинциальу».
7—9 октября было сообщено о закрытии конкурса, 24 октября были подведены итоги. Мерсенн не доходит до решения своих задач. Его функция «почтового ящика» перегляд Пьер Каркави (1603—1684), который и возглавил вместе с Робервалем жюри. На признав Деттонвилля отключились крупнейшие математики: Джон Валлис (1616—1703) решил все задачи, но к его решении были претензии, Гойгенс решил четыре задачи. А жюри присудило приз Деттонвиллю, который использовал премиальные средства на публикацию решений. «Работа выполнения стол тонко, что к ней ничего нельзя прибавить», — писал Гойгенс канонику де Слюзу, участнику конкурса, решивему одну задачу.
Конкурс Паскаля сыграл большую роль в научной жизни. Для грудущего анализа бесконечно малых было принципиально перейти от рассмотрения конкретных примеров к общим методам. Рассмотрения Паскаля практически не использовали специфики циклиоды и без затруднений могли быть перенесены на общую ситuation. Однако Паскаль сам этого не сделал, а оценено это было задним числом, когда Лейбниц (1646—1716), который и разработал наряду с Ньюотом обще методы дифференциального и интегрального исчисления, обратился по рекомендации Гойгensa к работе Паскаля. «Меня озарило новым светом», — писал Лейбниц и удивлялся, что Паскаль не формировал обещено приема, как будто «на его глазах была пелена». Трудно угадать, почему это произошло. Часто учены не видят ходов, которые по проществу неоторого времени кажутся естественными. Но опять-tаки можно предположить, что Паскаля уже не волновали судьбы математики: он отдавал свои последние силы направленный размышлениям о смысле жизни, о месте человека на Земле.
С конкурса Паскаля началась новая жизнь циклиоды. Участники конкурса не ограничились задачими, предложенными Паскалем. Например,
Кристофер Рен (1632—1723), талантливый английский математик, прославленный архитектор (создатель собора св. Павла в Лондоне), не достиг больших успехов в конкурсе, но сообщил теорему, которая произвела очень сильное впечатление на математиков. Он доказал, что длина одной арки циклиоды равна 8r.
Часы с циклондальным матником
Другой участник конкурса 28-летний Гойгенс отвлекся на решение задачи про циклонду от построения матниковых часов, который он с увлечением отдавал все свое время уже второй год. Первый экземпляр часов появился в середине 1658 года. С тех пор Гойгенс был занят их условиянтованием. Идея, лежащая в основе матниковых часов, состоит в том, что период колебаний матника — это постоянно воспроизводимая единица времени, которая в силу открытого Галилеем изхронного свойства матника (независимость периода от амплитуды размаха) остается неизменной при затухании колебаний. Гойгенс хотел создать морской хронометр, при помощи которого можно будет изменять долготу на борту коаблаля (по разности местных времени на борту и в порту отплытия; время отплытия и «помнит» хронометр). Проблема измерения долготы была пробелой века. Не удивительно, что ведущее морские державы назначали баснословные премии за достагоно надежный способ измерять долготу на борту.
Вскоре после того как стало известно об изобретении Гойгensa, выяснили, что Галилей обладал идеей матниковых часов, но очень до нее дошла лишь за год до смерти, когда уже не было сил для реализации. Не смог справиться с этой задачей и его сын Винченцо, который было завершено извершение проекта.
Создавая первые часы, Гойгенс обнаружил, что утверждение Галилея об изхронности колебаний математического матника не точно. Оно справедливо лишь для малых углов размаха. А как же обеспечить изхронность? Гойгенс понimed, что для этого надо уменьшать длину матника по мере отклонения от вертикали. Но каков должен быть закон уменьшения длины
14
ны подвеса? Для первых часов Гойгенс эмпирических подбирает форму «щек», на которые частино наматывается нить подвеса по мере удаления от вертикали (рис. 3). Но он не может найти способ вычислить форму щек. Отчаявшись, он убирает щек в конструкции 1658 года (поставив ограничитель амплитуды). Но через год щеки появились новые, — теперь уже Гойгенс знал точный закон изменения длины подвеса, при котором имеет место изохронность колебаний: в промежутке, как мы помним, он участвовал в конструке Паскала!
Галилей ясно понимал, что задача о колебании математического матрика эквивалентна задаче о движении тяжелой материальной точки по круговому щелобу (который совпадает с траекторий конца матрика). На точку, движущая по щелобу, и конец матрика наложены одинаковые связи. Утверждение об изохронности эквивалентно тому, что, с какого бы места на щелобе точка ни начинала движение, она оказывается в нижней точке через один и тот же момент времени. Удивляться возможность существования такого эфекта не следует: если движение начинается на большей высоте, то точка проходит больший путь, но набирает по дороге большую скорость. Впрочем, как выясил Гойгенс, круговой щелоб, в противоречи с мнением Галилея, свойством изохронности не обладает. И Гойгенс шест форму щелоба, при которой время спуска не зависит от начальной точки. Такую кривую Гойгенс называют также изохроной). Оказалось, что татухрона — это… перевернутая циклonda!
Но это еще не решает задачу до конца. Нужно придумать способ подвески (форму щек), при которой конец матрика будет движаться по циклонде. И опять совпадение: Гойгенс ранее интересовался развертками кривых — траекториями точек нитей, наматываемых на кривolinейные препятствия. Имевшийся опит позволил ему выяснить, что для получения циклондального матрика щелкам надо придать также форму циклонд. При этом циклонда, отвечающая концу матрика, и циклонд щелей должны быть сдвинуты на полоборота. Длина матрика равна 4r; когда он полностью наматывается, он оказывается
Рис. 3.
в нижней точке щеки. Отсюда мгновенно получается упомянутая выше теорема Рена: перimetр щеки вдвое большие длины матрика.
Гойгенс уверен вfundamentalности обнаруженных им свойств циклонды: «…потребовалось укрепить и, где нужно, дополнительное увеличение Галилея о падении тел. Наболее желательным плодом, как бы величайший вершиной этого учения, и является открытое много свойство циклонды».
С 1661 года начинаются испытания морского варнита матриковых часов, но постепенно становится ясно, что надежного морского хронометра на этом пути создается не удасса. Однако теоретические изыскания Гойгенса по математике и механике, предприятые в связи с совершенствованием часов, были столбцы значительных, что его книга «Матриковые часы» (1673 г.), в которой они подытожены, нарушу с книгами Галилея и Ньюотона, является великим памятником эпохи становления классической механики.
В «Матриковых часах» ГойгенсCONSTATIROVAL, что циклонда исследована «точнее и основательное других кривых».
Последняя тайна циклонды
Циклонде довелось еще один раз удивить математиков, на заказ в анализа бесконечного малых. Необходимость перейти от рассмотрения отдельных задач к построению общего метода первого осознан Исаак Ньюотон (1643—1727), который во время «чумных каникул» в Линкольшпере (1665—1667) построил свой метод «флюокси». Однако он не торопился публикаровать его, концентрировавшись на получении разнообразных результатов этим методом. Фейверрк этих результатов сверкает на стра-
15
ницах «Математических начал натуральной философии» (1687), но метод здесь систематически не развивается, оставясь на втором плане. С начала 70-х годов Готфрид Вильгельм Лейбниц, отвлекаясь от своих многочисленных государственных и научных дел, с возрастанием энтузиназом начиная разработать формулизм дифференциального и интегрального исчисления (под сильным влиянием упоминавшейся работы Паскала). Он узнал о работах Ньютона, а с 1676 года переписывается с ним. В отличие от Ньютона, Лейбниц активно привлекает внимание к своему методу как при помощи личных контактов, так и пользоваться страницами журнала «Acta Eruditorium» (помните, его читал дядя Тоби), выходшего с 1682 года.
В 1696 году на страницах «Acta Eruditorium» появился заметка «Новая задача, к решению которого приглашают математики». Вот ее формулировка: «В верхкальной плоскости даны две точки A и B. Определять путь AMB, спускаясь по коротому под действием собственнойяжестни тело M, начав двигаться из точки A, дойдет до точки B в кратчайшее время». Задча понравилась; Лейбниц называл ее «столь прекрасной и понные неизвестной». Впрочем, Галилей в «Беседах» с энтузиназом обсуждая, что тяжелая точка по отрезку прямой спускается медленнее, чем по ломаной с теми же концами, довольно уверенно утверждал, что быстрее всего точка спускается по четверти кругга. Кривую наискорейшего спуска стали называть брахистрохоной. Но является ли она другой окружности?
Своевременность задачи проявилась в том, что ее сравнительно быстро решили и оба брата Бернулли — Якоб (1654—1705) и Иоганн (1667—1748), и Лейбниц, и Лопиталь (1661—1704), и Ньюотон (он представил анонимное решение, но по словам Иоганна Бернулли, «льва узнал по контям»). Самым популярным стало решение самого И. Бернулли. Предложенный им ход был совершенно неожидан: он предложил заменить механическую задачу оптической. Нетрудно убедиться, что если рассмотреть оптическую среду, в которой скорость света в точке M равна , где — разность высот точки A и M, то свет из точки A в B поддет по брахистохроне (в силу прицппа Ферма свет выбирает путь, на который уходит наименьшее время). После этого, пользоваться законом преломления, с одной стороны, и хорошо известным тогда свойством касательной к циклюде (см. выше), легко вывести, что брахистохрона — это опрокинутая циклюда с острием в точке A!
Один из исторков механики об этом писал так:
«Без всякого еще метода, при помощи одной своей геометрической фантации Иоганн Бернулли одним взглядом решает задачу, умело пользоваться при этом тем, что случайно уже известно,— картина понятие заменателя и удивительное красива. Мы должны признать в Иоганне Бернулли истинно художственного натуру, действующую в области естественногоника. Брат его, Якоб Бернулли, был ученымсовсем другого рода. В нем было более сильное критическое наqualю, но гораздо меньше творческой фантации. И он решил задачу о брахистохроне, но гораздо более тяжеловиться обозначим метод для решения задачи этого рода. Таким образом мы находим у каждой из братьев лишь одну из тех двух сторон научного таланта, которые в величайших исследованиях природы, каким бы напририм, Ньюотон, бывают соединины с необычайной силой».
Геронческая история циклюды завершилась с концом XVII века. Она так тинстевенно возникала при решении самых разных задач, что никто не сомневался, что она играет совершенное исключительное роль. Пиетет перед циклюдой держался долго, но прошло время, и стало ясно, что она не связана с функментальным законом природы, как, скажем, кончексное сечение. Задчиц, приводившие к циклюде, сыгали огромную роль в становлении механики и математического анализа, но когда величественные данные этих наук построены, оказалось, что эти задачи являются частными, далеко не самыми важными. Произошла почучительная историческая纵юния. Однако, знакомясь с удивительной истории циклюды, можно увидеть много прицппальных фактов из истории науки.