Не беда, что нет функций

20

Не беда, что нет функций

А. И. ПРИВЕНЬ

— Папа, ты знаешь, Маше Сидоровой родители купили новеньку «Электронку БЗ-36» с функциями. И у других ребят она есть…
— А что, твой «Электронка БЗ-30» плохо работает?
— Работать-то она работает, но на ней же нет функций: только арифметические действия делает, и корни изображает. А у нас в девятом классе всё снусы и косинусы, логарифмы, показательные функции. Не носить же мне всюду с собой таблицы Брадиса!
— Не беда, что нет функций. Ты же у нас математиком хочет быть, значит сообщать должа. Ряд Тейлора на крупке вам расссказывали? Ну тогда слушай…

Как соччитать логарифм

Сначала немного теории. Ты, конечно, знаешь, что

$$\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e.$$

Это равенство с достаточно точностью выполняется, если $x$ близко к 0. Тогда получаем $(1+x)^{1/x} \approx e$, или $1+x \approx e^x$, откуда

$$\ln(1+x) \approx x,$$

(1) то есть, отпав от числа единицу, получим его натуральный логарифм. А как быть с большими числами?
Довольно просто. Ведь

$$\ln a = \ln (a^{N/N}) = N \ln (a^{1/N}).$$

Если $N$ достаточно велико (о конкретных значениях поговорим позже), то $a^{1/N} \approx 1$ и $\ln (a^{1/N}) \approx a^{1/N} - 1$.

На машине $a^{1/N}$ вычисляется легко, если $N=2^n$ — достаточно лишь $n$ раз нажать на клавишу $\sqrt{}$. А затем для нахождения исходного логарифма нужно вычесть единицу и умножить на соответствующее двойки:

$$\ln a = \ln a^{N/N} = N \ln a^{1/N} \approx (a^{1/N} - 1) \cdot N.$$

Осталось лишь найти оптимальное значение $N$. Из равенства (1) вытекает

$$\ln (1+x)^{1/2} = \frac{1}{2} \ln (1+x) \approx \frac{1}{2} x \approx \ln \left(1 + \frac{1}{2} x\right),$$

то есть

$$\left(1+x\right)^{1/2} = \sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2} x.$$

Что бы оценить точность этого равенства, воспользоваться формулой Тейлора*. Нам достаточно трех первых членов:

$$f(a+x) = f(a) + xf'(a) + \frac{x^2}{2!} f''(a) + \dots$$

В нашем случае $a=1$; $f(a+x) = \sqrt{1+x}$;

$$f(a) = \sqrt{a} = 1; f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}} = \frac{1}{2};$$

$$f''(a) = -\frac{1}{4a^{3/2}} = -\frac{1}{4},$$

то есть $\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8}$;

остальные члены при $x \to 0$ можно отбросить.

Таким образом, погрешность формулы (3) примерно равна $x^2/8$. Зададимся величины погрешности $\Delta = 5 \cdot 10^{-9}$. Это наиболее величины, которые не сказываются на показании 8-разрядного калькулятора.

Далее просто: $\Delta = \frac{x^2}{8} = 5 \cdot 10^{-9}$, $x=2 \cdot 10^{-4}$. Это значение $x$ должно обеспечить минимум погрешности. Так, значение $ln 2$, вычисленное по формуле $\ln 2 = 2^{12} (2^{1/2^12} - 1) = 4096 \times 0.0001691$, равно 0,693207 вместе табличного 0,693147.

Однако тутсказывается один чисто «машинный» эффект: извлечение корня (как и другие вычисления) проводится с недостатком в последнем знаке, и эта ошибка с каждым разом увеличивается. В конце концов она перекрывает величины $\frac{x^2}{8}$, и формула для $\Delta$ становится непримемой. Этот эффект заменено сказывается при $n > 10$, где $n = \log_2 N$ — число извлечений корня. В результате тот же $\ln 2$, вычисленный по той же формуле на микрокалькуляторе БЗ-30, равен 0,69263… По-

*) О формуле Тейлора см. статью В. Р. Почуева в предыдущем номере «Квана».

21

этому в случае $n > 10$ целесообразно принять $x = (3,5 \div 7) \cdot 10^{-4}$.

Тот же ln 2, вычисленный на той же машине при $n = 11$, равен 0,69304 с относительной ошибкой 0,014 %.

Итак, мы нашли алгоритм вычисления ln $a$:

$$\ln a = \frac{\ln a}{\ln 10} = \frac{\ln a}{2,303}.$$

Для $2 < a < 10$ достаточно точные результаты дает выражение

$$\lg a \approx (a^{2/10} - 1) \cdot 445,$$

где $445 \approx \frac{2^{10}}{\ln 10}$.

Как считать показательную функцию

Для вычисления функции $e^x$ преобразуем выражение, полученное для ln $a$. Мы имеем ln $a \approx N (a^{1/N} - 1)$, при большом $N$, значит,

$$a \approx \left( \frac{\ln a}{N} + 1 \right)^N.$$

Сделав замену $x = \ln a$, получим $a = e^x$ и поэтому

$$e^x \approx \left( \frac{x}{N} + 1 \right)^N = \left( \frac{x}{N} + 1 \right)^{2n}.$$

Чтобы быстро пользоваться этим соответствием на простейшем калькуляторе, желательно превращать его в целочичный алгоритм, то есть такой алгоритм, при котором не нужно записьать промежуточные результаты. Для этого возведение в степень $N$ (или $n$ раз в квадрат) и нужно выполнять, повторяя последовательность команд $\times =$ для модели B3-30 или

$$\dots \times 1 \times = \dots ,$$

для модели типа B3-14. При этом результат все время остается во «временной памяти» калькулятора, и поэтому не нужно вновь вводить в машину после каждойтерации. Таким образом, алгоритм нахождения $e^x$ выглядит так (ниже $n$ — это натуральное число, притом $N = 2^n$):

$$x : 2^n + 1 \times =$$

Вычисление функции $10^{xn}$ отличается лишь тем, что после набора $2^n$ результат умножается на ln $10 \approx 2,303$.

Осталась функция $x^y$. Продолжарифмируем ее:

$$\ln (x^y) = y \ln x = Ny \ln (x^{1/N}) \approx Ny (x^{1/N} - 1).$$

Отсюда по формуле (4)

$$x^y = e^{\ln (x^y)} \approx e^{Ny (x^{1/N} - 1)} \approx \left[ \frac{Ny (x^{1/N} - 1)}{N} + 1 \right]^N = [y (x^{1/N} - 1) + 1]^N.$$

Формула (5) представляется программой:

Как считать тригонометрическе функции

Здесь формула Тейлора дает два удобных выражения для синуса и косиуса

$$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} = \frac{(x^2 - 6)x}{6};$$

$$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} = 1 + \frac{(x^2 - 12)x^2}{24}.$$

Первое выполняется достаточно при $x \leq \frac{\pi}{4}$; то же можно сказать и о втором. Величина $\frac{x^4}{24}$ начинает заметно сказаться при $x \geq \frac{\pi}{6}$, при $x < \frac{\pi}{6}$ можно упростить формулу для cos $x$, отбросив третьей член:

$$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}.$$

Ограничение $x \leq \frac{\pi}{4}$ не опасно, так как тригонометрические функции всегда можно привести к аргументу, меньше $\frac{\pi}{4}$.

---

Как видить, совсем немного математики — и простейший микрокалькулятор становится приготовным для вычисления практических всех «школьных» функций.