[Две задачи о диофантовых уравнениях]

19

перендикулярной осем кристаллической решетки (рисунок 2). Но иногда направление трешины может измениться, и она пойдет по диагонали в плоскости, в которой лежатоны одного сорта (рисунок 3).

В этом случае на одной поверхности трешины сразу после раскола оказывается ноны одного знака, а на другой — противоположного. И действительно, при движении зонда электромета вдоль поверхности раскола также участи были обнаружены.

No значительное больше силы неравенство зарядов отдельных кусков было обнаружено при расколе образца на нединаковые части. Действительно, пусть длиной кристалл с квадратным торцом со стороны, равной $a$, и длиной $l \gg a$ (рисунок 4) раскалывается на две части, толщины которых $b$ и $a-b$. Если $\varrho$ — средняя плотность собственного объемного заряда целого кристалла, то поверхности заряда шкурики вычисляется из условия равенства нулю суммы зарядов:

$$Q_{\text{кристалла}} + Q_{\text{шкурики}} = 0.$$

Пусть площадь торцов мала и заряд шкурики

$$4a\sigma + \varrho la^2 = 0.$$

Отсюда находится заряд шкурики:

$$\sigma = -a\varrho/4.$$

Считая, что плотности объемных зарядов левой и правой части одинаковы (и равны $\varrho$), находим заряд, например, левой части, равной сумме объемного и поверхности зарядов:

$$\varrho abl - \frac{\varrho a l}{4}(a + 2b) = \frac{\varrho a l}{2}(b - \frac{a}{2}) < 0,$$

что и было обнаружено на опите.

… Разумеется, это далеко не все, что можно расссказать о механизмах электrizации. Масс интересы вопросов можно задать о моменте, когда трешина разделяет кристалл (электроны могут «перерыгивать» со стенки на стенку), об отсутствие самфирового «рубила» (электроны могут переходить и на него), наконец, о механизме электrizации при трении диэлектрика по металлу, о механизме электrizации при скатании кристаллов и так далее. На некоторых из этих вопросов ответы уже получены. Остальные — ждут своего времени. И, может быть, вас.

Задание
наших читателей

1. Докажите, что не существует натуральных чисел $x, y, z$ таких, что $x^{p-1} + y^{p-1} = z^{p-1}$, где $p$ — простое, $p > 3$, а $x$ и $y$ не делятся на $p$.
   Указание: примените Малую теорему

Ферма: $a^{p-1} \equiv 1$ (mod $p$), где $a$ — натуральное и $(a, p) = 1$ (см. «Квант», 1978, № 10, с. 7).

2. Докажите, что при $p=3$ любое решение диофанта уравнения

$$x^{p-1} + y^{p-1} = z^{p-1},$$

состоящее из попарно взаимно простых натуральных чисел, содержит число кратное 3.

О. А. Черепанов