Bất đẳng thức về diện tích và chu vi của đa giác lồi

15

Bất đẳng thức về diện tích và chu vi của đa giác lồi

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. V. GASHKOV

Có lẽ người đọc biết rằng trong số tất cả các hình có chu vi nhất định, hình tròn có diện tích lớn nhất.

Nếu không, chúng tôi khuyên bạn nên đọc bài viết của V.V. Trofimov “Công chúa Dido, máy đo đường đẳng nhiệt và phim xà phòng” trên số thứ năm của tạp chí năm nay.

Ở đây chúng tôi sẽ giới thiệu cho người đọc các tính chất cực trị tương tự của các $n$-giác đều, phân biệt chúng với tất cả các $n$-giác khác, và do đó, chúng tôi sẽ thu được một số bất đẳng thức thú vị liên quan đến diện tích và chu vi của $n$-giác, bán kính của các đường tròn “nội tiếp” và “nội tiếp” cũng như các đặc điểm khác của nó. Để xây dựng và chứng minh một cách chính xác những phát biểu này, chúng ta sẽ phải xác định một số khái niệm phụ trợ và đối với các tam giác, những phát biểu được đề cập có thể được xây dựng ngay bây giờ.

Sự quản lý

1. Trong số các hình tam giác nội tiếp một đường tròn cho trước, hình tam giác đều có diện tích (và chu vi) lớn nhất.
2. Trong số các hình tam giác ngoại tiếp một hình tròn cho trước, hình có diện tích (và chu vi) lớn nhất là hình đều.
3. Trong các hình tam giác có chu vi cho trước, hình có diện tích lớn nhất là hình đều.
4. Trong số các hình tam giác có chiều cao tối thiểu nhất định, diện tích (và chu vi) lớn nhất là đều.
5. Trong số các tam giác có cạnh lớn nhất cho trước, diện tích (và chu vi) lớn nhất là đều.

Phân tích sâu hơn sẽ chứng minh các mệnh đề 1-5 cho các $n$-giác lồi tùy ý.

Đa giác lồi là gì?

Định nghĩa 1. Đa giác $P$ được gọi là lồi nếu nó nằm trên một cạnh của mỗi đường thẳng đi qua hai đỉnh liền kề bất kỳ của nó. Những đường thẳng như vậy được gọi là tiếp tuyến của đa giác $P$, do đó, tiếp tuyến là đường thẳng chứa một số cạnh của nó. Hơn nữa, chỉ các đa giác lồi mới được xem xét và sự xuất hiện của các đa giác mới được thảo luận đặc biệt.

Sự quản lý
6. Chứng minh rằng một đa giác lồi trùng với giao điểm của các nửa mặt phẳng tiếp tuyến của nó. Một nửa mặt phẳng được gọi là tiếp tuyến với $P$ nếu nó chứa $P$ và được giới hạn bởi tiếp tuyến với $P$.

7. Chứng minh rằng một đường thẳng có các điểm chung với một đa giác lồi sẽ cắt nó thành hai đa giác hoặc đi qua đỉnh của nó sao cho nó nằm hoàn toàn trên một trong các nửa mặt phẳng được xác định bởi đường thẳng đang xét.

Định nghĩa 2. Đường thẳng đi qua đỉnh của đa giác lồi sao cho nằm hoàn toàn về một phía của đường thẳng này gọi là đường hỗ trợ của đa giác đó. Mọi tiếp tuyến đều là một điểm hỗ trợ, nhưng không phải mọi điểm hỗ trợ đều là tiếp tuyến (xem hình 1).

Bài tập 8. Chứng minh một đa giác lồi có đúng hai đường thẳng hỗ trợ song song với một phương cho trước. Những đường này giới hạn dải chứa đa giác này.

Định nghĩa 3. Dải được giới hạn bởi các đường thẳng song song gọi là dải tham chiếu; dải đỡ mà ít nhất một trong các đường biên của nó tiếp tuyến được gọi là dải tiếp tuyến (xem hình 2).

16

Bạn thực sự muốn nói.
9. Chứng minh rằng một đa giác lồi trùng với giao điểm các đường tiếp tuyến của nó.
10. Chứng minh rằng một đa giác không lồi nằm trong một đa giác lồi có diện tích lớn hơn và chu vi nhỏ hơn.

Đường kính và chiều rộng của đa giác

Các khái niệm sẽ được định nghĩa ở đây là cần thiết để xây dựng một định lý tổng quát hóa các câu lệnh điều khiển trong Phần 4 và 5.

Định nghĩa 4. Đường kính của đa giác là khoảng cách lớn nhất giữa các đỉnh của nó.

Đúng 11. Chứng minh rằng khoảng cách lớn nhất giữa các điểm của a) một tam giác, 6) một n-giác tùy ý bằng đường kính của nó.

Định nghĩa 5. Chiều rộng của đa giác là chiều rộng nhỏ nhất của các sọc lớn nhất của nó.

bạn đang làm việc
12. Chứng minh rằng chiều rộng của dải đỡ bất kỳ không nhỏ hơn chiều rộng của đa giác (từ đó suy ra chiều rộng nhỏ nhất của dải đỡ bằng chiều rộng của đa giác).
Rõ ràng, chiều rộng của một hình tam giác bằng chiều cao lớn nhất của nó.
13. Chứng minh rằng chiều rộng H, đường kính D và chu vi P của một n-giác đều liên hệ với nhau bởi các đẳng thức $2n \mathrm{tg} \frac{\pi}{2n} H = P = 2n \sin \frac{\pi}{2n} D$ (nếu n lẻ), $n \mathrm{tg} \frac{\pi}{n} H = P = n \sin \frac{\pi}{n} D$ (nếu n chẵn).
Gợi ý: xem hình (3 a, 6)

Đẳng giác và các tính chất cực trị khác của đa giác đều

Hãy chứng minh định lý sau
Định lý 1. a) Trong số n-giác lồi nằm trong một đường tròn cho trước, diện tích (và chu vi) lớn nhất là n-giác đều nội tiếp đường tròn này.
6) Trong số n-giác chứa một đường tròn cho trước, diện tích lớn nhất là

(và chu vi) có một n-giác đều được mô tả xung quanh vòng tròn này.
c) Trong số n-giác có chu vi cho trước, n-giác đều có diện tích lớn nhất.

Để chứng minh định lý, chúng ta sẽ cần năm phát biểu phụ trợ mà chúng tôi cung cấp cho người đọc để chứng minh như một bài tập.

bạn đang làm việc
14. Nếu một đa giác lồi chứa một giây thì chu vi của đa giác thứ nhất lớn hơn chu vi của đa giác thứ hai.
15. a) Một đa giác đều nội tiếp trong một đường tròn có các góc bằng nhau, nghĩa là đa giác đều.
6) Một đa giác đều ngoại tiếp một đường tròn có các cạnh bằng nhau, tức là đa giác đều.
16. Trong số các tam giác có đáy và góc ở đỉnh cho trước, tam giác cân có diện tích (và chu vi) lớn nhất.
17. a) Trong các tam giác có đường tròn ngoại tiếp và góc ở đỉnh cho trước thì tam giác cân có diện tích đáy lớn nhất.
6) Trong số các tam giác có một góc ở đỉnh và một đường tròn bên ngoài tiếp xúc với đáy và kéo dài hai cạnh thì tam giác cân có đáy lớn nhất.
18. Trong số các tam giác có đáy và chu vi cho trước, tam giác cân có diện tích (và góc ở đỉnh) lớn nhất.

Cuối cùng chúng ta hãy chứng minh định lý. Hãy bắt đầu từ điểm a). Lưu ý rằng nếu n-giác không nội tiếp một khoảng bằng một hình tròn thì nội tiếp trong hình tròn này và có diện tích lớn hơn (xem Bài tập 14) thì có chu vi lớn hơn (xem hình 4). Nếu n-giác nội tiếp trong đường tròn không đều thì (xem Bài tập 15 a)) nó sẽ tìm các cạnh không bằng nhau liền kề, trên hình 5 được ký hiệu là AB và BC. Gọi B’ là trung điểm của cung AC (xem hình 5). Khi đó B ≠ B’, |AB’| = |B’C| và từ Bài tập 16, n-giác được hiển thị trong hình 5 với đỉnh B’ cùng với B

18

Hình 8.

Đối với những gì tiếp theo, chúng ta sẽ cần một số khái niệm phụ trợ thú vị. Đoạn văn sau đây được dành cho phần trình bày của họ.

Pha trộn và đối xứng đa giác

Các khái niệm trình bày dưới đây được đưa vào hình học bởi G. Minkowski, người đã sử dụng chúng trong các nghiên cứu nổi tiếng của ông về các tập lồi.

Định nghĩa 6. Hỗn hợp (một nửa tổng) của hai tập hợp chính xác là tập hợp trung điểm của tất cả các đoạn có các đầu cuối thuộc tập hợp đó (một đầu thuộc tập thứ nhất, đầu kia thuộc tập thứ hai). (Tại hình 8, hỗn hợp các đoạn AB và CD được hiển thị.)

Bài tập 19. a) Hỗn hợp các đường thẳng song song là đường thẳng chia đôi các đường thẳng nằm giữa chúng.

6. Hỗn hợp các đoạn thẳng song song là đường giữa của hình thang (hình bình hành) được tạo bởi các đoạn thẳng đó.

b) Hỗn hợp các dải song song có chiều rộng $H_1$ và $H_2$ là dải có chiều rộng $\frac{H_1+H_2}{2}$ song song với chúng.

d) Hỗn hợp các đường tròn có bán kính $R_1$ và $R_2$ là đường tròn có bán kính $\frac{R_1+R_2}{2}$.

20. Dải tham chiếu trộn hai đa giác là hỗn hợp các dải tham chiếu của các đa giác này song song với nó.

Tuyên bố sau đây bài toán rất quan trọng cho những gì tiếp theo.

Bài toán 2. Hỗn hợp của hai đa giác $P_1$ và $P_2$ là một đa giác $P$, với mỗi cạnh của nó có một cạnh song song với nó là một trong các đa giác $P_1$ hoặc $P_2$ và đối với bất kỳ cạnh nào