Неравенства для площади и периметра выпуклого многоугольника

Квант 1985, №10 с. 15, 16, 18 Тег LQMI

Неравенства для площади и перimetра выпуклого многоугольника

Кандидат физико-математических наук
С. В. ГАШКОВ

Возможно, читатель извесно, что среди всех фигур данного перimetра наиболее площад и имеет круг.

Если нет, советум прочитать статью В. В. Трофимова «Царевна Дидона, изоперметры и мыльные пленки» в пятом номере журнала за этот год.

Здесь же мы познакомим читателя с аналогичными экстремальными свойствами правильных $n$ -угольников, выделяющими их среди всех прочих $n$ -угольников, и в качестве следствий получим несколько интересных неравенств, связывающих между собой площад и перimetр $n$ -угольника, радиуса «вписанного» и «описанного» кругов и другие его характеристики. Для точной формулировки и доказательства этих утверждений нам придется определить несколько вспомогательных понятий, а для треугольников упомянутые утверждения можно сформулировать уже сейчас.

Управнения

Среди треугольников, вписанных в данной круг, наиболее площад (и перimetр) имеет правильный треугольник.
Среди треугольников, описанных около данного круга, наиболее площад (и перimetр) имеет правильный.
Среди треугольников данного перimetра наиболее площад имеет правильный.
Среди треугольников с данной минимальной высотой наиболее площад (и перimetр) имеет правильный.
Среди треугольников с данной максимальной стороны наиболее площад (и перimetр) имеет правильный.

Далее анализу утверждений 1-5 будет доказаны для произвольных выпуклых $n$ -угольников.

Что такое выпуклый многоугольник?

Определение 1. Многоугольник $P$ называется выпуклым, если он лежит по одному сторону от каждой прямой, проходящей через какие-нибудь две соседние его вершины. Такие прямые называются касательными к многоугольнику $P$ , так что касательная — это прямая, содержащая какую-нибудь его сторону. Далее рассматривают только выпуклые многоугольники, а появление новых многоугольников оговаривается особо.

Управнения
6. Докажите, что выпуклый многоугольник совпадает с пересечением своих касательных полуплоскостей. Полуплоскость называется касательной к $P$ , если она содержит $P$ и ограничена касательной к $P$ .

Докажите, что прямая, имеющая общие точки с выпуклым многоугольником, либо разрезает его на два многоугольника, либо проходит через его вершину так, что он целиком лежит в одной из полуплоскостей, определяемых рассматриваемой прямой.

Определение 2. Прямая, проходящая через вершину выпуклого многоугольника так, что он лежит целиком по одному сторону от этой прямой, называется опорной к этому многоугольнику. Любая касательная является опорной, но не каждой опорной является касательной (см. рис. 1).

Управнения 8. Докажите, что выпуклый многоугольник имеет в точности две опорные прямые, параллельные данному направлению. Эти прямые ограничивают полосу, содержащую этот многоугольник.

Определение 3. Полоса, ограниченная параллельными прямыми, называется опорной полосой; опорная полоса, у которой хотя бы одна из ее граничных прямых является касательной, называется касательной полосой (см. рис. 2).

У праванення.
9. Докажите, что выпуклый многоугольник совпадает с пересечением своих касательных полос.
10. Докажите, что невыпуклый многоугольник содержится в выпуклом многоугольнике большей площади и меньше перimetра.

Диаметр и ширина многоугольника

Поняття, которые здесь будут определены, необходимы для формирования теоремы, обобщшей утверждения управления ираженням 4 и 5.

Определение 4. Диаметром многоугольника называется наибольшее расстояние между его вершинами.

У праванення 11. Докажите, что наибольшее расстояние между точками a) треугольника, 6) произвольного n-угольника равно его диаметру.

Определение 5. Шириной многоугольника называется наименьшая ширина его наибольших полос.

У праванення
12. Докажите, что ширина любой опорной полосы не меньше ширины многоугольника (откуда следует, что наименьшая ширина опорных полос равна ширине многоугольника).
Очевидно, что ширина треугольника равна его наибольшей высоте.
13. Докажите, что ширина H, диаметр D и перimetр P равильно n-угольника связанных равенствами $2n \mathrm{tg} \frac{\pi}{2n} H = P = 2n \sin \frac{\pi}{2n} D$ (если n нечетно), $n \mathrm{tg} \frac{\pi}{n} H = P = n \sin \frac{\pi}{n} D$ (если n четно).
Указание: см. рис. (3 a, 6)

Изопериметрическое и другие экстремальные свойства правильных многоугольников

Докажем следующую теорему
Теорема 1. a) Среди выпukлых n-угольников, лежащих в данном круге, наибольшую площадь (и перimetр) имеет вписанный в этот круг правильный n-угольник.
6) Среди n-угольников, содержащих данный круг, наибольшую площадь

(и перimetр) имеет описанный около этого круг правильный n-угольник.
в) Среди n-угольников с данным перimetром наибольшую площадь имеет правильный n-угольник.

Для доказательства теоремы понадобятся пять вспомогательных утверждений, доказать которые мы предлагаем читателю в качестве упражнения.

У праванення
14. Если один выпukлый многоугольник содержит второй, то перimetр первого больше перimetра второго.
15. a) Вписанный в круг равносторонний многоугольник имеет равные углы, то есть является правильным.
6) Описанный около круга равносторонний многоугольник имеет равные стороны, то есть является правильным.
16. Среди треугольников с данными основанием и углом при вершине наибольшую площадь (и перimetр) имеет равобедренный треугольник.
17. a) Среди треугольников с данными описанной окружностью и углом при вершине наибольшую площадь основание имеет равобедренный треугольник.
6) Среди треугольников с данными углом при вершине и данной внешписанной окружностью, касающейся основания и продолженной боковых сторон, наибольшее основание имеет равобедренный треугольник.
18. Среди треугольников с данными основанием и перimetром наибольшую площадь (и угол при вершине) имеет равобедренный треугольник.

Докажем, наконец, теорему. Начнем с пункта a). Заметим, что если n-угольник не является вписанным в расстояние окружности, вписанный в этот круг и имеющий большую площадь (см. упражнение 14) больший перimetр (см. рис. 4). Если же n-угольник, вписанный в круг, не является правильным, то (см. упражнение 15 a)) у него найдет соседние неравные стороны, которые на рисунке 5 обозначаны AB и BC. Обозначим B’ середину дуги AC (см. рис. 5). Тогда B ≠ B’, |AB’| = |B’C| и из упражнения 16 следует, что изображенный на рис. 5 n-угольник с вершиной B’ вместе B

Рис. 8.

Для дальнейшего понадобятся неокторые вспомогательные понятия, интересные и сами по себе. Их изложению посвящен следующий параграф.

Смешение и симметризация многоугольников

Излагаемые далее понятия были введены в геометрию Г. Минковским, который применял их в своих знаменитых исследованиях о выпуклых множествах.

Определение 6. Смешением (полусуммой) двух точных множеств называется множество середин всех отрезков, концы которых принадлежат этим множеством (один конец первогому множеству, а другой — второму). (На рисунке 8 показано смешение отрезков AB и CD.)

Упражнение 19. a) Смешением паралельных прямых является прямая, делящая пополам полос между ними.

Смешением отрезков, лежащих на паралельных прямых, является средняя линия трапеции (паралелографма), образованной этим отрезками.

b) Смешением паралельных полос ширины $H_1$ и $H_2$ является паралельная им полоса ширины $\frac{H_1+H_2}{2}$ .

г) Смешением кругов радиуса $R_1$ и $R_2$ является кругг радиуса $\frac{R_1+R_2}{2}$ .

Опорная полоса смешения двух многоугольников является смешением паралельных ей опорных полос этих многоугольников.

Очень важной для дальнейшего является утверждение следующей задачи.

Задача 2. Смешением двух многоугольников $P_1$ и $P_2$ является многоугольник $P$ , для каждой стороны которого найдется паралельная ей сторона одного из многоугольников $P_1$ или $P_2$ , причем для любого из сторон