Задачи

Задания

1. Переложите две спички так, чтобы равенство, изображенное на рисунке, стало верным.

2. Чему равно выражение Г·Р·У·З·И·Я / Т·Б·И·Л·И·С·И’, если буква соответствует цифры, причем одинаковым буквам — одинаковые цифры, а разным — разные?

3. Оdnажды должныливым осенним вечером я шел на станцию по проеслочной дороге. Грязь, вылетавшая из-под моих ботинок, оседала на обшлагах брюк. Придя на станцию, я обнаружил, что с внутренней стороны брюки стал грязными до колен. Но брызги грязи так высоко не поднимались. Почему же я так испачался?

4. Число 6116 обладает следующим свойством: какую бы пapy его цифр ни взять, последняя цифра их суммы такая же, как последняя цифра суммы двух других цифр. Сколько четырехзначных чисел с таким свойством?

5. Детский кубик я оклеил чистой бумагой, каждую грань разделил на четыре квадратика и в каждый квадратик попытался записать целое число так, чтобы сумма этого числа и четырех чисел в соседних квадратиках равнялась 13 (см. рисунок; соседними считаются квадратики, имеющие общую сторону). Однако у меня ничего не получилось. Можно быть, вам удаться? Или же это сделать невозможно?

Эти задания нам предложили: Сережа Алтун-джи, ученик 7 класса, Л. А. Штейнгари, А. П. Савин, М. И. Музафаров, В. В. Произвольов.

27

Тренице: вредное, полезное, интересное…
А. В. СЕМЁНОВ

Приходилось вам каталог на санках своего приятель? Конечно — да. И, конечно, вы замечали, что по льдукатить санк одно удовольствие, по снегу — потребнее, а если попадетсяголый, без снега, асфальт, то тащитьсанк ох как тяжело. А почему?Наверное, каждый ответит сразу: придвижении по асфальту трене больше. И будет прав. Но давайте разберемсяс тренем чуть подробнее.

Как вы думаете, если творые соприкасаоцесса поверхности неподвижны — может ли быть между нимитрене? Как следует подумайте, обратитесь к своему повседневномуопыту…

Конечно, может. Если бы не силатреня, мы не смогли бы стоять дажена слегка пологой горке; никакое тело не смогло бы удержаться на наклонной плоскости — в результате действия сили тяжестии оно съезжало бы. Именно трене мешает нам, когдамы пытаемся подвинуть какой-нибудьпредмет. Такое трене называюттренем покоя, в отличие от треняскольжения, возникающего придвижении поверхностей друг относительно друга.

Итак, когда тело, скажем ящик,стоит на полу, а мы пытаемся егосвиднуть, мы предолеваем силитреня покоя. Когда нам это удалосьи ящик поехал по полу, действуетсила треня скольжения.

Между тренем покоя и тренемскольжения есть существенное разлице. Сила треня покоя зависит от того, с какой силой мы действуемна тело, пытаясь свиднуть его с места. Мы прикладываем маленькую сили — и сила треня покоя маленькая, какраз такая, чтобы уравновесить приложению сили. Мы увеличиваемусиление — и сила треня покоя растет. Но вот при каком-то усилиномудалось свиднуть ящик, он заскользилпо полу. При этом сила треня скольжения остается практическим постоянной и равной максимальной силе треня покоя. При каком уже усилиномудалось свиднуть тело? Иными словами, какова наиболее силатреня покоя? От чего она зависит?

Над этими вопросами (и вообще над тем, что такое трене) ученыдумали уже много веков назад. Размышления о силе треня встречаютсясреди записей Леонардо да Винчи. Но строие ответы, в форме законов, были сформированы в 1699 годуфранцузским физиком Амонтоном.Через сто лет после Амонтона законытреня были переоткрыты Кулоном, и теперь их чаще всего называютзаконами Амонтона — Кулона.

Основной из этих законов можносформировать так: максимальнаясила треня покоя ($f_{\max}$) междуповерхностями двух тел прямого пропорциональна величины сили ($N$), с которой тела прижаты друг к другу:

$$f_{\max} = \mu N.$$

Для ящика, стоящего на полу, сила$N$ равна силе тяжестии, на наклоннойплоскости прижмашшая сила станетменьше, соответственно меньшей будет и силе треня. Козффициентпропорциональности $\mu$ зависит от материалов, из которых сделаны срикасаоцесса поверхности, и от того, как они обработаны. Как это ни удивительно, сила треня не зависит отплощади поверхности срикасаоцесса треня.

Говоря о трении, мы все времяподаzymеали «вредность» его действия: из-за треня противятсяподышы, «льесейот» автоматильныешины, снашиваются детали машин. С этим вредным тренем борются,страяются его уменшить. Но трене — бувально ведедесуше, былаетон и полезно.

Прежде всего, именно благодаря силе треня мы с вами можем ходитьпо земле. Припомните: как труднобывает в головед ходить по улице. Все это происходит из-за того, чтоуменьшается силе треня при движении: по льду она меньше, чем поасфальту. И только благодаря треню