XI Всероссийская олимпиада школьников

52

ХI Всероссийская олимпиада Школьников

По сложившейся традиции в дни весенних школьных каникул проходит заключительный, зональный этап Всероссийской физико-математической и химической олимпиады Школьников 8—10 классов. Зональному этапу предшествуют школьные, районные, городские и областные (краевые) олимпиады, по результатам которых каждая область (край) представляется по одному победителем от каждой класса по каждому из предметов.

В этом году заключительный этап олимпиады проводился в четырех городах — Смоленске (для Северозападной зоны), Казани (для Центральной зоны), Грозном (для ЮгоЗападной зоны) и Омске (для Сибири и Дальнего Востока). Кроме того, в это же время проходил заключительный этап олимпиады в физико-математических школе-интернатах при Ленинградском, Московском и Новосибирском университетах.

Задание по математике для заключительного этапа олимпиады состояло из пяты задач, на решение которых ответилось четые часа. Как показала проверка, наиболее трудности у учащихся вызвали задачи по геометрии, комбinatorике и анализу. Значительные трудности у восмиликлассников вызвали задача о разложении многочлена на множители. Члены жюри подробно обсудили со школьниками конкурсные задачи и проанализировали типичные ошибки.

Особенно заключительного этапа олимпиады по математике этого года было проведение практическоготура, в котором участвовали школьники 9 и 10 классов. Задания, предложенные на практическом type, вызвали большой интерес как у учащихков олимпиады, так и у руководителей команда: впервые на наших олимпиадах использовались микрокалькуляторы. Хотя результаты решения этих задач не учитывались при определении победителей олимпиады, школьники, хорошо проявившие себя в практическом type, были нагружены грамотами и специальными призами. Подводя итоги, Центральный Оргкомитет принял решение рассмотреть возможность включения задачи практическоготура в число конкурсных задач олимпиады.

Заключительный этап олимпиады по физике проводился в два типа — теоретический и экспериментальный. Задание теоретического типа включало пять задач, экспериментального — две задачи. На выполнение каждого задания отводилось четые часа. По результатам проверки оказалось, что наиболее трудности у восмиликлассников вызвали передача, у девятиклассников — вторая передача теоретического типа.

Школьники, занявшие I—IV места на зональном этапе Всероссийской олимпиады, были нагружены дипломами, грамотами и памятными подарками. Из числа призовы были сформирована команда РСФСР для участия во Всесоюзной олимпиаде.

Специальными грамотами были нагружены также учитель, подготовившие призовы олимпиады.

Ниже приведятся задачи по математике и физике заключительного этапа и фамилии призовов XI Всероссийской олимпиады школьников.

Математика

8 класс

1. Докажите, что для любых чисел $x$ и $y$, отличных от нуля, выполняется неравенство
   $$x^4 + y^4 \leq \frac{x^6}{y^2} + \frac{y^6}{x^2}.$$

2. На доске в строку написаны числа
   $$1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4} \dots \frac{1}{10} \frac{1}{11} \frac{1}{12}.$$

a) Докажите, что, как бы мы ни расставили знаки «+» и «-» между этим числами, полученная сумма не будет равна нулю.

b) Какое наиболее количество написанных чисел необходимо степень с дочки для того, чтобы после некоторой расстановки «+» и «-» между оставшимся числами получалась сумма, равная нулю?

3. На плоскости данных отрезок $AB$ и точка $C$, являющаяся внутренней точкой отрезка $AB$. Найдите множество точек $M$ плоскости, таких, что $\angle AMB = \angle ACM$.

53

4. Правильный треугольник $ABC$ полностью покрыт пятью меншми равными правильными треугольниками. Докажите, что треугольник $ABC$ можно полностью покрыть четырьмя таких треугольниками. (В данной задаче треугольник рассматривается вместе с его внутренней области.)

5. Представьте многочлен $x^{1985} + x + 1$ в виде произведения двух многочленов.

9 класс

1. Докажите, что, для того чтобы знаки чисел $a, b, c$ были одинаковыми, необходимо и достаточно, чтобы выполлялись неверенства

$$ab + bc + ca > 0, \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} > 0.$$

2. Дан остругольный треугольник $ABC$. Расматривается всевозможные параллелогаммы $AKMT$, вершины $K, M, T$ которых лежат на сторонах $AB, BC, CA$ соответственно.

a) При каком положении точки $K$ длина диагонали $AM$ будет наимененный?

b) При каком положении точки $K$ длина диагонали $KT$ будет наимененный? Опишите в этом случае метод построения точки $K$ с помощью циркуля и линейки.

3. Данны 1985 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г, …, 1984 г, 1985 г. Можно ли их разделить на пять групп так, чтобы и число Girры, и их суммарная масса были одинаковы во всех пятей групппах?

4. Две окружности радиусов $R$ и $r$ расположены на плоскости так, что одна находится вне другой. К окружностям проведены две внешние касательные и одна внутренняя касательная. Внутренняя касательная пересекает внешние касательные в точках $A$ и $B$ и качает одной из окружностей в точке $C$. Докажите, что справедливо равенство

$$R \cdot r = |AC| \cdot |BC|.$$

5. Дано натуральное число $m$. Поеледовательность чисел $(x_n)$ строится следующим образом: $x_1 = 1$, а число $x_{n+1}$ при $n \ge 1$ равно сумме цифр числа $mx_n$. Докажите, что в последовательности $(x_n)$ обязаательно найти два равных числа.

10 класс

1. Докажите, что уравнение $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=30$ не имеет решений в целых числах.

2. Две парабoles расположены на плоскости так, что их оси взаимно перепределились в четырех точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

3. На плоскости данной правильный треугольник $ABC$ и квадрат $DEHK$. Они расположены так, что вершина $D$ квадрата является серединой стороны $AC$, вершина $E$ лежит на стороне $AB$, вершина $H$ — на стороне $BC$. Докажите, что вершина $K$ лежит вне треугольника $ABC$.

4. Ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ многогранника $ABCA_1B_1C_1$ лежат на параллельных прямых $l_1, l_2, l_3$ соответствующей. Его треугольные грани $ABC$ и $A_1B_1C_1$ лежат, вообще говоря, в непараллельных плоскостях. Докажите, что объем многогранника равен

$$V = \frac{1}{3} \left( |AA_1| + |BB_1| + |CC_1| \right) \cdot S,$$

где $S$ — площадь треугольника, вершинами

54

Даны с пятнадцатью знаками после запятой:
$$e=2,718281828459045...$$
$$\pi=3,141592653589793...$$

6. С помощью циркуля и линейки построите точку, являющийся центром тяжестями выпуклого четырехугольника, вырезанного из однородного куска фанеры.

Физика
Teoretическая тур
8 класс

1. В схеме, изображенной на рисунке 2, направление батарейки неизменно, а направление $U$ источника можно изменять. Окзадалось, что при $U_1=3$ В ток через источник не идет. При каком направлении источника батарейка не будет разряжаться? График зависимости тока через лампочки от направления на ней приведен на рисунке 3.

Рис. 2. Рис. 3.

2. Упоры-роликки $A$ и $B$ позволяют «закреплить» балку горизонтального (рис. 4). Давить на балку роликом можно с силой, не превышащей $F_0$, иначе она разрушается. Какой самый большой груз можно подвести к правому концу балки? Как нужно ее расположить при этом? Масса балки $m$, длина $L$, расстояние между роликами по горизонтали $l$.

Рис. 4.

3. Мальчик равномерно круглил над головой камень массой $m$, привязав его к вервке длиной $l$ (рис. 5). Окзадалось, что кисту руки при этом опcisвает окружность радиуса $l$. Определяйте радиус окружности, по которой движется камень, если сила сопротивления воздействия камня равна $\gamma v^2$, где $\gamma$ — заданный постоянный коэффициент, $v$ — скорость камня. Силой тяжестями камня можно пренебречь.

Рис. 5. Рис. 6.

4. На каменистом две водоема лежит куб (рис. 6), материал которого имеет плотность, в 7 раз больше плотности воды. Ребро куба $a=2$ м. Куб пытается поднять со дня с помощью устройства, работающего по принципу прироски, — квадратного со стороны $a$ шита, плотно прилагающего к верхней грани куба, из-под которого откачивается воздух до давления $p\approx 0$. Можно ли с помощью этого устройства поднять куб до поверхности? Если нет, то на какой глубине он оторвется от прироски? $p_{atm}\approx 10^5$ Па; $g\approx 10$ м/с$^2$; $\rho_b=10^3$ кг/м$^3$.

9 класс

1. При скатии некоторых порции влажного воздуха в 4 раза его давление возросло в 3 раза. Когда воздуха еще в 2 раза, давление стало в 5 раз больше первого начального. Все проискдило при неизменной температуре. Какова была относительная влажность в самом начале?

2. По нефтепроводу диаметром $d_1$ перекачают в сутки некоторое количество нефти. Во сколько раз больше будет перекачаивать нефти за сутки по другому нефтепроводу диаметром $d_2=2d_1$ той же длины, если насосная станция обеспечивает прежнюю разность давления? Считать, что сила сопротивления движению жидкости пропорциональна скорости.

3. Tonкостенный цилиндр радиусом $R$ раскрутили до угловой скорости $\omega_0$ и положили между двумя наклонными плоскостями (рис. 7; $a=\pi/4$). Козффициент треня скольжения $\mu$ не зависит от скорости просальзывания. Определяйте число оборотов, которое сделает цилиндр до прекрашенной врашления, если известно, что ось цилиндра при торможении покоплась.

4. Оцените мощность нагрузки, при которой перегорит волокон предохранитель в электросети, если при мощности $P_1=1$ кВт он нагревается до $t_1=120$ °C при температуре в комнате $t=20$ °C. Температурный коэффициент сопротивления материалов волокна $a=4\cdot 10^{-3}$ К$^{-1}$, температура плавления $t_{\pi l}=320$ °C. Теплоотдача расчет пропорционального разности температуры.

10 класс

1. В колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных резистора с сопротивлением $R$, катушки с индуктивностью $L$ и конденсатора с емкостью $C$, происходит затухающие колбания. За некоторое время амплитуда тока в контуре уменьшилась от $I_1$ до $I_2$. Какое количество теплоты выделилось за это время на резисторе?

2. Tonкий обруч (radиуса $R$), массой которого можно пребегнуть по сравнению с массами двух прикрепленных к нему одинаковых грузков ничтожно малых размеров, просверлен последние между грузками (рис. 8). За это отверстие обруч подвешен на вбитый