Задачи М946—М950; Ф958—Ф962

29

Задчи

M946—М950; Ф958—Ф962
M946. Две параболи расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболи пересекаются в четырех точках. Доказите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.
Л. П. Купцов

M947. На доске в строку написаны числа
$$1\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{1}{4}\cdot\cdot\cdot\frac{1}{10}\frac{1}{11}\frac{1}{12}.$$
a) Доказите, что как мы ни расставили знаки «+» и «-» между этими числами, полученная сумма не будет равна нулю.
b) Какое наименьшее количество написанных чисел необходимостерить с доски для того, чтобы после некоторых расстановки «+» и «-» между оставшимся числами получалась сумма, равная нулю?

M948. Правильный треугольник ABC полностью покрыт пятью меньшими равными треугольниками*). Доказите, что треугольник ABC можно полностью покрыть четырьмя таким треугольниками (эти треугольники разрешаются передвигать).
В. В. Произвольов

M949. Данны 1985 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г, …, 1984 г, 1985 г. Можно ли их разделить на пять группы так, чтобы и число гирь, и их суммарная масса были одинаковы во всех пятей группах?
E. П. Ерошенков

M950. Двадцать пять коротышек делят садовые участки в Цветочном горode. Каждый участок представляет собой квадрат $1 \times 1$ и все участки вместе составляют квадрат $5 \times 5$. Каждый коротышка находится в ссоре не более, чем с треями коротышками. Доказите, что можно распределить участки таким образом, чтобы участки двух посорившихся коротышек не были бы соседними. (Соседними называются участки, имеющие общую сторону.)
С. В. Конгаzin

Ф958. Космическая станция массой M и составковый с ней спутник массой m движутся вокруг

*) В данной задаче треугольник расматривается вместе с его внутренней области.

30

Земли по круговой орбите, радиус которого равен 1,25R, где R — радиус Земли. В некоторых моментспутник катапультируется со станции в направлении ее движения и переходит на эллиптическую орбиту с апогем, удаленным от центра Земли на расстояние 10R. При каком отношении m/M спутник встретится со станцией, совершив один оборот вокруг Земли?

А. А. Бирюков, В. В. Данилюк

Ф959. При относительной влажности воздуха r₁=50 % вода, напитая в блюдце, испарилась на открытом воздухе за время t₁=40 мин. За какое время испарилась бы вода при r₂=80 %?

Ф960. Для того чтобы получить две совершенное одинаковые катушки, их наматывают на немагнитный сердечник одновременно, используя сложенные вместе провода (рис. 1). Одну из катушек подключают через ключ K к батарейке B с напряжением U₀, вторую — к резистору R. Ключ замыкают. Расчитайте мощность тока на резисторе. Нарисуйте график зависимости силы тока через батарейку от времени.

Через время t ключ размыкают. Какое количество теплоты выделится в резисторе, начиная с этого момента?

Индuctивность каждой из катушки L. Батарейку считать идеальной. Сопротивлением проводов пренебречь.

Ф961. Для поддержания постоянной температуры воды в проточном аквариуме пользовается двумя одинаковыми нагревателями (рис. 2). В обычном режиме использует один из них, а если подключают паралельно второй нагреватель, то расход холодной воды приходится увеличить в 3 раза. Как нужно изменить расход холодной воды, если нагреватели включаны в себя последовательно? Каким должен быть расход холодной воды, если включена одна спираль мощностью P=100 Вт? Температура холодной воды t₁=10 °C, температура воды в аквариуме t₂=27 °C. Вода быстро перемешивается.

А. Р. Зильберман

Ф962. Точчные источники, расположенные на главной оптической оси линзы, образуют равномерно светащущая нить (проходящую через фокус линзы). Найти закон изменения E(x) освещенности в точках, лежащих на той же оси по другую сторону линзы на больших от нее расстояниях x (x≫F, где F — фокусное расстояние линзы).

М. А. Воронцов, В. Е. Кунццын