Векторы в геометрических задачах

21

Matematika
8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка предназначаем десятиклассикам. Оdnako первая ее часть может быть полезной и учащимся 8-х и 9-х классов.

Векторы в геометрических задачах

1. Параллельность и отношение отрезков

Задача 1. Точка K, L, M, N — середины сторона BC, CD, DE, EA пятугольника ABCDE, точки P и Q — середины отрезков KM и LN. Доказать, что отрезки PQ и AB параллельны, и найти отношение их длины (пис. 1).

Переведем утверждение задачи на векторный язык.

Параллельность отрезков PQ и AB записывается равенством $\overrightarrow{PQ} = k \cdot \overrightarrow{AB}$, где $k$ — некоторое действительное число. Вычислив $k$, мы найдем отношение длины отрезков PQ и AB.

Основной в решении этой задачи оказывается формула $\overrightarrow{OZ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OX} + \overrightarrow{OY})$, где $Z$ — середина отрезка XY, а $O$ — произвольная точка.

Решение. $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OL} + \overrightarrow{ON}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{OM}) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OE})\right) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$.

Отсюда следует, что отрезки PQ и AB параллельны, а отношение их длино $\frac{1}{4}$.

В приведенном решении мы дважды использовали «формулу разности»

$\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}$, позволяющий выразить любой вектор через векторы, отложенные от одной и той же точки.

Вот несколько примеров записи одного и того же утверждения на геометрическом и векторном языках:

1. Точка A, B, C лежат на одной прямой.
2. Точка M делит отрезок AB в отношении $|AM|:|MB| = l:k$
3. М — точка пересечения медиан (центрroid) треугольника ABC.
4. ABCD — параллельрам.

В двух последних случаях геометрическое и векторное утверждение равносильны при условии, что точки A, B, C не лежат на одной прямой.

Задача 2. Доказать, что середины оснований и точка пересечения диагоналей трапеции лежат на одной прямой (пис. 2).

Решение. Пусть M, N — середины оснований BC и AD трапеции ABCD, O — точка пересечения диагоналей. Из подобия треугольников AOD и BOC следует: $\frac{|OA|}{|OC|} = \frac{|OD|}{|OB|}$. Обозначая эти

22

2. Центroid системы точек

Понятие центроид легко переносится с треугольника на произвольную конечную систему точек пространства:

Точка M называется центроидом системы n точек $A_1, A_2, \dots, A_n$, если $\overrightarrow{MA}_1 + \overrightarrow{MA}_2 + \dots + \overrightarrow{MA}_n = \overrightarrow{0}$.

С помощью формулы разности последнее равенство можно переписать так: $(\overrightarrow{OA}_1 - \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OA}_2 - \overrightarrow{OM}) + \dots + (\overrightarrow{OA}_n - \overrightarrow{OM}) = \overrightarrow{0}$ (О — произвольная точка),

$\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_n - n \cdot \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{0}$,

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{n} (\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_n)$.

Из последней формулы следует, что любая конечная система точек имеет единственный центroid. Причем центроид системы, состоящий из одной точки, — сама эта точка, центроид пары точек — середина соединяющего их отрезка. Нахождение центроида большого числа прощается благородяя следующему принципу: если $M_1$ — центроид системы k точек $A_1, A_2, \dots, A_k$, а $M_2$ — центроид системы l точек $B_1, B_2, \dots, B_l$ и эти системы не имеют общих точек, то центроид системы k + l точек $A_1, A_2, \dots, A_k, B_1, B_2, \dots, Bl$ — это точка M, принадлежащая отрезку $M_1M_2$ и делящая его в отношении $|M_1M_2| = l:k$.

Действительно, пусть $k \cdot \overrightarrow{M_1M} = l \cdot \overrightarrow{MM_2}$.

Использовая формулу разности, получим:

$k (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OM}_1) = l (\overrightarrow{OM}_2 - \overrightarrow{OM}_1)$,

$k \cdot \overrightarrow{OM} - k \cdot \overrightarrow{OM}_1 = l \cdot \overrightarrow{OM}_2 - l \cdot \overrightarrow{OM}_1$,

$(k + l) \cdot \overrightarrow{OM} = k \cdot \overrightarrow{OM}_1 + l \cdot \overrightarrow{OM}_2$,

$\overrightarrow{OM} = \frac{k}{k + l} \overrightarrow{OM}_1 + \frac{l}{k + l} \overrightarrow{OM}_2$.

По формуле (1)

$\overrightarrow{OM}_1 = \frac{1}{k} (\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_k)$,

$\overrightarrow{OM}_2 = \frac{1}{l} (\overrightarrow{OB}_1 + \overrightarrow{OB}_2 + \dots + \overrightarrow{OB}_l)$,

так что

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{k + l} (\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_k)$,

и мы получили требуемое.

Примена этот принцип к тройке вершин треугольника, мы получим, что центроид треугольника лежит на

23

отрезке, соединяющем вершину с центром двух других вершин, то есть с серединой противоположной стороны, и делит этот отрезок в отношении 2:1, считая от вершины. Отсюда следует известная теорема планиметрии: медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин.

Аналогично доказывается, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с центроидами противоположных граней, пересекаются в одной точке — центроид треугольника — и делятся в этой точке в отношении 3:1, считая от вершин.

3. Вычисление расстояний и углов

Задав в пространстве тройку некомпланных векторов — базис, можно разложить по этому базису любой вектор единственным образом. Зная же скалярные произведения базисных векторов, мы можем легко вычислить скалярные произведения любых векторов, а следовательно, их длины и углы между ними.

Задание 4. Дано $\vec{a}\vec{b} = 1$, $\vec{a}\vec{c} = 2$, $\vec{b}\vec{c} = 0$, $\vec{a}^2 = \vec{b}^2 = 4$, $\vec{c}^2 = 2$.

Найти $|\vec{p}|$, $|\vec{q}|$, $(\vec{p}, \vec{q})$, если $\vec{p} = 2\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{q} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Решение: Перепишем условия задачи в виде «таблицы умножения» (табл. 1). Находим: $|\vec{p}| = \sqrt{\vec{p}^2} = \sqrt{(2\vec{a} - \vec{b})^2} = \sqrt{4\vec{a}^2 - 4\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{16} = 4$;

$|\vec{q}| = \sqrt{\vec{q}^2} = \sqrt{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2\vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{c} + 2\vec{b}\vec{c}} = \sqrt{16} = 4$.

Из определения скалярного произведения получем:

$$\cos(\vec{p}, \vec{q}) = \frac{\vec{p}\vec{q}}{|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|} = \frac{2(\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{16} = \frac{2\vec{a}^2 + \vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{c} - \vec{b}^2 - \vec{b}\vec{c}}{16} = \frac{9}{16},$$

откуда $(\vec{p}, \vec{q}) = \arccos \frac{9}{16}$.

Задача 5. Основание признамы $ABCA_1B_1C_1$ — правильный треугольник. Боковое ребро $AA_1$ вдвое больше стороны основания и образует углы $A_1AB = 90^\circ$, $A_1AC = 60^\circ$. О — центр треугольника $ABC$. Найти на прямой $CC_1$, такую точку $K$, что прямые $B_1K$ и $A_1O$ перпендикулярны.

Решение. Положение точки $K$ на прямой $CC_1$ определяется значением коэффициента $x$ в равенстве $\vec{C}_1\vec{K} = x \cdot \vec{C}_1\vec{C}$. Обозначим через $a$ длину стороны основания признамы, выберем в качестве базиса тройку векторов $\vec{m} = \vec{AB}$, $\vec{n} = \vec{AC}$, $\vec{p} = \vec{AA}_1$ (рис. 5), после чего составим «таблицу умножения» (табл. 2).

Разложим векторы $\vec{A}_1\vec{O}$ и $\vec{B}_1\vec{K}$ в базис $(\vec{m}, \vec{n}, \vec{p})$: $\vec{A}_1\vec{O} = \vec{A}_1\vec{A} + \vec{A}O = -\vec{p} + \frac{1}{3}(\vec{m} + \vec{n}) = \frac{1}{3}(\vec{m} + \vec{n} - 3\vec{p})$, $\vec{B}_1\vec{K} = \vec{B}_1\vec{A}_1 + \vec{A}_1\vec{C}_1 + \vec{C}_1\vec{K} = \vec{m} + n - x\vec{p}$. Записав условия перпендикурови примых $A_1O$ и $B_1K$:

$(\vec{m} + \vec{n} - 3\vec{p})(-\vec{m} + \vec{n} - x\vec{p}) = 0$, получим, используя таблицу 2: $11a^2x - 3a^2 = 0$, откуда $x = \frac{3}{11}$.

Упражнения

1. В терраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины ребер $AB$ и $CD$. Доказите, что середины отрезков $CE, DE, AF$ являются вершинами параллелограмма.

2. Точки $A, B, C, D, E, F$ не лежат в одной плоскости. Доказите, что если прямые $AB$ и $DE, BC$ и $EF, CD$ и $AF$ параллельны, то $|AB| = |DE|, |BC| = |EF|, |CD| = |AF|$.

3. Доказите, что отрезки, соединяющие середины сторона основания четырехугольников параллелограмма, пересекаются в одной точке. В каком отношении они делятся этой точкой?

4. Доказите, что середины четырехугольников, о которых идет речь в предыдущем упражении, являются вершинами параллелограмма.