Bài toán M991—M995; F1003—F1007

35

Nhiệm vụ

M991—M995; F1003—F1007

M991. Cho tam giác ABC vẽ đường cao CH và đường trung tuyến SC. Trên cạnh AB chọn các điểm E và F sao cho ∠ACE=∠BCF, các đường thẳng AM và BN (hình 1) vuông góc với các tia CE và CF. Chứng minh rằng các điểm M, H, K và N cùng thuộc một đường tròn.

M992. Trong số 90 sinh viên tốt nghiệp một trường toán học, mỗi người có ít nhất 10 người bạn. Chứng minh rằng bất kỳ sinh viên tốt nghiệp nào cũng có thể mời ba người bạn đến thăm, sao cho trong số bốn người có mặt, mỗi người sẽ có ít nhất hai người bạn.

M993. a) Tìm 11 số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương của số tự nhiên đó.
6)* Chứng minh rằng với 2<n<11 không có n số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương là chính phương.

M994.* Tại giá trị lớn nhất của k là bất đẳng thức
$$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \geq k(ab+bc+ca)^2$$ có thỏa mãn với mọi giá trị của a, b và c không?

M995. Hàm y=f(x) với mọi x được xác định, liên tục và thỏa mãn các điều kiện
$$f(f(x))=f(x)+x.$$
a) Tìm hai hàm số như vậy f.
6)* Chứng minh rằng không có hàm số nào khác như vậy.

F1003. Đầu máy chuyển động dọc theo một đường tròn bán kính R với tốc độ v. Một quả bóng nhẹ có chiều dài L được gắn vào nó, quả bóng này chuyển động với tốc độ không đổi ở độ cao H. Xác định quỹ đạo chuyển động đã xác lập của quả bóng.

D. Yu. Grigoriev

F1004. Một thanh đơn mỏng có thể quay tự do trong mặt phẳng thẳng đứng quanh một trục nằm ngang đi qua đầu thanh, treo bất động trên mặt nước (hình 2); chiều dài l, mật độ vật chất ρ (ρ nhỏ hơn mật độ của nước). Từ từ hạ trục xuống, gốc rạ ngâm trong nước. Tìm mối liên hệ giữa góc lệch của gốc rạ so với phương thẳng đứng và khoảng cách từ trục quay đến mặt nước; vẽ ra mối quan hệ này.

D. V. Belov

36

F1005. Có một lò nướng trong đó nhiệt độ được duy trì liên tục ở mức $T_1$ và một tủ lạnh có nhiệt độ $T_0 < T_1$. Một cuộn dây có quấn dây dài được lắp vào tủ lạnh. Đầu dây đi ra khỏi tủ lạnh, đi vào lò và gắn vào một cuộn dây được lắp ở đó. Các cuộn dây được quay để dây được rửa từ cuộn lạnh sang cuộn nóng, chuyển động với tốc độ $v$. Tiết diện dây $s$, nhiệt lượng thể tích $c$. Để giữ nhiệt độ $T_1$ và $T_0$ không thay đổi, cần phải tăng công suất lò lên $\Delta E_x$ và giảm công suất làm lạnh của tủ lạnh một lượng tương ứng. Tìm $\Delta E_x$. Giả sử sự trao đổi nhiệt giữa dây và môi trường không phụ thuộc vào tốc độ của dây.

D. V. Pavlov

F1006. Xác định điện trở của mạch điện trở như hình hình 3. Giá trị điện trở tính bằng ohm.

S. S. Krotov

F1007. Một tia sáng chiếu vào một quả cầu gồm hai bán cầu được làm bằng thủy tinh có chiết suất $n_1$ và $n_2$ ($n_1 > n_2$). Quả bóng bắt đầu quay với vận tốc góc $\omega$ quanh một trục vuông góc với phương của chùm tia (hình 4). Tìm kích thước lớn nhất của điểm sáng trên màn hình gắn trên quả bóng.

L. G. Markovich

Problems

M991 — M995; P1003 — P1007

M991. CH and CK are the altitude and the median of triangle ABC. The points E and F are chosen on the side AB so that $\angle ACE = \angle BCF$, and perpendiculars AM and BN are lowered on the rays CE and CF (see figure Pisc. 1). Prove that M, H, K and N lie on one circle.

M992. Each of the 90 alumni of a mathematical gymnasium has at least 10 friends. Prove that any alumnus can invite three other alumni so that among the four each has at least two friends.

M993. a) Find 11 successive natural numbers whose sum of squares is the square of a natural number.
b) Prove that if $2 < n < 11$, then it is impossible to find $n$ successive natural numbers whose sum of squares is a square.

M994.* For what largest value of $k$ the inequality
$$a^4 + b^4 + c^4 + abc(a + b + c) \geq k(ab + bc + ca)^2$$
holds for all values of $a, b$ and $c$?

M995. The function $y = f(x)$ is, for all $x$, defined, continuous and satisfies the condition
$$f(f(x)) = f(x) + x.$$
a) Find two such functions $f$.
b) Prove that there are no others.

P1003. A locomotive moves along a circular track of radius $R$ with velocity $v$. An aerostat is tied to the locomotive.