Задачи М991—М995; Ф1003—Ф1007

35

Задчи

M991—M995; Ф1003—Ф1007

M991. В треугольнике ABC проведены высота CH и медиана СК. На стороне AB выбраны точки E и F так, что ∠ACE=∠BCF, и на лучи CE и CF опущены перпендикуляры AM и BN (рис. 1). Докажите, что точки M, H, K и N лежат на одной окружности.

M992. Среди 90 выпускников одной математической гипназии у каждой не менее 10 друзей. Докажите, что любой выпускник может пригласить в гости трех друзей так, что среди четырех собравшихся у каждой будет не менее двух друзей.

M993. a) Найдите 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат натурального числа.
6)* Докажите, что при 2<n<11 не существует n последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат.

M994.* При каком наиболее значении k неравенство
$$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \geq k(ab+bc+ca)^2$$ выполено при всех значениях a, b и c?

M995. Функция y=f(x) при всех x определяна, непрерывна и удовлетворяет условиям
$$f(f(x))=f(x)+x.$$
a) Найдите две такие функции f.
6)* Докажите, что других таких функций нет.

Ф1003. Локомотив движется по круговому пути радиуса R со скоростью v. К нему на трое длиной L прикреплен легкий воздушный шар, который движется с постоянной по величине скоростью на высоте H. Определите траекторию установленного движения шара.

Д. Ю. Григорьев

Ф1004. Tonкий одноподныйстерень, который может свободно врашаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через конецстерня, неподвижно висит над водой (рис. 2); длинастерня l, плотность материала ρ (ρ меньше плотности воды). Медленно опуская ось,стерень погружают в воду. Найдите зависимость между углом отклонениястерня от вертикали и расстоянием от оси до поверхности воды; построите график этой зависимости.

Д. В. Белов

36

Ф1005. Имеется печь, в которой постоянно поддерживает температура $T_1$, и холодильник, температура в котором $T_0 < T_1$. В холодильнике устанавливается катушка с намотанной на ней длиной проволокой. Конец проволоки выходит из холодильника, входит в печь и закреплен на катушке, устанавливаемой там. Катушки врашают так, что проволока смытается с холодной катушки на горячею, двигаясь со скоростью $v$. Сечение проволоки $s$, объемная тепломкость $c$. Чтобы температуры $T_1$ и $T_0$ не изменились, пришлось увеличить на $\Delta E_x$ мощность печь и на столько же уменьшить холодопроводительность холодильника. Найдите $\Delta E_x$. Считать, что теплобмен проводки с окружающей средой не зависит от скорости движения проволоки.

Д. В. Павлов

Ф1006. Определяйте сопротивление схемы из резисторов, показанной на рисунке 3. Значения сопротивления указаны в омах.

С. С. Кротов

Ф1007. На шар, составленный из двух полушарий, которые сделаны из стекол с показателями преломления $n_1$ и $n_2$ ($n_1 > n_2$), падает луч света. Шар начинают врашать с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, перpendикулярной направлению луча (рис. 4). Найдите максимальный размер светового пятина на экране, устанавливаемой на шаром.

Л. Г. Маркович

Problems

M991 — M995; P1003 — P1007

M991. CH and CK are the altitude and the median of triangle ABC. The points E and F are chosen on the side AB so that $\angle ACE = \angle BCF$, and perpendiculars AM and BN are lowered on the rays CE and CF (see figure Pisc. 1). Prove that M, H, K and N lie on one circle.

M992. Each of the 90 alumni of a mathematical gymnasium has at least 10 friends. Prove that any alumnus can invite three other alumni so that among the four each has at least two friends.

M993. a) Find 11 successive natural numbers whose sum of squares is the square of a natural number.
b) Prove that if $2 < n < 11$, then it is impossible to find $n$ successive natural numbers whose sum of squares is a square.

M994.* For what largest value of $k$ the inequality
$$a^4 + b^4 + c^4 + abc(a + b + c) \geq k(ab + bc + ca)^2$$
holds for all values of $a, b$ and $c$?

M995. The function $y = f(x)$ is, for all $x$, defined, continuous and satisfies the condition
$$f(f(x)) = f(x) + x.$$
a) Find two such functions $f$.
b) Prove that there are no others.

P1003. A locomotive moves along a circular track of radius $R$ with velocity $v$. An aerostat is tied to the locomotive.