Полюс и поляра относительно окружности

32

Математический курсок

Полис и поляра относительно окружности

С. Ц. ХАРАЛАМПИЕВ (НРБ)

От редакции. В этой заметке рассакazo об очень красивых задачах, решаемых с помощью понятой полиса и поляры относительно окружности. Болгарские школьники знакомы с этим понятыми, которые, однако, не входят в программы школа в СССР. Поэтому редакция предложала заметке неольшие сведения об основных свойствах полиса и поляры.

Введение: полис, поляра и их свойства

Две точки $P$ и $Q$ называются сопряженными относительно окружности $(k)$, если окружность с диаметром $PQ$ ortogonalна окружности $(k)$ (рис. 1). Множество всех точек, сопряженных точке $P$ относительно окружности $k(O; r)$, называется по-

лярой точки $P$ относительно $(k)$. Далее мы зафиксируем окружность $k(O; n)$, и поэтому будем опускать слова «отношение $(k)$».

Свойство I (построение поляры). Поляра точки $P$ является прямой; она может быть построена так, как показано на рисунке 2. Если прямая $l$ служит полярой для точки $P$, говорят еще, что $P$ является полюсом прямой $l$.

Свойство II (построение полюса). У любой прямой, не проходящей через центр окружности, имеется единственный полюс; он может быть построен так, как показано на рисунке 3.

Свойство III (бзаимность). Поляра $l_p$ любой точки $P$, принадлежащей поляре $l_Q$ точки $Q$, проходит через $Q$.

Свойство IV (характеристиское свойство). Для точки $M$ поляры $l_P$ точки $P$ и только для них выполняется соответствие

$$OM^2 - PM^2 = 2r^2 - OP^2.$$ (1)

Доказательства этих свойств мы оставляем читателем.

Применения понятой полюса и поляры

Пример 1 (полярное свойство касательных). Если из точки $P$ проводить

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 4

34

Рис. 8.

Q и R, P и R, P и Q лежат соответственно на полярах точек P, Q и R, что и утверждаюсь.

Своеобразным итогом разобраных примеров служит рисунок 7. На нем показано, сколько разных заменательных точек лежит на поляре: точки касания (T и T′), пересечение диагоналей (Q), противоположных сторон (R) и касательных (M, N).

Пример 3 (теорема Брюкара). Пусть P, Q и R являются соответственно точками пересечения диагоналей и противоположных сторон вписанного в окружности k(O; r) четырехугольника ABCD. Тогда ортоцентр треугольника PQR совпадает с центром O.

Доказательство. Из предыдущей задачи следует, что точки P=(AC)∩(BD), Q=(AB)∩(CD) и R=(AD)∩(BC) относительно окружности (k) имеют в качестве поляр соответственно прямые QR, PR и PQ. Тогда OP⊥QR, OQ⊥PR, OR⊥PQ, то есть O является ортоцентром.

Пример 4. Пусть X₁X₂X₃X₄ является четырехугольником, вписанным в окружность (k), а Xᵢᵣ является точкой пересечения касательных (k) в точках Xᵢ и Xᵣ (i≠j, i, j=1, 2, 3, 4). Тогда у диагоналей четырехугольников X₁X₂X₃X₄, X₁₂X₂₃X₃₄X₁₄ общая точка пересечения.

Доказательство. Пусть P=(X₁X₃)∩(X₂X₄), Q=(X₁X₂)∩(X₃X₄) и R=(X₁X₄)∩(X₂X₃) (рис. 8). Но X₁X₂ и X₃X₄ являются секущими окружностями (k), проходящими через точку O, поэтому точки пересечения X₁₂ и X₃₄ пар касательных к (k) в точках(X₁, X₂) и(X₃, X₄) будут находиться на поляре PR точки Q. По аналогии установливается, что точки X₂₃ и X₁₄ лежат на поляре PQ точки R, следствие чего (X₁₄X₂₃)∩(X₁₂X₃₄)=(PR)∩(PQ)=P.

Пример 5. На окружности данной путь точек: U, V, A, B, C. Построены три пары точек: M=(UA)∩(VB) и M₁=(UB)∩(VA), N=(UB)∩(VC) и N₁=(UC)∩(VB), P=(UC)∩(VA) и P₁=(UA)∩(VC). Тогда прямые MM₁, MN₁ и PP₁ имеют общую точку или параллельны («Математика в школе», 1982, № 2, задача 2480).

Доказательство. Пусть K=(MM₁)∩(NN₁) и K₁=(MM₁)∩(PP₁). Четыреугольники ABVU и BCVU вписаны в(k) (рис. 9), поэтому поляра точки K проходит через точки пересечения пар прямых UV, AB и UV, BC, то есть поляра K является прямой UV. По аналогии четырехугольники ABVU и ACVU вписаны в(k), поэтому поляра точки K₁ проходит через точки пересечения пар прямых UV, AB и UV, AC, то есть поляра K₁ — это прямая UV. Точки K и K₁ имеют одну и ту же поляру, поэтому K≡K₁. Если прямые MM₁ и MN₁ параллельны (их точка пересечения K — «бесконечно удаленная» точка), то тогда UV — диаметр окружности (k), поэтому PP₁∩MN₁.

Задания

1. Данные окружности (k) и прямая p. Построена окружность (k₁) с центром O₁∈p и радиусом, равным длине касательной от O₁ к (k), пересекающей (k) в точках P и Q. Доказите, что когда O₁ описывает p, хорошо PQ параллельны или проходит через постоянную точку.

2. Окружности k₁(O₁; r₁) и k₂(O₂; r₂) пересекаются в точках A и B так, что ⊥AO₂=⊥BO₂=90°. Построена окружность с центром O∈AB и радиусом, равным отрезку касательной от O к одной из окружностей (k₁) и (k₂), пересекающей (k₁) и (k₂) соответственно в точках P₁, Q₁ и P₂, Q₂. Доказите, что хорошо P₁Q₁ и P₂Q₂ проходят через точки O₂ и Q₁.