25
Об одном способе задания окружности
И. Б. ТАБОВ (НРВ)
Как известно, окружность определяется как геометрическое место точек, одинаково удаленных от фиксированной точки O. Но существует и много других способов задания окружности. Мы рассмотрим здесь один из них.
Пусть P — точка, l — исходящий из нее луч. Отметим на луче m, также исходящем из точки P и образующем с лучом l острый или прямой угол φ, точку M, находящуюся от P на расстоянии a cos φ, где a — фиксированное положительное число (рис. 1).
Теорема. При изменении угла φ в промежутке от —π/2 до π/2 точки M составляют окружность диаметра a, проходящую через точку P и симметрично относительно луча l.
(So знаком «плюс» мы откладываем углы в направлении против часовой стрелки, so знаком «минус» — в направлении по часовой стрелке.)
Доказательство. Пусть R — точка нашей окружности, диаметрально противоположная точке P, и пусть M — произвольная точка
нашей окружности (рис. 2). Тогда ∠PMR=π/2, и значит,
PM=PR · cos (∠MPR)=a cos φ.
(Случай M=R (φ=0) и M=P (φ=±π/2) требует, строго говоря, отдельного рассмотрения, которое мы оставляем читателю.) Таким образом, все точки окружности принадлежат нашему геометрическому месту, а так как окружность пересекает каждой луч m, то никаких других точек расматриваемое геометрическое место не содержит. Теорема доказана.
Заметим, что если в описании геометрического места выражение a cos φ заменить выражением a cos (φ+δ) (и, конечно, условие, что угол φ — острый или прямой, заменить условием, что cos (φ+δ)≥0), мы получим окружность диаметра a, проходящую через точку P и симметрично относительно луча, составляющего с l угол δ (рис. 3).
Наконец, если вместо выражения a cos φ написать выражение a sin φ (и условие sin φ≥0), то мы получим окружность диаметра a, касаощую луча l в точке P (рис. 4).
Продемонстрируем полезность нашей наблюдания на решении одной нестандартной задачи.
Задача 1. Дан равноведренный прямогольный треугольник A₀A₁A₂ с прямым углом при вершине A₀. Для произвольной точки C на описанной вокруг треугольника A₀A₁A₂ окружности отметим на луче A₀C такую точку M, что
A₀M=A₁C+A₂C-A₀C.
Найдите геометрическое место точек M.
26
Решение. Приимем диаметр нашей окружности за 1 и обозначим через φ угол CA₀O, где O — центр окружности. Тогда, очевидно (рис. 5),
A₀C=cos φ,
A₁C=|sin (φ+π/4)|,
A₂C=|sin (φ-π/4)|.
Рассмотрим три случая.
- -π/4≤φ≤π/4. Тогда
A₀M=sin (φ+π/4)−sin (φ−π/4)−cos φ=√2cos φ−cos φ=(\sqrt{2}-1)cos φ.
Таким образом, соответствующая часть геометрического места будет дугоой окружности диаметра √2−1, проходящей через точку A₀ и симметричной относительной луча A₀O (рис. 5). Поскольку угол φ пробегает промежуток [−π/4; π/4] длин π/2 (а не π, как выше), мы получаем, что эта дуга равна получружности диаметра √2−1 (на рисунке 5 она выделена красным цветом).
- π/4<φ<π/2. Тогда
A₀M=sin (φ+π/4)+sin (φ−π/4)−cos φ=√2sin φ−cos φ=√3(√2/3sin φ−√1/3cos φ)=√3cos (φ+δ),
где δ=arccos(−√1/3). Таким образом, соответствующая этим значением φ часть геометрического места будет дугоой окружности диаметра √3, проходящей через точку A₀ и симметричной относительной луча A₀O.
Окончательный ответ к задаче 1 изображен на рисунке 7.
Задание 2. Дан многоугольник A₀A₁A₂……Aₙ, вписанный в окружность c. Для произвольной точки C окружности c отметим на луче A₀C такую точку M, что
A₀M=|x₀·A₀C+x₁·A₁C+…+xₙ·AₙC|,
где x₀, x₁,…, xₙ — некоторые числа.
Найдите множество, которое описывает точка M, когда C пробегает окружность c.
Задание 3 (это — задание M853 из «Задачника «Кванта», см. «Квант», 1984, № 3). Квадрат ABCD врачается вокруг своего неподвижного центра. Найдите множество, которое описывает середина отрезка PQ, где P — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на неподвижную прямую l, a Q — середина стороны AB.