Задачи

27

Задания

1. Решите в целях числа уравнения
   $$xy + 3x - 5y = -3.$$

2. Все точки некоторой окружности произвольным образом окрашены в два цвета. Докажите, что найдется равноведенный треугольник с однозветными вершинами, вписанный в эту окружность.

3. К сумме цифр двухначного числа $A$ прибавили квадрат этой суммы и получили число $A$. Найдите, чему равно $A$.

4. Пусть $CM$ — медиана треугольника $ABC$. Известно, что $\angle CAB + \angle MCB = 90^\circ$. Докажите, что треугольник $ABC$ — прямогольный или равноведный.

5. На окружности радиуса 10 расположены несколько непересекающихся дуг общей длины 32. Докажите, что для любой прямой найдется хорда окружности, параллельная этой прямой, концы которой принадлежат двум таким дугам.

Эти задания нам предложили $A$. П. Савин и болгарские авторы $K$. Коларов, И. Тонов, С. Савчев, И. Проданов.