Ảo tưởng và ảo ảnh không gian

15

HÌNH ẢNH KHÔNG GIAN
VÀ ảo ảnh
Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
A.D.CHERNIN

Các nguồn nghiên cứu vũ trụ, được gọi là chuẩn tinh, đã được phát hiện cách đây một phần tư thế kỷ, vào năm 1963. Nhưng bản chất của chúng vẫn chưa được hiểu đầy đủ. Những điều ngạc nhiên mà chúng mang lại cho các nhà vật lý và thiên văn học là không có hồi kết. Gần đây, những hiện tượng đáng ngạc nhiên chưa từng được quan sát thấy trên bầu trời đã được phát hiện: hình ảnh nhân đôi và chuyển động với tốc độ siêu sáng.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ không đề cập đến lịch sử khám phá các quasar, các giả thuyết và lý thuyết được đưa ra để giải thích các đặc tính của chúng.*) Chúng tôi sẽ chỉ cung cấp thông tin chung nhất về các quasar, sau đó thảo luận chi tiết về ảo ảnh và ảo ảnh trong thế giới quasar và cách hiểu chúng.

*) Bạn có thể đọc về điều này trong cuốn sách “Sao và Vật lý” của A.D. Chernin, do nhà xuất bản Nauka xuất bản năm 1984 trong bộ “Viblotechka «Kvant»” (số 38). (Ghi chú của biên tập viên)

16

Nguồn phát mạnh nhất trong vũ trụ

Mỗi chuẩn tinh là một “chiếc đèn lồng” sáng chói không chỉ tỏa sáng trong phạm vi quang học khả kiến ​​của sóng điện từ mà còn trong tất cả các phạm vi khác - từ sóng vô tuyến đến tia gamma. Kích thước của vùng phát xạ có thể so sánh với kích thước của Hệ Mặt Trời. Nhưng trong Hệ Mặt trời chỉ có một ngôi sao - Mặt trời và một chuẩn tinh có cùng thể tích chứa một nguồn năng lượng mạnh gấp hàng nghìn lần toàn bộ Thiên hà với hàng tỷ ngôi sao của nó. Máy phát điện này hoạt động như thế nào? Đây là câu hỏi quan trọng nhất trong vật lý của chuẩn tinh, mà trên đó người ta vẫn có thể tìm thấy đáp số.

Các chuẩn tinh khác nhau về dữ liệu của Vũ trụ, nơi mà cả các ngôi sao và toàn bộ thiên hà đều không thể được làm phẳng ngay cả với sự trợ giúp của các kính thiên văn lớn nhất. Chuẩn tinh xa nhất hiện nay được biết đến nằm cách chúng ta 13 tỷ năm ánh sáng. Điều này có nghĩa là ánh sáng từ nó phải mất 13 tỷ năm mới đến được với chúng ta và do đó, chúng ta nhìn thấy nó như 13 tỷ năm trước. Vào thời điểm đó, cả Trái đất và Mặt trời đều chưa tồn tại (theo ước tính hiện đại, tuổi của Hệ Mặt trời là khoảng 5 tỷ năm).

Khoảng cách đến các chuẩn tinh và các thiên thể vũ trụ xa xôi khác được đánh giá bằng quang phổ bức xạ của chúng. Trong quang phổ của quasar, có thể nhìn thấy các vạch phát xạ của các nguyên tử thông thường - chẳng hạn như hydro, oxy, carbon, v.v. - nhưng chúng đều bị dịch chuyển về phía đầu đỏ của quang phổ, nghĩa là trong vùng có bước sóng dài. Sự dịch chuyển này - sự dịch chuyển đỏ nổi tiếng - là do các nguồn bức xạ đang di chuyển ra xa chúng ta. Bản thân phần mở rộng là biểu hiện của sự phân bố chung của Vũ trụ. Theo các định luật vũ trụ học, một chuẩn tinh hoặc thiên hà càng ở xa chúng ta thì tốc độ thoát càng lớn.

Nếu một nguồn sáng phát ra sóng có chu kỳ $T_0$, đồng thời chuyển động tương đối so với chúng ta với tốc độ $v$ thì sóng ánh sáng mà chúng ta nhìn thấy sẽ có chu kỳ

$$T = T_0 \frac{1 - \frac{v}{c} \cos \vartheta}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}.$$ (1)

Ở đây $c$ là tốc độ ánh sáng, $\vartheta$ là góc giữa hướng của tốc độ và đường ngắm (nguyên tố kết nối chúng ta và nguồn; khi nguồn di chuyển thẳng về phía chúng ta, $\vartheta = 0$, khi đường thẳng cách xa chúng ta - $\vartheta = \pi$). Đối với các chuẩn tinh ở xa nhất, chu kỳ $T$ dài hơn chu kỳ $T_0$ 4-5 lần. Sự thay đổi về chu kỳ, cùng với nó là tần số và bước sóng của ánh sáng do chuyển động tương đối của nguồn và máy thu, được gọi là hiệu ứng Doppler. Nó tạo ra sự dịch chuyển đỏ trong quang phổ của các thiên hà và chuẩn tinh đang giãn nở.

Hiện nay có hơn 2.500 quasar đã được biết đến. Chúng nằm rải rác trên thiên cầu ít nhiều đều nhau. Trung bình, khoảng cách giữa chúng, nếu bạn thay đổi nó dọc theo một vòng cung trên bầu trời, là vài độ (để rõ ràng, giả sử rằng đường kính góc của Lunya và Mặt trời là khoảng 0,5 độ).

Nhưng hai chuẩn tinh rất gần nhau đã được biết đến từ lâu, chúng cũng giống nhau đến mức chúng được gọi là chuẩn tinh song sinh. Chúng chỉ cách nhau sáu cung giây, nhỏ hơn hàng nghìn lần so với khoảng cách trung bình giữa các chuẩn tinh; độ sáng của chúng thực tế là như nhau; quang phổ của các chuẩn tinh này là như nhau - trong trường hợp chung, có thể nhìn thấy các vạch phát xạ giống nhau với cùng cường độ. Màu đỏ

17

Sự pha trộn trong quang phổ là như nhau $T/T_0=2,4$. Đây là một số tiền khá đáng kể. Nó tương ứng với tốc độ loại bỏ 0,7 giây và khoảng cách với chúng ta là 7 tỷ năm ánh sáng.

Sự giống nhau đáng kinh ngạc của các quasar đã làm cho các actrom trở nên quen thuộc hơn rất nhiều. Và do đó, người ta đồng ý rằng đây thực chất không phải là hai vật thể, mà là hai hình ảnh của cùng một vật thể. Nhưng làm thế nào một hình ảnh nhân đôi như vậy lại có thể xuất hiện trên thiên đường?

Thấu kính trọng lực

Các tia, như đã biết, truyền thẳng nếu không có sự điền trước. Môi trường không gian rất hiếm nên thực tế nó không gây ra hiện tượng lấp đầy trước. Tuy nhiên, đường đi của ánh sáng có thể bị bẻ cong. Độ cong như vậy được tạo ra bởi trường hấp dẫn của các thiên thể.

Không có gì đặc biệt đáng ngạc nhiên về điều này. Ngay cả trong lý thuyết hấp dẫn của Newton, người ta cũng thừa nhận rằng một tia sáng, được coi như một dòng hạt - các tiểu thể ánh sáng chuyển động với tốc độ ánh sáng, sẽ lệch khỏi đường thẳng khi nó đi gần đến lực hấp dẫn của một vật thể. Các hạt ánh sáng, giống như mọi hạt và vật thể của Vũ trụ, chịu lực hút đối với một vật thể hấp dẫn.

Những cân nhắc về sự bẻ cong của tia sáng bởi trường hấp dẫn vẫn có giá trị trong lý thuyết tương đối tính về lực hấp dẫn, được gọi là lý thuyết tương đối tổng quát. Theo lý thuyết này, góc lệch của chùm tia truyền ở khoảng cách tối thiểu $r$ so với vật có khối lượng $M$ bằng (xem hình 1)

$$\alpha = \frac{4GM}{c^2r}.$$ (2)

Theo gợi ý của A. Einstein, những nỗ lực đầu tiên nhằm quan sát hiệu ứng này được thực hiện đối với ánh sáng sao đi qua gần Mặt trời. Các phép đo có thể được thực hiện trong thời gian nhật thực toàn phần, khi Mặt trăng che phủ đĩa mặt trời. Nhiều quan sát đã được thực hiện kể từ nhật thực toàn phần năm 1919, với kết quả hoàn toàn phù hợp với dự đoán của thuyết tương đối rộng.

Năm 1936, Einstein công bố một ghi chú ngắn trong đó ông dự đoán một hiệu ứng mới liên quan đến sự bẻ cong ánh sáng trong trường hấp dẫn - hiệu ứng thấu kính hấp dẫn. Nếu có một vật thể hấp dẫn trên đường đi của ánh sáng từ một nguồn ở xa nào đó đến vật thể được quan sát, thì trong những điều kiện nhất định, sẽ có nhiều ánh sáng đến vật thể được quan sát hơn là khi không có vật thể này. Trường hấp dẫn của một vật thể cũng có khả năng định hướng các tia được quan sát nếu không sẽ đi qua mismo được quan sát. Vật hấp dẫn, giống như một thấu kính thông thường, dường như tập trung các tia sáng.

Thấu kính hấp dẫn vừa giống vừa khác với thấu kính ánh sáng thông thường. Trong bản thân thấu kính, độ lệch của chùm tia càng ít thì càng gần tâm thấu kính. Do đó, tại một số điểm nằm trên trục của thấu kính - tại tiêu điểm của nó - không chỉ tia nằm dọc theo trục này mà tất cả các tia đi qua thấu kính đều đi đến tiêu điểm của nó. Trong trường của trọng tâm, bức tranh lại khác: đường đi của nó càng gần tâm thì độ lệch của chùm tia càng lớn. Điều này có thể được nhìn thấy từ công thức (2).

Hình 1. Sự lệch hướng của tia sáng trong trường khối lượng hấp dẫn.

18

Một đường hấp dẫn không chỉ có thể đóng khung một hình ảnh mà còn tạo ra hai hình ảnh của cùng một vật thể. Hãy xem điều này xảy ra như thế nào.

hình 2 thể hiện đường đi của các tia truyền từ nguồn (điểm $S$) đến điểm quan sát được (điểm $O$) của tâm hấp dẫn (điểm $D$). Chùm tia phát ra từ nguồn truyền ở khoảng cách tối thiểu $r=DC$ tính từ tâm hấp dẫn, bị nó làm lệch một góc $\alpha$ và đến điểm quan sát. (Để đơn giản, một ví dụ đơn giản được vẽ cùng với đường cong tròn tại điểm $C$ của sự hợp nhất đang quan sát.) Hình ảnh được quan sát của nguồn không phải ở điểm $S$ (theo hướng $OS$), mà theo hướng của tia $OC$ - ví dụ $OS'$. (Các góc $\alpha$, $\beta$ và $\varphi$ tại hình nên được coi là nhỏ.)

Các đại lượng có liên hệ với nhau như thế nào, các vị trí tương đối đã cho của nguồn, vật hấp dẫn và người quan sát? Từ hình 2 rõ ràng là

$$AS' = AS + SS'.$$

Vì vị trí tương đối của nguồn, vật hấp dẫn và người quan sát? Từ hình 2 rõ ràng là

$$AS' = L\beta, \quad AS = L\varphi, \quad SS' = l\alpha.$$

Thay thế ba biểu thức này vào đẳng thức đầu tiên, chúng ta nhận được:

$$L\beta = L\varphi + l\alpha.$$

Chúng ta hãy thay thế $r=DC = (L-l)\beta$ vào công thức (2) và tính đến điều này, viết lại sự tương ứng giữa khoảng cách và góc ở dạng

$$\beta^2 - \varphi\beta - \frac{l}{L} \frac{4GM}{c^2(L-l)} = 0.$$

Phương trình bậc hai này được gọi là phương trình thấu kính hấp dẫn tạo bởi tâm hấp dẫn.

Hãy xem xét khả năng lời giải của phương trình này. Trước hết, hãy xét trường hợp trọng tâm nằm hoàn toàn trên đường thẳng $OS$ (tức là góc $\varphi$ bằng 0). Khi đó phương trình lời giải có dạng

$$\beta = \beta_0 = \pm 2 \left( \frac{l}{L} \frac{GM}{c^2(L-l)} \right)^{1/2}.$$

Bức ảnh có sự đối xứng trục rất indo, do đó hình ảnh quan sát được không phải là điểm $S'$, mà là một vòng thu được bằng cách xoay điểm này quanh trục đối xứng - đường thẳng $OS$ (hoặc đường thẳng $OA$ trùng với nó tại $\varphi=0$); bán kính góc của vòng là $\beta = \beta_0$.

Nếu trọng tâm không nằm trên đường thẳng nối nguồn và điểm quan sát thì trong ảnh không có sự đối xứng trục. Phương trình (3) tại $\varphi \neq 0$ có hai lời giải:

$$\beta_{1,2} = \frac{1}{2} \varphi \pm \sqrt{\frac{1}{4} \varphi^2 + \frac{l}{L} \frac{4GM}{c^2(L-l)}}.$$

Điều này có nghĩa là thấu kính tạo ra hai hình ảnh, hướng của chúng được xác định bởi các góc $\beta_1$ và $\beta_2$ (góc đầu tiên là dương và góc thứ hai là âm). Đường đi của các tia tương ứng được hiển thị trong hình 3. Khoảng cách tối thiểu từ tâm thu hút là khác nhau đối với hai lời giải:

$$r_1 = (L-l)\beta_1, \quad r_2 = (L-l)\beta_2.$$

Rõ ràng, góc lệch của chúng cũng khác nhau.

Giả thuyết về các quasar song sinh là hai hình ảnh của một quasar $B_1$

Hình 3. Làm thế nào để có được hai hình ảnh của cùng một nguồn.

19

giả định sự sắp xếp lẫn nhau của nguồn sáng, trung tâm hấp dẫn và được quan sát thấy, như thể hiện trong hình 3. Bằng chứng trực tiếp của nó có thể là việc phát hiện ra chính trung tâm hấp dẫn ở đúng vị trí trên thiên cầu - giữa hai hình ảnh của chuẩn tinh, nhưng không ở những khoảng cách hoàn toàn bằng nhau với chúng. Và đây là một thành công thực sự để làm. Trung tâm hấp dẫn hóa ra là một thiên hà có độ sáng mờ nhạt, nằm giữa các quasar gần đó và hơn nữa, có phần gần một trong số chúng hơn so với cái kia. Khoảng cách tới nó hóa ra xấp xỉ bằng một nửa khoảng cách tới chuẩn tinh. Các nghiên cứu quan sát sâu hơn cho thấy bức tranh thực tế có phần phức tạp hơn. Họ phát hiện ra rằng một trong những hình ảnh của cặp song sinh thực chất là hai hình ảnh rất gần nhau được ghép lại trong những bức ảnh trước đó. Không khó để chứng minh rằng ảnh hấp dẫn có thể xuất hiện trong trường hợp trường hấp dẫn lệch được tạo ra không phải bởi một tâm chính xác mà bởi một vật thể thể tích nằm trên đường ngắm. Thiên hà đóng vai trò như một cơ thể như vậy. Các tia sáng từ chuẩn tinh có thể truyền không chỉ ở rìa thiên hà mà còn xuyên qua nó. Khối lượng hấp dẫn, yếu tố quyết định độ lệch của các tia, nhỏ hơn đối với ánh sáng truyền gần tâm thiên hà và lớn hơn đối với ánh sáng truyền gần rìa của nó. Góc lệch phụ thuộc vào sự phân bố khối lượng trong thiên hà. Phương trình thấu kính bây giờ sẽ phức tạp hơn phương trình hình vuông, và điều này tạo ra sự đa dạng lớn về các biến thể có thể có của hình ảnh nhìn thấy được.

Một số ví dụ về việc nhân đôi và nhân ba hình ảnh của các thiên thể vũ trụ hiện đã được biết đến. Trong mọi trường hợp chúng ta đang nói về chuẩn tinh. Những ảo ảnh này chắc chắn tạo ra hiệu ứng của thấu kính hấp dẫn.

Tại sao thấu kính hấp dẫn được các quasar phát hiện cụ thể và không ảnh hưởng đến ánh sáng của các ngôi sao hoặc thiên hà? Thực tế là các quasar, như chúng ta đã nói, có thể nhìn thấy từ xa, trung bình ở khoảng cách xa hơn nhiều so với các thiên hà, chưa kể các ngôi sao. Do đó, xác suất ánh sáng từ chúng gặp nhau trên đường tới vật thể có khối lượng lớn (nhưng có độ sáng yếu) được quan sát là khá cao. Ngoài ra, chuẩn tinh có kích thước biểu kiến ​​rất nhỏ, gần như là một nguồn chính xác và do đó, một số hình ảnh riêng biệt có thể xuất hiện từ nó, sẽ không bị mờ và hợp nhất, như trường hợp đối với các nguồn mở rộng - các thiên hà.

Nhanh hơn ánh sáng?

Chuẩn tinh đầu tiên được phát hiện là một nguồn vô tuyến, được liệt kê ở số 273 trong danh mục Cambridge thứ 3*). Người ta có thể nói đây là một chuẩn tinh mẫu mực; nó có tất cả các đặc tính điển hình của chuẩn tinh và cũng thuận tiện cho việc quan sát. Ở chính trung tâm của nó, khu vực phân bố hình ảnh, một số quá trình bạo lực liên tục diễn ra, biểu hiện ở sự thay đổi độ sáng. Hơn nữa, thỉnh thoảng những đám mây phát sáng và những tia vật chất xuất hiện từ khu vực này. Tuy nhiên, sự xuất hiện của một máy bay phản lực “ngay trước mắt mọi người” sẽ tăng kích thước và điểm sáng ở phần cuối của nó nhanh chóng di chuyển ra khỏi trung tâm của chuẩn tinh. Trong bốn năm, đầu sáng quan sát được của tia đã di chuyển ra xa tâm đến khoảng cách 20 năm ánh sáng. Anh ấy đang di chuyển với tốc độ bao nhiêu? Mọi chuyện đang tiến triển tốt đẹp

*) Đây là danh sách chung về các vật thể được biên soạn bởi các nhà thiên văn vô tuyến tại Đại học Cambridge ở Anh.

20

thời gian, chúng ta thấy rằng tốc độ gấp năm lần tốc độ ánh sáng.

Thật dễ dàng để tưởng tượng các nhà thiên văn học được giao nhiệm vụ như thế nào. Suy cho cùng, theo lý thuyết khoa học tương đối, không vật thể nào có thể chuyển động với tốc độ vượt quá tốc độ ánh sáng trong chân không. Đây là một trong những định luật quan trọng nhất của vật lý. Sau sự ngạc nhiên đầu tiên và thậm chí là bối rối lời giải nghịch lý này - ít nhất là về nguyên tắc - đã được tìm thấy. Tốc độ siêu sáng hóa ra chỉ là ảo ảnh quang học vũ trụ.

Đây là ví dụ đơn giản nhất cho thấy ảo giác về các chuyển động siêu sáng phát sinh như thế nào.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có một “đèn pin” di chuyển về phía chúng ta, nhưng không chính xác dọc theo đường ngắm mà ở một góc nhỏ so với nó (hình 4). Đầu tiên, đèn pin của chúng tôi tắt, sau đó hai lần - tại các điểm $S_1$ và $S_2$ - nó bật và gửi hai tín hiệu ánh sáng về phía chúng tôi. Trong khoảng thời gian giữa hai lần vùi của nó, nguồn sáng đã truyền một đường $S_1S_2$ trên hình của chúng ta. Độ dịch chuyển mà chúng ta nhìn thấy nhỏ hơn: nó thể hiện hình chiếu $S_1S'$ của đường đi này lên cái được gọi là mặt phẳng ảnh (đã cố định nguồn tại điểm $S_1$, được quan sát từ điểm $O$, chuyển động tiếp theo của nguồn sẽ được chiếu lên một mặt phẳng vuông góc với đường ngắm $OS_1$ - đây là mặt phẳng ảnh). Làm thế nào các nhà thiên văn học đạt được ước tính tốc độ của họ? Chuyển động nhìn thấy được phân chia

Hình 4. Một ví dụ về chuyển động siêu sáng.

(đoạn $S_1S'$) trong khoảng thời gian trôi qua giữa lúc nhận được tín hiệu thứ nhất và tín hiệu thứ hai. Và họ mất chính xác thời gian giữa các lần tiếp nhận chứ không phải giữa các lần phát tín hiệu. Nhưng đây là những khoảng thời gian khác nhau! Điều làm cho chúng khác biệt chính là hiệu ứng Doppler mà chúng tôi đã đề cập.

Thật vậy, sự tương ứng (1) giữa kỹ thuật sóng ánh sáng $T$ và $T_0$ thực ra có tính chất tổng quát hơn. Nó được áp dụng không chỉ trong trường hợp các quá trình định kỳ. Chu kỳ $T_0$ là khoảng thời gian, chẳng hạn, giữa hai cực đại liền kề trong sóng phát ra; và $T$ là khoảng thời gian giữa cùng một cực đại, khi chúng được người quan sát ghi lại lần lượt. Tất nhiên, mỗi cực đại có thể được coi là một “tín hiệu”, do đó $T_0$ là khoảng thời gian giữa hai lần phát tín hiệu và $T$ giữa việc thu của chúng.

Khi nguồn sáng di chuyển về phía chúng ta, $T$ nhỏ hơn $T_0$. Điều này có nghĩa là trong ví dụ của chúng ta với đèn pin, khoảng cách giữa mức tiếp nhận sóng ánh sáng nhỏ hơn; từ điểm $O$, chuyển động tiếp theo của nguồn sẽ được chiếu lên một mặt phẳng vuông góc với đường ngắm $OS_1$ - đây là mặt phẳng hình ảnh). Làm thế nào các nhà thiên văn học đạt được ước tính tốc độ của họ? Chuyển động nhìn thấy được phân chia

Có thể nói, khi tính toán tốc độ chuyển động biểu kiến, chúng ta sẽ thua trên đường đi (đoạn $S_1S'$ (xem hình 4) nhỏ hơn đường đi $S_1S_2$), nhưng điều này có thể đạt được rất nhiều về mặt thời gian. Do đó, thu được tỷ lệ lớn giữa chuyển động nhìn thấy được theo thời gian giữa các lần tiếp nhận sóng ánh sáng; Tỷ lệ này quyết định tốc độ chuyển động của nguồn sáng. Tốc độ thực hiện “rõ ràng” như vậy có thể lớn hơn tốc độ ánh sáng. Nhưng việc nhận ra tốc độ chuyển động bằng hình chiếu tương đối của đường đi $S_1S_2$ với khoảng thời gian giữa các lần phát - chứ không phải các lần tiếp nhận! - tín hiệu. Nó có thể gần bằng tốc độ ánh sáng, nhưng

*) Đối với ai có thể tính được giới hạn thì không khó để chứng minh rằng $\frac{T}{T_0} \rightarrow 0$ cho $\frac{v}{c} \rightarrow 1$.

21

sẽ không bao giờ vượt quá nó. Hóa ra là bạn không thể tính tốc độ bằng cách chia quãng đường đã đi “ở đó” cho khoảng thời gian đo được “ở đây”. Nhưng đây chính xác là những gì thuyết tương đối dạy. Và hiệu ứng Doppler, cái mang đến cho chúng ta nghịch lý lời giải, là hệ quả trực tiếp của thuyết tương đối.

Ảo tưởng được sinh ra như thế nào

Điều quan trọng nhất trong thuyết tương đối là phát biểu rằng ánh sáng trong tánh không lan truyền với một tốc độ hữu hạn nhất định, tốc độ này không phụ thuộc vào việc nguồn sáng chuyển động so với chúng ta hay tích tụ lại. Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng thực tế này để thu được một cách mơ hồ các công thức mô tả ví dụ đèn pin chuyển động của chúng ta. (Và chúng ta chỉ cần nói thêm rằng chúng ta sẽ nói về sự lan truyền của ánh sáng trong hư không khi không có trường hấp dẫn mạnh trên đường đi của nó. Chúng ta đã nói rằng trường hấp dẫn có khả năng bẻ cong đường đi của ánh sáng; chúng cũng có khả năng thay đổi tốc độ của nó. Nhưng nếu không có vật thể rất lớn liền kề giữa chúng ta và nguồn, thì tốc độ ánh sáng chỉ là $c$; vì vậy chúng ta sẽ giả sử.) Hãy để tín hiệu đầu tiên trong hai tín hiệu được phát ra bởi một đèn pin vào một thời điểm nào đó, mà chúng ta sẽ chọn làm điểm bắt đầu ghi thời gian ($t=0$). Khoảng cách từ chúng ta (từ người quan sát) đến nguồn tại thời điểm này là $R$; Điều này có nghĩa là chúng tôi sẽ nhận được tín hiệu vào thời điểm $t_0=R/c$.

Hơn nữa, tín hiệu thứ hai được phát ra tại thời điểm $t_1=s/v$, khi vật chuyển động thẳng với tốc độ $v$, đã vượt qua một khoảng cách $s=S_1S_2$ (xem hình 4). Tại thời điểm $t_1$ khoảng cách đến nguồn là

$$R_1 = \frac{R - s \cos \vartheta}{\cos \alpha} \approx R - s \cos \vartheta$$

(chúng tôi đã dạy rằng góc $\alpha$ rất nhỏ, vì khoảng cách $R$ và $R_1$ lớn hơn nhiều so với đoạn $s$ và $\cos \alpha \approx 1$). Tín hiệu thứ hai đến với chúng tôi kịp thời

$$\frac{R_1}{c} = \frac{1}{c} (R - s \cos \vartheta)$$

và sẽ được chấp nhận vào lúc này

$$t_2 = t_1 + \frac{R_1}{c} = \frac{s}{v} + \frac{R}{c} - \frac{s}{c} \cos \vartheta.$$

Thời gian trôi qua từ khi nhận được tín hiệu đầu tiên đến khi nhận được tín hiệu thứ hai

$$\Delta t = t_2 - t_0 = \frac{s}{v} (1 - \frac{v}{c} \cos \vartheta).$$

Từ đây chúng ta có thể biểu thị quãng đường $s$ mà đèn pin đi được theo khoảng thời gian $\Delta t$, tốc độ chuyển động $v$ và góc $\vartheta$:

$$s = \frac{v \cdot \Delta t}{1 - \frac{v}{c} \cos \vartheta}.$$

Chuyển động biểu kiến ​​của cơ thể $\tilde{s}$ được thể hiện bằng hình chiếu của đoạn $s$ lên mặt phẳng hình ảnh:

$$\tilde{s} = s \sin \vartheta = \frac{v \sin \vartheta}{1 - \frac{v}{c} \cos \vartheta} \Delta t$$

(ở đây chúng tôi đã dạy lại rằng góc $\alpha$ rất nhỏ). Để tìm tốc độ “biểu kiến” $\tilde{s}$, bạn cần chia chuyển vị biểu kiến ​​$\tilde{s}$ cho khoảng thời gian $\Delta t$:

$$\tilde{v} = \frac{\tilde{s}}{\Delta t} = \frac{v \sin \vartheta}{1 - \frac{v}{c} \cos \vartheta}.$$

Giả sử rằng $v = 0,8$ $c$ và $\cos \vartheta = 0,8$; sau đó $\sin \vartheta = 0,6$ và $\tilde{v} = \frac{4}{3}$ $c$. Ở tốc độ chuyển động thực của nguồn cao hơn nhưng ở mức ánh sáng phụ, tốc độ chuyển động nhìn thấy được hóa ra là siêu tự do.

Bạn có thể kiểm tra (như được thực hiện để tìm cực trị của hàm số) rằng với tốc độ chuyển động cho trước của nguồn $v$ thì tốc độ biểu kiến