Bài toán M1116—M1120; F1128—F1132

30

Nhiệm vụ

M1116—M1120, F1128—F1132

M1116. Hình chữ nhật có diện tích a) 36 có thể gấp được tối đa bao nhiêu nút thắt giấy ca-rô; b) S có các cạnh theo đường lưới? (Các nút nằm bên trong và trên viền của hình chữ nhật được tính. Diện tích của ô được lấy là 1.)

M1117. Một hình tam giác tùy ý được đưa ra. Chứng minh rằng a) có thể dựng được ba đường tròn có tâm tại các đỉnh, tiếp xúc nhau theo từng cặp (tại các điểm K, L, M - xem hình 1);
b) nếu qua giữa mỗi cung KL, LM, MK nằm bên trong tam giác, vẽ một tiếp tuyến với nó thì tạo thành bốn hình tam giác, diện tích của một trong số đó (hình ở giữa) bằng tổng diện tích của ba hình còn lại.

A. A. Gorbachev

M1118. a) Chứng minh rằng phương trình $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2$ có vô số lời giải là số nguyên.
b) Có bao nhiêu lời giải sao cho z=1988?

S. G. Mamikonyan

M1119. Chúng ta hãy định nghĩa một ngôi sao $k$ là một hình trên mặt phẳng, gồm các tia $k$ có cùng gốc, chia mặt phẳng thành các góc $k$ bằng nhau (dọc theo $360^\circ/k$). Với mọi $k>2$ mệnh đề sau đây là đúng: với bất kỳ điểm $k$ nào của mặt phẳng ở vị trí tổng quát (ba trong số đó không nằm trên cùng một đường thẳng) đều tồn tại một sao $k$, mỗi góc $k$ của nó chứa chính xác một trong các điểm $k$ này?

M. Khovanov, học sinh lớp 10, Mátxcơva

M1120. a) Dãy số $a_0, a_1, a_2, \dots$ được cho bởi các quan hệ $a_0=0, a_n=P(a_{n-1}), n=1, 2, \dots$, trong đó $P(x)$ là đa thức có hệ số nguyên, $P(x)>0$ cho $x\geq 0$. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $m$ và $k$

$$\text{НОД}(a_m, a_k)=a_{\text{НОД}(m, k)}$$

b) Chứng minh mệnh đề tương tự cho dãy Fibonacci $a_0=0, a_1=1, a_2=1, a_3=2, \dots$ cho trước với điều kiện $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}, n=1, 2, \dots$.

V. F. Lev

F1128. Một vòng mỏng đồng nhất có khối lượng $M$ và bán kính $R$ kết thúc trên một bề mặt nằm ngang. Đường kính ngang của vòng là một ống nhẹ, nhẵn, trong đó đặt một quả bóng có khối lượng $m$, gắn vào vòng bằng hai lò xo có độ cứng $k$ mỗi lò xo (hình 2). Giữ cho vòng không chuyển động, quả bóng bị lệch sang trái một lượng $x$, sau đó hệ thống được tưởng tượng. Tìm gia tốc của tâm vòng tại thời điểm ban đầu. Không có sự trượt của vòng.

S. S. Krotov

31

F1129. Một cuộn dây có hình dạng giống như một cái bình hẹp (hình 3) được đặt trên một nam châm vĩnh cửu hình trụ gần cực của nó. Nếu cuộn dây được di chuyển sao cho nó thực hiện dao động điều hòa dọc theo trục $OO'$ với biên độ $A=1$ mm (nhỏ hơn nhiều so với kích thước của nam châm và cuộn dây) và tần số $f=1000$ Hz, thì một sức điện động cảm ứng sẽ được tạo ra trong đó. Phần thích hợp của đường viền dao động bằng $\omega_0$. Tần số tự nhiên sẽ là bao nhiêu nếu một điểm tự do có khối lượng $m$ và điện tích $q$ được đặt giữa các bản của tụ điện? Không có trọng lực. Hiệu ứng cạnh và sức mạnh của “hình ảnh tĩnh điện” được biến đổi.

D. A. Kuptsov

F1131. Việc xác định tốc độ gió trong cơn lốc xoáy bằng các thiết bị khí tượng thông thường là khó khăn (vì cơn lốc xoáy có kích thước nhỏ và di chuyển) và không an toàn. Người ta đề xuất thay đổi nó từ xa bằng cách sử dụng bộ tản nhiệt di động (vì có rất nhiều bụi và vật thể nhỏ bên trong cơn lốc xoáy nên nó phản xạ sóng vô tuyến). Radar phát ra sóng vô tuyến ở tần số $f_0=10^{10}$ Hz. Phổ của tín hiệu phản xạ từ cơn lốc xoáy được thể hiện ở hình 4 ($\Delta f=f-f_0$). Tìm tốc độ gió tối đa ở Smere.

D. A. Kuptsov

F1132. Gần đây người ta đã xác định rằng sự tuyệt chủng của các loài động vật trên Trái đất đặc biệt dữ dội trong những khoảng thời gian lặp lại định kỳ kéo dài $T=6,2$ triệu năm. Mô hình này được giải thích bằng một giả thuyết cho thấy sự tồn tại của các sao Nemesis, một vệ tinh của Mặt trời. Ngôi sao mờ nhạt và do đó vô hình này di chuyển theo quỹ đạo có tâm trong cái gọi là “Vành đai Oort”, nơi chứa nguồn cung cấp sao chổi (hình 5). Bằng cách làm xáo trộn chuyển động của sao chổi, Nemesis gây ra “mưa sao chổi” trên Trái đất, khoảng thời gian này gần như trùng khớp với thời gian Nemesis vẫn ở bên trong vành đai Oort.

Xác định bán trục lớn $a$ của quỹ đạo của Nemesis và chu kỳ quay của nó quanh Mặt trời, nếu điểm cận nhật của quỹ đạo được coi là ở khoảng cách 0,15a tính từ Mặt trời. Diện tích của hình elip là $S=\pi ab$, trong đó $a$ và $b$ là hình elip thu được.

V. E. Belonuchkin

(Tiếp theo trang 34)

Sửa đổi
Trong điều kiện bài toán M1115, 6) (xem «Kvant», số 7) thiếu điều kiện $m \geq n$.