Задачи М1116—М1120; Ф1128—Ф1132

30

Задчи

M1116—M1120, Ф1128—Ф1132

M1116. Какое наиболее число узлов клетчатой бумаги может содержать прямогольник площадью a) 36; b) S, стороны которого идут по линиям сетки? (Считаются узлы, лежащие внутри и на границе прямогольника. Площадь клетки принята за 1.)

M1117. Дан произвольный треугольник. Докажите, что a) можно построить три окружности с центрами в его вершинах, попарно касающейся друг друга (в точках K, L, M — см. рис. 1);
b) если через середину каждой дуги KL, LM, MK, лежащей внутри треугольника, проведи касательную к ней, то образуется четыре треугольника, площадь одного из которых (центрального) равна сумме площадей трех других.

A. A. Горбачев

M1118. a) Докажите, что уравнение $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2$ имеет бесконечную много решений в целых числах.
b) Сколько имеет таких решений, у которых z=1988?

C. Г. Мамиконян

M1119. Наозем $k$-звездой фигуру на плоскости, состоящую из $k$ лучей с общим началом, разбивающих плоскость на $k$ равных углов (по $360^\circ/k$). При каждих $k>2$ верно следует утверждение: для любых $k$ точек плоскости общего положения (никание три из которых не лежат на одной прямой) существует $k$-звезда, в каждом из $k$ углов которого содержитсяровно одна из этих $k$ точек?

M. Хованов, ученик 10 кл., Москва

M1120. a) Последовательность $a_0, a_1, a_2, \dots$ задана соотношениями $a_0=0, a_n=P(a_{n-1}), n=1, 2, \dots$, где $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, $P(x)>0$ при $x\geq 0$. Докажите, что для любых натуральных $m$ и $k$

$$\text{НОД}(a_m, a_k)=a_{\text{НОД}(m, k)}$$

b) Докажите аналогичное утверждение для последовательности Фибоначчи $a_0=0, a_1=1, a_2=1, a_3=2, \dots$, задаваемой условия $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}, n=1, 2, \dots$.

B. Ф. Лев

Ф1128. На горизонтальной поверхности поконтся однородный тонкий обруч массой $M$ и радиусом $R$. Горизонтальный диаметр обруча представляет собой легкую гладкую трубку, в которой помещен шарик массы $m$, прикрепленный к обручу двумя пружинами жесткостью $k$ каждой (рис. 2). Удерживая обруч неподвижным, шарик отклонил влево на величину $x$, после чего представили систему себе. Найти ускорение центра обруча в начальной момент времени. Просkalзывание обруча отсутствует.

C. С. Кротов

31

Ф1129. На цилиндрический постоянный магнит вблизи его полюса надета катушка, имеющая вид узкого колба (рис. 3). Если трасти катушки так, чтобы она совершала гармонические колбания вдоль оси $OO'$ с амплитудой $A=1$ мм (которая много меньше размеров магнита и катушки) и частотой $f=1000$ Гц, то в ней наводится ЭДС индуктивности. Собственная часть колбаний контур равна $\omega_0$. Какой будет собственная частота, если между пластинами конденсатора помещить свободную точку массой $m$, имеющую заряд $q$? Сила тяжесте отсутствует. Краевыми эффектами и силой «электростатического изображения» преобразуется.

Д. А. Купцов

Ф1131. Определить скорость ветра в смерее объчными meteorологическими приборами трудно (поскольку смерч неVELик по размеру и движется) и небезопасно. Предложено изменять ее издали с помощью портативного радиара (так как внутри смерча много пыли и мелких предметов, он отражает радиовольны). Радар излучает радиовольны на частоте $f_0=10^{10}$ Гц. Спектр отраженного от смерча сигнала приведен на рисунке 4 ($\Delta f=f-f_0$). Найти максимальный скорость ветра в смерее.

Д. А. Купцов

Ф1132. Недавно установлено, что вымирание видов животных на Земле идет особенно интенсивно в течение периодических повторяющихся промежутков времени длительного $T=6,2$ млн лет. Такая закономерность объясняется гипотезой, предполагающей существование звезд Немезиды, являющейся спутником Солнца. Эта слабая и потому невидимая звезда движется по орбите, положина которой расположена внутри так называемого «пояса Оорта», содержащого запас комет (рис. 5). Возмущая движение комет, Немезида вызывает на Земле «кометный дождь», продолжительность которой практически совпадает со временем пребывания Немезиды внутри пояса Оорта.

Определите большую полуось $a$ орбиты Немезиды и период ее обращения вокруг Солнца, если предполагается, что перигелий орбиты на расстоянии 0,15а от Солнца. Площадь эллипса $S=\pi ab$, где $a$ и $b$ — получися эллипса.

В. Е. Белонучкин

(Продолжение см. на с. 34)

Поправка
В условиях задачи M1115, 6) (см. «Квант», № 7) пропущено условие $m \geq n$.