Расчёт электрических цепей

58

Расчет электрических цепей

А. Р. ЗИЛЬБЕРМАН

Существует множество способов расчета электрических цепей, состоящих из батарей и резисторов. Практические любой из них (с простой переменной обозначений) годится и для цепей из батарей и конденсаторов. (А если вы уверенно обращаете с комплектными числами, то так же можно расчитывать любые схемы для переменного тока.) В этой статье будут разобраны два простых способа расчета цепей постоянного тока с резисторами и конденсаторами.

Первый способ годится для сравнительно простых цепей. Пусть нам дана схема, состоящая из батарейки и несколько резисторов. Для расчетов в ветях схемы мы вначале планомерно упрощаем схему, затем параллельно или последовательно соедининые резисторы их эквивалентами. После упрощения схемы до такой степени, что токи в ней найтилегко, мы проводим обратный процесс, находя при этом токи исходных элементов. Способ этот вам хорошо знаком еще с седымого класса.

Разберем несколько пример.

Задача 1. В схеме, изображенной на рисунке 1, найдите ток, текущий по перемычке AB.

Упростим схему, заменив параллельно соедининые резисторы 1 и 3, а также 2 и 4 их эквивалентами. Получилась простая цепь с общим сопротивлением

$$R = \frac{R_1 R_3}{R_1 + R_3} + \frac{R_2 R_4}{R_2 + R_4}$$

и общим током

$$I = \frac{U}{R} = \frac{U}{R_1 R_3 + R_2 R_4}.$$

Напряжение на резисторах 1 и 3 равны, значит, $I_1:I_3 = R_3:R_1$. Но $I_1 + I_3 = I$. Тогда

59

$$I_1 = I \frac{R_3}{R_1 + R_3}, \quad I_3 = I \frac{R_1}{R_1 + R_3}.$$
Аналогично
$$I_2 = I \frac{R_4}{R_2 + R_4}, \quad I_4 = I \frac{R_2}{R_2 + R_4}.$$
Теперь найдем ток через перемычку $AB$:
$$I_{AB} = I_1 - I_2 = \frac{U(R_2R_3 - R_1R_4)}{R_1R_3(R_2 + R_4) + R_2R_4(R_1 + R_3)}.$$
Из полученного выражения видно, что при условии $R_1:R_2=R_3:R_4$ ток через перемычку равен нулю. Это часто используется для точного измерения неизвестного сопротивления.
Рассмотренный метод хотя и прост, но очень громоздок. Кроме того, он не универсален — далеко не всякий схему удается так упростить. Например, если на рисунке 1 заменить перемычку резистором, в получившейся схеме не оказывается ни параллельно, ни последовательно соединительных resistоров.
Второй, более удобный, способ расчета основан на разумном выборе неизвестных для составляемых впоследствии уравнений.
Рассмотрим неразветвленный участок цепи, содержащий резistor и источник тока (рис. 2). Согласно закону сохранения энергии, ток на этом участке равен
$$I = \frac{\varphi_A - \varphi_B - \mathcal{E}}{R + r},$$
откуда видно, что для нахождения токов в каждой из ветвей достаточно знать потенциальы на ее концах (точнее — разности потенциальов). Точки соединения неразветвленных участков цепи называют узлами, отсюда и название способа — метод узловых потенциальов.
Итак, в качестве неизвестных величины выберем потенциальы узлов схемы. Удобно потенциаль одного из них — любого — положить равным





Нулю (тогда потенциальы остальных узлов — это напряжения, измененные относительно выбранного нами узла). Уравнения для определения узловых потенциальов записьюется для токов, которые в текущей и вытекают из них: сумма втекающих в узел токов равна сумме вытекающих. Если в схеме $N$ узлов, то неизвестных потенциальов оказывается на один меньше (напомним, что потенциаль одного из узлов мы задаили сами). Значит, нужно написать уравнения для токов всех узлов, кроме одного. (Если мы все-tаки написем уравнения для всех узлов, то быстро убедимся, что одно из них — любое! — лишнее, его можно получить, комбинируя остальные уравнения.)

В качестве примера разберем такую задачу.
Задание 2. Найдите ток через напряжение $R$, подключенную к параллельно соединительным батареем с ЭДС $\mathcal{E}_1$ и $\mathcal{E}_2$ и внутренними сопротивлениями $r_1$ и $r_2$ (рис. 3).
Перерисумем схему так, как изобравено на рисунке 4, и зададим $\varphi_A = 0$. Теперь достаточно задаить потенциаль точки $B$, чтобы выразить все токи в схеме. Для узла $B$:
$$\frac{\mathcal{E}_1 - \varphi_B}{r_1} + \frac{\mathcal{E}_2 - \varphi_B}{r_2} = \frac{\varphi_B}{R},$$
откуда потенциаль точки $B$
$$\varphi_B = \frac{\mathcal{E}_1/r_1 + \mathcal{E}_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2 + 1/R},$$
и ток напряжения
$$I = \frac{\varphi_B}{R} = \frac{\mathcal{E}_1 r_2 + \mathcal{E}_2 r_1}{R(r_1 + r_2) + r_1 r_2}.$$

Иогда вопрос в задаче формулируют иначе: можно ли параллельно соединительные батареи ($\mathcal{E}_1$, $r_1$ и $\mathcal{E}_2$, $r_2$) заменить эквивалентной батареей и каковы должны быть (если

60

заменить можно!) ее ЭДС и внутреннее сопротивление? Для ответа на эти вопросы нужно попытаться выражение, полученное для тока напряжки, приведи к виду

$$I = \frac{\mathcal{E}_{\text{экв}}}{R + r_{\text{экв}}}.$$

Если получится, то это и будет ответ на оба вопросы. В нашем случае все просто:

$$I = \frac{(\mathcal{E}_1 r_2 + \mathcal{E}_2 r_1) / (r_1 + r_2)}{R + r_1 r_2 / (r_1 + r_2)},$$

$$\mathcal{E}_{\text{экв}} = \frac{\mathcal{E}_1 r_2 + \mathcal{E}_2 r_1}{r_1 + r_2}, \quad r_{\text{экв}} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}.$$

(Отметим, что любую систему из батараек и резисторов, подключенную к внешней цепи двумя проводами, можно заменить эквивалентной батараей. Доказательство этого положения выходит за пределы школьной программы.)

Решим теперь более сложную задачу.

Задача 3. В схеме, изображенной на рисунке 5, найдите сопротивление между точками A и B.

Проще всего рассуждать так: подключит к этим точкам батараю с заданным напряжением U, найдем ток через батараю и рассчитаем общее сопротивление по формуле $R = U/I$. Нарисуем получившуюся схему (рис. 6) и положим $\varphi_A = 0$. Тогда потенциаль точки B известен: $\varphi_B = U$. Обозначим потенциаль точки C через $\varphi_1$, точки D — через $\varphi_2$. Запишем два уравнения — для узла C:

$$-(U - \varphi) C_1 + \varphi C_2 + \varphi C_3 = 0,$$

откуда $\varphi = \frac{C_1 U}{C_1 + C_2 + C_3}.$