Избранные школьные задачи

57

m≥3 существует наименьшее натуральное число C(m) такое, что среды любых C(m) точек плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой, можно найти m точек, являющихся вершинами выпуклого m-уоллыка.

Уражение 8. Докажите теорему Эрдёша — Секерша.

Задание

1. На планете Землям 17 государств. Некоторые из них другат между собой, некоторые враждуют, а некоторые нейтральны по отношению.

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Найдите минимальное число, которое можно треяя различными способами представить в виде 13a+73b, где a и b — натуральные числа.
2. Найдите натуральные числа k и n, если известно, что числа kn и n^k записьюются (в десятичной системе) одинаковыми цифрами, но в обратном порядке по отношению друг к другу.
3. Пусть x₁ — корень уравнения x²+px+q=0 и x₂ — корень уравнения x²-px-q=0. Докажите, что уравнение x²+2px+2q=0 имеет корень, заключенный между x₁ и x₂.
4. На сторонах BC и CD квадрат ABCD взяты точки E и F такие, что EC=2EB и FC=FD. Докажите, что угол AEB равен углу AEF.
5. Пусть A, B, C, D — последовательные вершины выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что если AB+BD≤AC+CD, то AB≤AC.
   Девятый класс
6. В последовательности a₁, a₂, …, aₙ, имеют место равенства a₁=3 и aₙ+1=aₙ²-2 при всех n. Докажите, что все члены этой последовательности попарно взаимно просты.
7. Докажите, что если x₁+\frac{1}{x₂}=x₂+\frac{1}{x₃}=…=xₙ+\frac{1}{x₁}, то либо x₁=x₂=…=xₙ, либо |x₁x₂…xₙ|=1.
8. (задча Ферма). На диаметре AB получаются простые AD которые равна стороне вписанного

в круг к другу. Докажите, что на Земляме есть либо тройка попарно дружественных, либо тройка попарно враждебных, либо тройка попарно нейтральных государств.
2. На плоскости нарисованы 19 кругов так, что среды любых четырех кругов какие-то три имеют общую точку. Докажите, что найдется четыре круга, имеющие общую точку.
3. Натуральные числа от 1 до 66 покращены в четыре цвета. Докажите, что среди них найдется три числа x, y, z одного цвета такие, что x+y=z.

Десятель класс
11. Докажите, что число 11…122…2 (10 единиц и 10 двое) является произведением двух последовательных целых чисел.
12. Найдите числа a, b, c, d, если известно, что a²+b²+c²+d²=ab-bc-cd-d+2/5=0.
13. Внутри tetraэдра ABCD взята такая точка O, что объем tetraэдров OABC, OBCD, OACD, OABD равны. Докажите, что сумма векторов $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD}$ равна 0.
14. Основание tetraэдра — равносторонний треугольник, площади боковых граней равны между собой. Известно, что сторона основания имеет длину a, одно из боковых ребер имеет длину b. Найдите длины двух других боковых ребер.
15. Найдите все решения уравнения $\sin^3 x+\cos^3 x=\frac{1}{2}$, приладлежие промежутку [0; π].

Публикацию подготовили
E. M. Гольбер, Л. Д. Курляндук