Как возникает распределение Пуассона

Квант 1988, №8 с. 23-25 Тег QYFL

КАК ВОЗНИКАЕТ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Кандидат физико-mатематических наук
В. Н. ДУВРОВСКИЙ

Кажdomу случаLOBь застать начало летнего дждика, когда земля еще сухая и только тут и там видны редкие темные пятнышки от первых капель. Эти пятнышки — почти идеальная модель «случайно разбросанных точек», о которых упоминалось в статье «Распределение Пуассона». Попробуем с помощью этой наглядной модели сформулировать математические гипотезы, описывающие случайно разбросанные точки, и вывести из них,

*) Поневоле мы вынуждены обходиться без определения понятия вероятности — желающие могут найти его, например, в книге А. Н. Колмогорова, И. Г. Журбенко, А. В. Прокорова «Введение в теорию вероятности» (М., Наука, 1978). Надеемся, что для понимания статьи будет достаточно небольшой доли здравого смысл.

что число точек, попавших за определение время на заданный участок, подчиняется распределению Пуассона.

Пусть $P_k$ — вероятность*) того, что на выбранный нами участок попадет $k$ капель. Прежде всего, ясно, что

вероятность $P_k$ определяется только площадью s этого участка и не зависит от его формы и расположения.

Поэтому будем искать $P_k$ в виде функции от площади участка, т. е. в виде $P_k(s)$ . Вторая естественная гипотеза состоит в том, что

количество капель, выпавших на данной участок, не зависит от количества капель, выпавших на любой другой участок, не пересекающей с первой.

Другими словами, вероятности $P_0, P_1, P_2, \dots$ для данного участка никак не зависит от того, сколько капель оказываются на каком-то другом участке. Математическая выражением условия неависимости служит правило умножения вероятности: вероятность одновременного осуществления двух неависимых событий равна произведению их вероятностей. Например, если $S$ и $T$ — два непересекающихся участков $P_1(s) \cdot P_1(t)$ . Аналогично, событие «на участки $S$ и $T$ попало 2 капли» имеет вероятность $P_2(s) \cdot P_0(t) + P_1(s) \cdot P_1(t) + P_0(s) \cdot P_2(t)$ (это событие разбивает на три: на участке $S$ выпало 2 капли, а на $T$ — ни одной; на участок $S$ выпала 1 капля и на $T$ — 1 капля; на участок $S$ выпало 0 капель, а на $T$ — 2 капли; и его вероятность равна сумме вероятностей этих трех составляющих). Подчерким, что правило умножения вероятностей не доказывается — это определение неависимости, но нетрудно объяснить, почему принимают именно такое определение.

Один из основополагающих принципов теории вероятности (закон больших чисел) утверждает, что частота, с которой произходит неокоторое событие в достаточно длинной серии опытов, приближается к его вероятности. Пусть в серии из $n$ опытов наблюдаются события $A$ и $B$ , причем событие $B$ осуществилось $m$ раз и оба события одновременного осуществления $k$ раз; тогда частота $m/n$ события $B$ примерно равна его вероятности $P(B)$ , а частота $k/n$ одновременного осуществления событий $A$ и $B$ — соответствующей вероятности $P(AB)$ . Независимость событий $A$ и $B$ должна пройти в том, что сведения о реализации события $B$ не могут влиять на вероятность осуществления события $A$ . Следовательно, частота $k/m$ опытов, в которых произило событие $A$ , среди тех опытов, в которых зафиксировано событие $B$ , должны такой же, как и в ряду всех вообще опытов: $k/m \approx P(A)$ . Таким образом,

$P(AB) \approx \frac{k}{n} = \frac{k}{m} \cdot \frac{m}{n} \approx P(A) \cdot P(B).$

В пределе (при $n \to \infty$ ) эти приближенные равенства превращаются в точные. Мы получаем подтверждение того, что «правило умножения вероятности» верно отражает нашей интуитивное представление о неависимости событий.

Вернемся, однако, к каплям дожда. Третья гипотеза, описывающая их выпадение, такова:

вероятность $P_{>1}(h)$ тощо, что на участке малой площади $h$ выпадет не менее 2 капель, пребрежимо мала по сравнению с вероятностью $P_1(h)$ тощо, что на этот участок попадет 1 капля, т. е. $P_{>1}(h)/P_1(h) \to 0$ при $h \to 0$ .

Иначе говоря, дважды в одно и то же место капли не попадают. Теперь условия сформированы полностью и можно занять получением следующего.

Первым делом найдем $P_0(s)$ . Расстояние участок площадью $s+t$ и разобем его на два участка — площадью $s$ и площадью $t$ . Если больший участок $(s+t)$ остался сухим, то и на оба его куска $s$ и $t$ капли не попали, и в силу условия 2) неависимости участков при любых $s, t \geqslant 0$ получаем $P_0(s+t) = P_0(s)P_0(t)$ .

Из этого уравнения нам надо найти функцию $P_0$ , о которой дополнительно известно, что $0 \leqslant P_0(s) \leqslant 1$ и $P_0(s) - убывающая функция. Докажем, что$ P_0(s) = e^{-\lambda s} $при некотором$ \lambda > 0 $. Пусть$ f - убывающая функция, удовлетворяющая $f(s+t) = f(s) \cdot f(t)$ . Для любого $s > 0$ и любого натурального $n$ $f(ns) = f(s + (n-1)s) = f(s)f((n-1)s) = \dots = (f(s))^n$ .

Подставляя сюда $s = \frac{1}{n}$ и полагая $f(1) = e^{-\lambda}$ , получим $f(1/n) = e^{-\lambda/n}$ . Подставим теперь $s = 1/m$ — получим $f(n/m) = (f(1/m))^n = e^{-\lambda n/m}$ , т. е. для любого рационального $s > 0$ имеем $f(s) = e^{-\lambda s}$ . Теперь, получая монотностную функцию $f(s)$

и $e^{-\lambda s}$ , легко доказать, что последнее равенство выполняется при всех $s > 0$ .

Заметим, что $P_0(h) \approx 1 - \lambda h$ при малых $h$ (запись $u(h) \approx v(h)$ будет у насозначать, что $(u(h) - v(h))/h \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$ ). Действительно, произведение функции $e^{-\lambda s}$ при $s = 0$ равна $-\lambda e^{-\lambda h} = -\lambda$ , т. е. $(P_0(h) - 1)/h = (e^{-\lambda h} - 1)/h \rightarrow -\lambda$ при $h \rightarrow 0$ . Следовательно, $P_1(h) + P_{>1}(h) = 1 - P_0(h) \approx \lambda h$ при малых $h$ . А так как, в силу условия 3, $P_{>1}(h)$ пренебрежимо мало по сравнению с $P_1(h)$ , при малых $h$ $P_1(h) \approx \lambda h$ , $P_k(h) \approx 0$ при $k > 1$ .

Тепер можно составить дифференциальные уравнения, из которых мы найдем $P_k(s)$ . Расмотрим участок площадью $s$ и добавим к нему участок малой площадью $h$ . Повторя приведенное равные расчудение, получим

$P_k(s + h) = P_k(s)P_0(h) + P_{k-1}(s)P_1(h) + (P_{k-2}(s)P_2(h)) + \dots + P_0(s)P_k(h).$

Поскольку $P_0(h) \approx 1 - \lambda h$ , $P_1(h) \approx \lambda h$ , а все выражение в скобках пренебрежимо мало по сравнению с $h$ ,

$P_k(s + h) \approx P_k(s) (1 - \lambda h) + \lambda hP_{k-1}(s);$

следовательно,

$P_k'(s) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{P_k(s + h) - P_k(s)}{h} = -\lambda P_k(s) + \lambda P_{k-1}(s),$

или

$P_k'(s) + \lambda P_k(s) = \lambda P_{k-1}(s), \quad k = 1, 2, \dots$

Что бы решить это уравнение, рассмотрим функцию $f_k(s) = P_k(s)e^{\lambda s}$ . Найдем ее произведение: $f_k'(s) = P_k'(s)e^{\lambda s} + \lambda P_k(s)e^{\lambda s}$ . Умножая уравнение (*) на $e^{\lambda s}$ , получаем

$f_k'(s) = \lambda f_{k-1}(s),$

причем $f_k(0) = P_k(0) = 0$ при $k > 1$ .

Тепер легко найти одну за другой все функции $f_k$ : $f_1'(s) = \lambda P_0(s)e^{\lambda s} = \lambda$ , следовательно, $f_1(s) = \lambda s$ (мы учили, что $f_1(0) = 0$ ); $f_2'(s) = \lambda f_1(s) = \lambda^2 s$ , следовательно, $f_2(s) = \lambda^2 s^2/2$ , …, $f_k(s) = \lambda^k s^k/k!$ . И наконец, мы можем выписать искомое выражение

$P_k(s) = \frac{(\lambda s)^k}{k!}e^{-\lambda s},$

справедливо для всех $k = 0, 1, 2, \dots$ .

Подведем итог. Если на плоскости случайно выбираются точки так, что выполнен условия 1—3, то число точек, попавших на участок площадью $s$ , имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda s$ , где $\lambda > 0$ — параметр, характеризующий среднюю плотность точек (ср. с формулой (2) в статье «Распределение Пуассона»).

Разумеется, все сказанное почти досконно переносится на случай точек в пространстве или на прямой. О последнем случае надо сказать особо, потому что он чаще всего встречается на практике. При этом прямой, на которой расположены точки, служит ось времени, а сами точки — это моменты поступления каких-то случайных сигналов, подчиняющихся условиям, аналогичным условиям 1—3. Стандартными примерами таких «потоков сигналов», называемых в теории вероятностей простыми или пуассовыми потоками, являются, например, испускаемые радиоактивным веществом частицы, вызовы, поступающие на телефонную станцию.

Мы затронули только одну сторону вопроса, вынесенного в заголовок статьи. С другими читателями, если ему доведется всезнать哉 теории вероятностей и случайных процессов.

Дорогие читатели!

В будущеем, 1989 году журнал «Квант», как и прежде, будет распространяться только по подписке. Оформить годовой подписку можно до 1 ноября 1988 года. Подписка принимается без ограничений в агентств «Союзпечати», на почтамах и в отделениях связи. Индекс журнала «Квант» в каталоге «Союзпечати» 70465.