Распределение Пуассона

15

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Кандидат физико-mатематических наук
Ю. П. ЧУКОВА

1837 год. Париж. По будвару Сен-
Мишель идет профессор Сорбонны,
член всех научных обществ и академ
ий Европы и Америки Симеон Дени
Пуассон. Он думает о своей последней
работе. Нужно ли докладывать ее
користам? или ограничиться математиками? Работа называлась «Исследова-
ние о вероятности приговоров в угол-
новых и гражданских процессов».
Материал был юридический, а закон
математический… Закон описывал
роль счастливого случая в судебных
процессах Франции XIX века.

Пуассон знал великую обобщаю-
щую силу математических законов.
Но и он не подозревал, что получен-
ный им закон, который назовут ра-
пределенем Пуассона, через полтора
века станет орудием исследования у
ученных самых разных специално-
стей.

Мы познакомимся с распределением
Пуассона на простом и всем понятном
примере.

В столовой сварили компот из $N$ вишен и разлили его по $n$ стаканам
(тщательно размешивая для чистоты эксперимента). Вопрос: какова вероят-
ность того, что в данном стакане вишен нет?

Будем считать, что все варианты
распределения вишен по стаканам
равноправны. Посокльку каждой из
$N$ вишен может попасть в любой из $n$
стаканов, общее число вариантов рав-
но $n^N$ (n вариантов для 1-й вишни,
n — для 2-й и т. д.). Число вариантов,
когда в данной стакан вишни не по-
палии, равно $(n-1)^N$ (каждая вишня
«выбирает» любой из остальных $n-1$
стаканов). Поэтому искомая вероят-
ность $R_0$ того, что в стакане не будет
вишен, равна $(n-1)^N/n^N$, т. е.

ПУАССОН

16

Можно вывести и обшую формулу для предельной (при больших $N$) вероятности $P_k$ обнаружить в стакане $k$ вшен ($k=0, 1, 2, \dots$):

$$P_k \approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},$$

где $k! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k$ при $k \geqslant 1$ и, по определению, $0! = 1$.

Вообще, пусть в эксперименте со случайными исходами изменяется какая-то величина, принимающая целые неотрицательные значения. Говорят, что она имеет распределение Пуассона, если значение $k$ она принимает с вероятностью $p(k; \lambda) = \lambda^k e^{-\lambda}/k!$ (см. (2)). На рисунке 1 показаны графики вероятностей $p(0; \lambda), p(2; \lambda)$ и $p(4; \lambda)$ как функций $\lambda$. При фиксированном $\lambda$ значения $p(k; \lambda)$ изображаются как на рисунке 2 (для $\lambda=10$).

Распределение Пуассона возникает в самых разнообразных ситуациях. Мы приведем только два характерных примера его использования. Первый — из физики. Эксперименты показывают, что при распределению вещества число $\alpha$-частиц, излученных за определенный промежуток времени $t$, с очень высокой точностью подчиняется распределению Пуассона со средним значением $\lambda t$, где $\lambda$ — параметр, характеризующий интенсивность излучения. Этот пример позволяет продемонстрировать, как опасно переодеряться здравомустсу смыслу. Действительно, на первый взгляд кажется, что вероятности загенерирова-

$$P_0 = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^N.$$

Пусть $\lambda = \frac{N}{n}$ — среднее число вшен в стакане, тогда

$$P_0 = \left(1 - \frac{\lambda}{N}\right)^N.$$

При больших $N$ (и фиксированном $\lambda$) эта величина примерно равна $e^{-\lambda}$. Итак,

$$P_0 \approx e^{-\lambda}.$$

(1)

Аналогично можно подсчитать и вероятность $P_1$ того, что в стакане оказетсяровно одна вшеня: эту вшню можно выбрать $N$ способами, а остальные $N-1$ вшен надо распределить по $n-1$ стаканам, следовательно,

$$P_1 = \frac{N(n-1)^{N-1}}{n^N} = \frac{N}{n-1} \left(1 - \frac{\lambda}{N}\right)^N \approx \lambda e^{-\lambda}.$$

*) В самом деле,

$$\lim_{N \to \infty} \left(1 - \frac{\lambda}{N}\right)^N = e^{\lim_{N \to \infty} N \ln(1-\lambda/N)},$$

а предель в показатель равен

$$\lim_{N \to \infty} N \ln \left(1 - \frac{\lambda}{N}\right) = \lim_{N \to \infty} \lambda \frac{\ln(1-\lambda/N) - \ln 1}{\lambda/N} = -\lambda \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h) - \ln 1}{h} = -\lambda,$$

т.к. последний предель равен произвольной функции $\ln x$ при $x=1$, т.е. 1.

17

вать 10 α-частиц за 5 секунд или 2 α-частицы за 1 секунд должны совпадать. Однако это не так. Допустим, например, что счетчик регистрации частицы со средней частотой λ=1 частица в секунду. Тогда число частицы, регистрации за 1 секунд, подчиняется распределению Пуассона с параметром 1, а за 5 секунд — с параметром 5. Поэтому первая вероятность равна

$$p(10; 5) = \frac{5^{10}e^{-5}}{10!} \approx 0,018,$$

а вторая —

$$p(2; 1) = \frac{1^2 \cdot e^{-1}}{2!} \approx 0,18.$$

Мы видим, что эти вероятности не только не равны, но различются в 10 раз!

Второй пример — из жизни вирсов, точнее бактериальных вирсов, называемых бактериофагами, которые были открыты в 1915 году. Бактериофаги — это парзиты бактерии. Они разиможаются только в бактериальных клетках. Один из наиболее изученных фагов — фаг T2 — разиможается в кишечной палочке Escherichia coli. Процесс заражения происходит следующим образом. Фаг при броуновском движении встречает с бактерией и прикрепляется к ней коном своего «хвоста» (рис. 3). После прикрепления оболочка вирса сокращается, сердцевина проникает через поверхность клетки и ДНК фага попадает в бактерию. Спустя примерно 20 минут при температуре 37° бактерия разрушается, и вместе одного фага появляется почти фагов. Редкостьный уровень!

Гибель бактерии под действием фагов можно наблюдать почти визуально. Дело в том, что питательный растор с бактериями E. coli кажется мутным — бактерии имеют размер около 1 мкм, а этого достаточно для рассеивания видимого света. Но если в пробирку с E. coli добавить один единственный фаг T2 и поджать часов 6—8, то растор в пробирке станет из мутного процесса. Объяснение единственной. Фаг T2, быстро разножаясь, разрушил все бактерии E. coli, и в пробирке не осталось объектов, способных рассеивать свет, т. к. размер самих фагов (около 200 nm) сликом мал для этого. Все это интересно, но вы праве спросить, причем тут распределение Пуассона.

Оказывается, оно неожиданным образом помогает решить важную для молекулярной биологии задачу — определить концентрацию вирсных частиц в расторе. В нашем примере с компотом аналитическая задача (найти среднее число вшен в стакане) решается просто: можно перечитать вшни в нескольких стаканах и поделить их число на число стаканов. Но вирсы не перечитываются как вшни! И вот тут-то мы вспомним формулу (1), которая связывает вероятность отсутствия частиц (будь то вшни или вирсы) в определенном объеме содержащого их состав (в стакане или в пробирке) с их средним числом. Возьмем, скажем, 100 пробирок с бактериями в питательной среде и добавим в каждую 1 мл растора с вирсами. По истечении некоторого времени инкубции подчитаем число пробирок, оставшихся мутными. Допустим, их оказалось 38, а другие 62 стакан们 произрачными. Это означает, что в 38 пробирок не попало ни одного фага, либо фаги разиможаются горздо быстреем бактерии (за истекшее время они разрушили все бактерии в 62 пробирках). Доля мутных пробирок дает приближение значения вероятности равна