Chặng chung kết cuộc thi mang tên A.P. Savin “Toán học 6-8”

22

KVANT 2007/№2

Chặng cuối cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 6–8”

Trung tâm giải trí “Berendeevy Polyany” gần Sudislavl, vùng Kostroma, đã trở thành địa điểm truyền thống cho các cuộc thi cuối cùng của cuộc thi A.P. Savin. Vào mùa hè năm 2006, giải đấu cuối cùng của các trận đấu toán học mùa hè lần thứ XII đã diễn ra tại đây, một lần nữa phá kỷ lục về số đội tham gia: ba mươi sáu. Học sinh từ mười lăm thành phố đã tham dự giải đấu. Các đội riêng biệt đến từ Ivanovo, Kirov, Kostroma, Magnitogorsk, Perm, Troitsk, Kharkov. Và tất nhiên, Moscow có nhiều đội nhất. Một đặc điểm đáng chú ý của các giải đấu mới nhất là các cuộc thi đã trở nên hấp dẫn đối với học sinh lớp 9. Ngoài tạp chí «Kvant», việc tổ chức giải đấu còn có sự tham gia của Cung Sáng tạo Trẻ em (Thanh niên) Thành phố Mátxcơva (chủ tịch ban tổ chức giải đấu G. Kondkov), chương trình giáo dục “Sự thay đổi lớn” (giám đốc chương trình, phó Duma khu vực và Chủ tịch Liên đoàn Công đoàn Vùng Kostroma M.A. Batin), Cục Giáo dục Phổ thông và Chuyên nghiệp của Chính quyền Vùng Kostroma, Quỹ Giáo dục Toán học và Sự giác ngộ. Một số tổ chức địa phương cũng tài trợ cho các đội. Vì vậy, các em học sinh Chernogolovka bày tỏ lòng biết ơn tới Tổ chức Công đoàn Thống nhất của Trung tâm Khoa học Chernogolovka thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Nga (phó chủ tịch L.A. Kovaleva). Công việc của ủy ban phương pháp luận do A. Shapovalov đứng đầu. Ủy ban bao gồm các thành viên ban giám khảo giàu kinh nghiệm đã nhiều lần tham gia các sự kiện như vậy: A. Akopyan, M. Bershtein, A. Blinkov (phó chủ tịch ban tổ chức), Y. Blinkov, A. Gorskaya, V. Gurovits, A. Zhukov, D. Kalinin, T. Karavaeva, I. Raskina, V. Senderov, A. Skopenkov, A. Spivak, S. Tokarev (người tổ chức các giải đấu mùa hè đầu tiên), V. Trushkov, B. Frenkin, E. Chernysheva, V. Sharich. Trưởng nhóm cũng tham gia tích cực vào công việc của Ban giám khảo:

đã giúp đánh giá các trận đấu cá nhân, tổ chức và tiến hành các trò chơi trí tuệ bổ sung (“Cuộc đua toán học”, “Zavalinka”). A. Skopenkov (“Tìm số lượng màu”), N. Netrusova (“Nút thắt và bím tóc”), A. Shapovalov (“Nguyên tắc thắt cổ chai”) đã giảng bài cho học sinh. Giải đấu được tổ chức theo sơ đồ truyền thống: Olympic đồng đội vào ngày đầu tiên, dựa trên kết quả mà các đội được xếp hạng trong các giải đấu, sau đó là các trận đấu toán học hàng ngày, giữa đó một Olympic miệng cá nhân được tổ chức vào một trong những ngày.

Các vận động viên đoạt giải Olympic cá nhân:

Lớp 6 Kadets Boris - Kharkov, UVK 45 “Nhà thi đấu hàn lâm”, Matveevsky Dmitry - Kharkov, FML 27 (lớp 5), Lisichkin Sergey - Kharkov, nhà thi đấu 47, Korotov Denis - Moscow, trường 936;

Lớp 7 Ivlev Fedor - Moscow, nhà thi đấu 1543, Derevitsky Ivan - Magnitogorsk, trường 5, Malykh Sofya - Kirov, FML, Nikolaev Semyon - Moscow, trường 1189, Sadovnikov Sergey - Volgorechensk, trường 2, Yuzhanin Denis - Kirov, FML, Artemyeva Galina - Moscow, nhà thi đấu 1543, Baeva Svetlana - Kirov, FML, Golitsyn Vladimir - Kharkov, FML 27, Dudkin Alexander - Kharkov, FML 27, Krivolapov Vladislav - Ivanovo, Lyceum 67, Makarov Nikolay - Moscow, trường 179, Nozdrin Mikhail - Magnitogorsk, trường 5, Panfilov Danila - Moscow, FMS 2007, Pozharsky Bogdan - Kharkov, FML 27, Redyoga Vladimir - Moscow, nhà thi đấu 1543, Tarasov Artem - Kirov, FML, Troitsky Alexey - Moscow, trường 1189;

Lớp 8 Sobolev Evgeniy - Kharkov, nhà thi đấu 47, Mayantsev Kirill - Volgorechensk, trường 3, Bochkarev Mikhail - Perm, trường 9 được đặt theo tên. BẰNG. Pushkina, Efremov Dmitry – Magnitogorsk, trường 5, Tarannikova Ekaterina – Moscow, Trường Vật lý 2007, Turbina Natalya – Angarsk, trường 10, Palamarchuk Igor – Moscow, Lyceum “Trường thứ hai”, Akopyan Emma – Moscow, nhà thi đấu 1543, Sobolev Dmitry – Kharkov, nhà thi đấu 47, Alena Smirnova - Moscow, Trường thứ hai Lyceum, Egor Gavrichev - Moscow, Trường cấp hai Lyceum;

Lớp 9 Andreev Mikhail - Moscow, trường 57, Kislovskaya Anna - Kostroma, lyceum 32,

23

ĐẾN

M

Sh

Kết quả chi tiết của giải đấu được trình bày trên website www.lmsh.ru

Một số bài toán của giải đấu

(các số trong ngoặc đơn biểu thị các lớp mà bài toán tương ứng đã được đề xuất) 1 (6–7). Kesha cắt ra giấy một hình tam giác ABC có cạnh AB dài nhất và uốn nó thành một đường thẳng sao cho đỉnh C nằm trên cạnh AB và một hình tứ giác được hình thành. Cho biết tập hợp các điểm trên cạnh AB mà đỉnh có thể rơi S. A. Shapovalov, V. Gurovits

Romaskevich Elena - Moscow, nhà thi đấu 1543, Bakaev Egor - Kostroma, lyceum 32, Pogrebnov Alexey - Moscow, nhà thi đấu 1543, Marchenko Evgeniy - Moscow, nhà thi đấu 1543.

Các đội đạt giải Nhà thi đấu lớp 7 1543, lớp 7 B., Moscow (giám thị M.M. Bukina), nhà thi đấu 1543, 7 lớp A., Moscow (giám thị B.P. Geidman), «Kvant», Moscow (giám thị I.A. Nikolaeva), Trường Vật lý 2007, lớp 7, Moscow (giám thị V.V. Khovrina), trường học 936, Moscow (giám sát viên T.P. Zorina);

7–8 lớp 17, Moscow (hiệu trưởng D.A. Korobitsyn), FML, lớp 7, Kirov (hiệu trưởng L.A. Smirnova), “Big Change”, lớp 7, Kostroma (hiệu trưởng D.A. Kalinin), trường 5, Magnitogorsk (hiệu trưởng N.S. Nikiforova, A.V. Ustinov), “Eureka”, lớp 7, Kharkov (thủ lĩnh E.L. Arinkina, A.L. Bershtein);

lớp 8, trường liên đoàn đầu tiên 5, Magnitogorsk (giám thị A.V. Khristeva, A.S. Velikikh), phòng tập thể dục 1543, 8 A, Moscow (giám thị T.S. Geider);

Lớp 8, giải đấu lớn “Eureka”, lớp 8, Kharkov (người đứng đầu E.L. Arinkina), Cung điện Sáng tạo Trẻ em (Thanh niên) Thành phố Moscow (người đứng đầu S.E. Dubov), trường 82, lớp 8, Chernogolovka (người đứng đầu L.N. Golovko), trường 9 được đặt theo tên. BẰNG. Pushkin, Perm (người đứng đầu O.N. Vyazmina), nhà thi đấu 1543, lớp 8 B., Moscow (người đứng đầu A.V. Spivak);

Nhà thi đấu lớp 9 1543, lớp 9, 9-3, Moscow (thủ lĩnh A.V. Spivak), nhà thi đấu 1543, lớp 9, 9-1, Moscow (tiêu đề I.V. Raskin), nhà thi đấu 1543, lớp 9, 9-2, Moscow (thủ lĩnh A.V. Spivak), “Big Change”, lớp 9, Kostroma (giám thị D.A. Kalinin).

Tất cả những người chiến thắng đều được trao bằng cấp và giải thưởng do tạp chí «Kvant» cũng như Quỹ Giáo dục và Khai sáng Toán học cung cấp.

2 (8). Một tam giác giấy có các cạnh a, b, c được uốn thành một đường thẳng sao cho đỉnh đối diện c nằm trên cạnh này. Được biết, trong tứ giác thu được có hai góc kề với đường gấp bằng nhau. Tìm độ dài của các đoạn mà cạnh c được chia cho đỉnh nằm ở đó. A. Shapovalov

3 (7–8). Một đa giác được vẽ trên giấy ca rô, chu vi của nó chạy dọc theo các đường lưới. Có phải luôn luôn có thể cắt một hình chữ nhật có cùng chu vi chứa nó dọc theo các đường lưới không? V. Người gửi

4 (7–9). Một nghệ sĩ trừu tượng muốn vẽ các ô của một bảng 8 ѣ 8 bằng m > 1 màu sao cho thỏa mãn điều kiện: nếu các ô A và B có màu giống nhau viền trên ô C, thì có thêm hai ô có viền trên C, được sơn giống hệt nhau và có màu khác với màu của A và B. (Các ô viền là những ô có một cạnh chung.) Anh ta có thể làm điều này với mục đích gì? E. Barabanov, I. Akulich

5 (7–8). Tất cả các điểm nguyên đều được đánh dấu trên trục số. Điểm x và y được nối với nhau bằng một cung nếu |x – y| số nguyên tố. Có thể dùng số màu nhỏ nhất để tô tất cả các điểm sao cho hai điểm nối bất kỳ có màu khác nhau là bao nhiêu? V. Hurowitz

6 (7–8). Tìm tất cả các bộ ba nguyên tố thỏa mãn đẳng thức

$x^{3} + y^{3} = 2 z^{3}$.

V. Người gửi

7 (7–9). 20 đội tham gia giải bóng đá một vòng. Hóa ra nếu hai đội bất kỳ hòa nhau thì ít nhất một trong số họ kết thúc với tỷ số hòa không quá ba trận. Số trận hòa lớn nhất có thể có trong một giải đấu như vậy là bao nhiêu? I. Akulich

8 (8). Một số cạnh và đường chéo của một tam giác lồi n (n > 3), không có ba đường chéo nào cắt nhau tại một điểm, được tô màu đỏ hoặc xanh. Được biết, các đoạn màu xanh không giao nhau và có một đường màu xanh duy nhất giữa bất kỳ đỉnh nào. Điều tương tự cũng đúng với các đoạn màu đỏ.

26

KVANT 2007/№2

tổng bằng 0 và đáp số cho các câu hỏi a), b) là âm. Hơn nữa, từ lý luận trên, suy ra rằng đáp số trong câu hỏi c) là dương. Ngược lại, ở điểm d) đáp số là âm: nếu một người chơi thua tất cả các trận và những người còn lại hòa nhau thì hệ số của người chơi cuối cùng là âm, và tất cả những người còn lại đều bằng 0.

Kẻ thua cuộc bị loại

Như bạn đã biết, các giải đấu vòng tròn không phải là hình thức thi đấu duy nhất hiện có. Ngược lại, trong hệ thống cúp (Olympic), đội thua sẽ bị loại và không thể hòa. Trong những cuộc thi như vậy, vai trò của cơ hội cao hơn nhiều nhưng sự đấu tranh lại khốc liệt hơn. Nếu giải đấu hình tròn tương ứng với một đồ thị đầy đủ (đỉnh là người chơi, cạnh là đấu tay đôi, hai đỉnh bất kỳ được nối với nhau bằng một cạnh) thì đồ thị của giải Olympic là cây nhị phân (không có chu trình và trên đường dẫn từ đỉnh treo đến gốc, hai cạnh đi vào mỗi đỉnh trung gian và một đi ra). Bài toán 27. Giải đấu quyền anh được tổ chức theo hệ thống Olympic (mỗi hiệp người thua bị loại, không có người nghỉ). Có bao nhiêu võ sĩ tham gia giải đấu nếu kết thúc giải đấu có 32 người thắng nhiều trận hơn thua? Lời giải. Theo hệ thống Olympic, hầu hết các trận đấu đều thuộc về những võ sĩ nào và chỉ những võ sĩ nào lọt vào ít nhất hiệp thứ ba. Những người tham gia vòng thứ ba chiếm một phần tư tổng số người tham gia. Theo đó, có 128 võ sĩ tham gia giải đấu. Thật thú vị khi so sánh kết quả của các giải đấu có thể có với cùng một người tham gia nhưng được tổ chức bằng các hệ thống khác nhau. Dưới đây là hai bài toán về chủ đề này (tác giả K. Feldman, xem bài viết “Hòa cho nhà vô địch” của B. Frenkin trong «Kvant» số 5 năm 2000). Để làm nổi bật những gì phụ thuộc vào hình thức của trò chơi chứ không phải vào người chơi, chúng tôi sẽ chấp nhận “giả định trò chơi ổn định”: trong mỗi cặp người chơi, người chiến thắng luôn giống nhau. Các trận hòa trong giải đấu vòng tròn giữa những tay vợt như vậy sẽ bị loại trừ vì chúng không diễn ra trong giải đấu cúp. Tuy nhiên, chúng tôi giả định rằng một người chơi thắng người khác, người khác – chống lại người thứ ba, đồng thời người thứ ba thắng người đầu tiên. Bài toán 28. Giải đấu vòng tròn tính điểm được tổ chức với sự tham gia của $2^{N}$ người chơi. Bây giờ các vận động viên tương tự sẽ phải tranh cúp. Giả định về một trò chơi ổn định được thỏa mãn. Chứng minh rằng có một trận hòa trong đó đội vô địch thi đấu vòng tròn sẽ vào chung kết. Lời giải. Hãy đánh số người chơi như sau. Đầu danh sách chúng ta sẽ xếp những người đã đánh bại nhà vô địch, tức là “nguy hiểm”. Tiếp theo - những người thua anh ta, tức là “không nguy hiểm”. Chúng tôi sẽ đưa ra con số cuối cùng cho nhà vô địch. Trong mỗi vòng bốc thăm cúp chúng ta sẽ xếp các cặp theo thứ tự số. Nhà vô địch thể hiện không thua kém gì người tham gia “trung bình”, người thắng bao nhiêu thì thua bấy nhiêu. Điều này có nghĩa là số lượng “nguy hiểm” không lớn hơn số lượng “không nguy hiểm”. Tất cả những kẻ “nguy hiểm” sẽ nằm ở nửa đầu danh sách, còn nhà vô địch sẽ nằm ở nửa sau. Vì vậy, nhà vô địch sẽ không gặp đối thủ “nguy hiểm” trước trận chung kết, đó là điều bắt buộc. Bài toán 29. Theo điều kiện của bài toán trước đó, chứng minh có kết quả hòa trong đó nhà vô địch thi đấu vòng tròn một lượt sẽ nhận cúp. Lời giải. Mỗi người “nguy hiểm” (người đánh bại nhà vô địch) đều thua một trong những người “không nguy hiểm” trong chức vô địch (nếu không anh ta sẽ thắng nhiều trận hơn nhà vô địch, điều đó là không thể). Hãy làm cho cặp cốc đầu tiên được rút ra từ chiếc cốc “nguy hiểm” và chiếc “không nguy hiểm” mà anh ta đã thua.

Chúng tôi thực hiện các cặp tiếp theo theo cách tương tự, càng lâu càng tốt. Giả sử còn lại những người “nguy hiểm” không thể được đưa vào các cặp như vậy (họ đã thua trong chức vô địch trước những người “không nguy hiểm” đã được đưa vào các cặp trước đó). Vậy thì hãy để những kẻ “nguy hiểm” này chơi đùa với nhau. Nếu một trong số chúng không có cặp thì chúng ta sẽ làm như sau. Tổng số người “nguy hiểm” không lớn hơn số người “không nguy hiểm” (vì nhà vô địch thể hiện không thua kém người chơi “trung bình”, thắng và thua như nhau). Trong các cặp được ghép nối, không có nhiều người chơi “không nguy hiểm” hơn những người “nguy hiểm”, và một người “nguy hiểm” nữa bị bỏ lại mà không có cặp. Điều này có nghĩa là một trong những con “không nguy hiểm” vẫn chưa được đưa vào cặp - hãy để con “nguy hiểm” còn lại chơi với anh ta. Những người chơi còn lại được ghép đôi ngẫu nhiên. Nhà vô địch sẽ tiến vào vòng tiếp theo vì anh ta đấu với một người chơi “không nguy hiểm”. Nếu ở các vòng khác các cặp được xây dựng theo nguyên tắc tương tự thì nhà vô địch sẽ nhận được cúp. Điều này chắc chắn có thể xảy ra nếu trong mỗi hiệp có ít hơn một nửa số người tham gia là “nguy hiểm”. Giả sử rằng cho đến một vòng nhất định, chúng ta đã đảm bảo đáp ứng được điều kiện này. Chúng tôi sẽ chứng minh rằng điều này có thể đạt được ở vòng tiếp theo. Vì một nửa số người tham gia từ vòng trước sẽ tiến vào vòng tiếp theo, điều đó đủ cho thấy ít nhất một nửa số người “nguy hiểm” đã bị loại. Nhưng trong các trận đấu giữa họ, mỗi người tham gia thứ hai đều bị loại. Chỉ có một người “nguy hiểm” mới có thể thắng được một người “không nguy hiểm”. Vì vậy, trong cùng một vòng đấu, chỉ cần ít nhất một người chơi “nguy hiểm” thua một người chơi “không nguy hiểm” là đủ. Như chúng ta đã thấy, điều này đã được thực hiện ở vòng đầu tiên. Chỉ những người “nguy hiểm” thua một trong những người “không nguy hiểm” cũng lọt vào vòng này mới được vào các vòng tiếp theo. Và cặp đầu tiên bao gồm một người “nguy hiểm” và một người “không nguy hiểm” mà anh ta thua. Tuyên bố của chúng tôi đã được chứng minh. Để kết thúc phần này, chúng tôi trình bày bài toán, thảo luận về một hình thức cạnh tranh khác - trận đấu loại trực tiếp. Bất chấp sự đơn giản của cách diễn đạt, lời giải, bài toán hóa ra lại gây khó khăn cho những người tham gia tuyển chọn cho Olympic Nga năm 1998. Bài toán 30. Một nhóm học sinh đang chơi bóng bàn để loại nhau. Họ sắp xếp hàng đợi, người đầu tiên và người thứ hai chơi trước, sau đó mỗi người tham gia tiếp theo sẽ chơi với người chiến thắng ở cặp trước. Ngày hôm sau, những học sinh đó lại chơi trò loại trừ, nhưng hàng lại đi theo hướng ngược lại - từ cuối đến đầu. Chứng minh rằng có hai học sinh chơi với nhau vào ngày thứ nhất và ngày thứ hai. Lời giải. Đối thủ của người chơi cuối cùng trong ngày đầu tiên chơi với tất cả những người đứng sau anh ta trong hàng đợi. Anh ấy chơi trận đầu tiên với một trong số họ vào ngày thứ hai.

Một vài điều nữa bài toán

Trong các vấn đề dưới đây, theo quy luật, bạn cần tìm hiểu xem liệu có thể chọn một tập hợp con người chơi từ một giải đấu nhất định có một số thuộc tính hay không. Một số bài toán này chưa được giải quyết. Bài toán 31. a) Chứng minh rằng trong một giải đấu không có kết quả hòa, trong n người tham gia có thể đánh số họ sao cho người thứ nhất thắng người thứ 2, người thứ 2 thắng người thứ 3,…, (n – 1)thần thứ n và người thứ nhất thắng người thứ n. b) Chứng minh rằng trong một giải đấu không có kết quả hòa, hoặc có một chu kỳ bao gồm tất cả những người tham gia, hoặc có thể chia những người tham gia thành hai nhóm sao cho bất kỳ người chơi nào của nhóm thứ nhất đánh bại bất kỳ người chơi nào của nhóm thứ hai. Bài toán 32. Không có trận hòa nào trong giải đấu vòng tròn có $2^{N}$ người tham gia. Chứng minh rằng tồn tại một dãy N+1 người tham gia, mỗi người đều đánh bại tất cả những người tiếp theo.