Liệu thuyền của chúng ta có tồn tại được không?

42

KVANT 2008/№4

đến điểm giống nhau) một tam giác không vuông có thể cắt thành năm tam giác đồng dạng.

Hình 9

Vì vậy, bài toán được đặt ở đầu bài viết đã được giải quyết hoàn toàn. Hãy tóm tắt nó lại. Có thể cắt các hình sau đây thành n hình tam giác giống hình ban đầu: g với n = 2, 3 – bất kỳ tam giác vuông nào và không có tam giác nào khác; g với n = 4 và n ³ 6 – tam giác bất kỳ; g với n = 5 – bất kỳ tam giác vuông nào cũng như tam giác có các góc $120^\circ, 30^\circ, 30^\circ$. Bài tập 1. Đối với tam giác vuông, kết quả tính theo bài toán 3. Đối với tam giác cân và tam giác đều, hiển nhiên: hãy tìm chiều cao. Ngược lại, cắt hình tam giác thành hai hình giống nhau. Chúng có hình chữ nhật (tương tự lời giải bài toán 3). Hai góc không cắt bằng nhau (tức là tam giác cân hoặc tam giác đều) hoặc bằng hai góc nhọn khác nhau của một tam giác vuông. Khi đó tổng của chúng là $90^\circ$ và tam giác ban đầu là góc vuông. Bài tập 2. a) Chia mỗi cạnh của tam giác thành n phần bằng nhau. Qua các điểm chia ta vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác. b) Tương tự như bài tập 1, ta thấy các tam giác nhỏ (thu được bằng cách cắt) là vuông góc và có một cạnh chung. Vì các hình tam giác bằng nhau nên hai chân thứ hai cũng bằng nhau. Điều này có nghĩa là trong tam giác ban đầu, một trong các đường cao là đường trung tuyến, tức là các cạnh liền kề bằng nhau. c) Từ lời giải mục b) xét đến bài toán 3 rõ ràng tam giác đó là tam giác cân và vuông. Một hình tam giác như vậy rõ ràng thừa nhận việc cắt cần thiết.

Bài tập 3. Đáp số tương tự như bài tập 1: được rồi, tam giác cân và tam giác đều và chỉ chúng thôi. Đối với những hình tam giác như vậy, việc cắt thành ba hình tam giác giống nhau là rõ ràng so với hình trước. Ngược lại, hãy cắt hình tam giác thành ba hình giống nhau. Nếu cả ba góc của nó đều bị cắt thì chúng ta thu được cấu hình với hình 8; suy luận như phần b) lời giải bài toán 9, ta thu được tam giác đều. Nếu một trong các góc không bị cắt thì theo lý luận như trong lời giải bài toán 4 và 3, chúng ta thấy rằng các hình tam giác nhỏ là vuông góc và một góc nữa của tam giác ban đầu không bị cắt. Khi đó một trong các góc không cắt là góc vuông hoặc hai góc như vậy bằng nhau (và tam giác là cân hoặc đều), hoặc chúng bằng hai góc nhọn khác nhau của một tam giác nhỏ. Trong trường hợp sau, tổng của chúng là $90^\circ$ và tam giác ban đầu là vuông góc. Giá trị duy nhất còn lại chưa được khám phá là: n = 5. Không phải mọi tam giác đều có thể cắt thành 5 cặp tương tự nhau $треугольников.^{3}$ Từ bài tập 1 và bài toán 3, rõ ràng là tất cả các tam giác vuông, tam giác cân và tam giác đều đều phù hợp: chúng ta cắt chúng thành hai hình chữ nhật giống nhau, và sau đó chúng ta cắt một trong số chúng thành bốn hình tương tự nhau. Lưu ý rằng tam giác có hình 9 cũng là tam giác cân. Tuy nhiên, bài viết của C.A.Jones, P.Jones và A.B.Bolt nêu trên cho thấy sáu hình tam giác không cân và không vuông có thể cắt thành 5 cặp hình tam giác giống nhau. Không rõ liệu danh sách này có thể được mở rộng hay không. Có lẽ một trong những độc giả quan tâm sẽ có thể chứng minh (hoặc bác bỏ) điều này. Tác giả xin cảm ơn S.V. Markelov để biết thông tin về bài viết này và một số ấn phẩm khác nêu trên.

3 Trong «Kvant» số 7 năm 1990, bài toán A. Soifera (M1234) về chủ đề này đã được xuất bản (và hai trong số lời giải của bà đã được A. Soifer và N. Vasiliev xuất bản ở số 12 trong cùng năm).

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA”

Liệu thuyền của chúng ta có tồn tại được không?

S. BOGDANOV, O. POPOV, D. TARASOV

NHIỀU NGƯỜI TRONG CHÚNG TÔI LÀM TÀU THUYỀN NHƯ CON TRAI - từ ván, thanh, hộp, và đôi khi từ vỏ quả óc chó hoặc giày cao su cũ. Chúng hóa ra rất khác nhau: đôi khi nhẹ nhàng và nhanh nhẹn, giống như những chiếc ca nô của Ấn Độ, đôi khi nặng nề và vụng về, giống như những chiếc tatu cổ đại. Một số hoàn toàn khó coi, chỉ nổi ở một bên, có danh sách hoặc thậm chí bị lật úp. Ngoài ra còn có nhiều cuốn sách khác nhau vẽ những con tàu đẹp tuyệt vời với hệ thống giàn phức tạp, thân tàu kiêu hãnh và đầy đủ thiết bị chèo thuyền. Cuối cùng, có một khóa học cơ khí tại trường đại học - với sự đơn giản tinh tế của các công thức và công thức cô đọng, phác thảo nghiêm ngặt thực tế và ranh giới có thể xảy ra: “Con tàu ổn định nếu siêu tâm nằm phía trên trọng tâm”. Mọi thứ đều dựa trên bằng chứng, rõ ràng và dễ hiểu, đồng thời các thuật toán và nguyên tắc tính toán để cải thiện thân tàu, các đường viền, sống tàu và khung của chúng đều rõ ràng. Chưa hết, điều thu hút chính là khoảng cách xa xôi, khi mọi thứ đều ở phía trước và dù mơ hồ và đầy sương mù nhưng mọi thứ đều có thể xảy ra. Khi cảm giác tự hào với tư cách là một bậc thầy, một người có chuyên môn vẫn chưa thay thế được niềm vui khôn tả từ những khám phá bất ngờ trong những điều đơn giản, bằng những điều bình thường… Và những điều bình dị vẫn làm nảy sinh những bất ngờ, những khám phá nho nhỏ. Và đôi khi chúng cho phép bạn nhìn sự phức tạp theo một cách mới. Thuyền của chúng tôi. Ví dụ, chúng ta hãy xem xét một khối dài có mặt cắt ngang hình chữ nhật - tại sao không phải là mô hình một con tàu, bởi vì đây là phần cơ bản của thân tàu, phần còn lại có thể được tưởng tượng và sau đó hoàn thành. Như thường lệ, ngay cả để đơn giản, chúng ta sẽ coi khối này có chiều dài vô hạn (hoặc, như người đóng tàu sẽ nói, chúng ta sẽ từ chối xem xét độ cắt và hệ số dọc có thể có- Hình 1

49

Thế Vận Hội

3. Trên các cạnh AB và BC của tam giác ABC lần lượt chọn các điểm K và M sao cho KM || AC. Các đoạn AM và KS cắt nhau tại điểm O. Biết AK = AO và KM = MC. Chứng minh rằng AM = KB. M. Murashkin

4. Giải đấu có 20 vận động viên tham gia, được giám định bởi 10 trọng tài. Mỗi đấu thủ đấu với nhau một lần và mỗi trận đấu được điều hành bởi đúng một trọng tài. Sau khi kết thúc mỗi trận đấu, cả hai thí sinh chụp ảnh chung với trọng tài. Một năm sau giải đấu, người ta đã tìm thấy một chồng tất cả những bức ảnh này (trong bức ảnh không rõ các cầu thủ là ai và ai là trọng tài). Hóa ra không phải ai cũng có thể được định nghĩa là vận động viên hay trọng tài. Có thể có bao nhiêu người như vậy? B.Frenkin

5. Đặt 9 điểm trên mặt phẳng sao cho không có 4 điểm nào thẳng hàng nhưng trong 6 điểm bất kỳ có 3 điểm nằm trên cùng một đường thẳng. (Trên hình vẽ tất cả các đường thẳng chứa ba điểm được đánh dấu.) A. Hakobyan

6. Người chơi có M đồng vàng và N đồng bạc. Vào đầu mỗi vòng, người chơi đặt cược một số xu vào màu đỏ, một số vào màu đen (bạn không cần phải đặt cược bất cứ thứ gì vào một trong các màu, một số xu không cần phải đặt cược ở bất kỳ đâu). Cuối mỗi vòng, nhà cái thông báo một trong các màu đã thắng. Nhà cái đưa ra mức cược màu thắng cho người chơi, nhân đôi số xu mỗi loại và tự mình đặt cược màu thua. Người chơi muốn có chính xác gấp ba lần số xu thuộc loại này so với loại khác (đặc biệt, anh ta sẽ hài lòng khi hoàn toàn không có tiền). Ở mức M và N nào thì người chia bài sẽ không thể ngăn cản anh ta? A. Chebotarev

lớp 9

1. Hai đội KVN tham gia một trò chơi gồm bốn phần thi. Đối với mỗi cuộc thi, mỗi giám khảo trong số sáu giám khảo cho điểm - một số nguyên từ 1 đến 5; máy tính tìm điểm trung bình số học của cuộc thi và làm tròn đến phần mười gần nhất. Người chiến thắng được xác định bằng tổng của bốn giá trị mà máy tính thu được. Phải chăng tổng số điểm do ban giám khảo đưa ra sẽ lớn hơn của đội thua so với đội thắng? A. Gorbachev

2. Một người đi xe đạp đi dọc theo đường vành đai, chuyển động theo một hướng. Mỗi ngày anh lái xe 71 km và dừng lại qua đêm bên đường. Có một vùng dị thường dài 71 km trên đường. Nếu một người đi xe đạp dừng lại qua đêm ở khoảng cách một km tính từ ranh giới của khu vực, anh ta sẽ thức dậy ở vị trí đối diện của khu vực, cách ranh giới kia một km. Chứng minh rằng dù người đi xe đạp bắt đầu cuộc hành trình của mình ở đâu thì sớm hay muộn anh ta cũng sẽ ngủ hoặc thức dậy ở nơi này. G. Kolyutsky

3. Gọi AL là phân giác của tam giác ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác này, D là điểm trên cạnh AC sao cho AD = AB. Chứng minh rằng AO và LD vuông góc với nhau. R.Zhenodarov

4. Chúng ta hãy gọi một biến chứng của một số bằng cách thêm một chữ số vào đầu, ở cuối hoặc giữa hai chữ số bất kỳ của nó. Có số tự nhiên nào mà từ đó

Không thể có được một hình vuông hoàn hảo với hàng trăm biến chứng? A. Gorbachev

5. Vasya có 100 thẻ ngân hàng. Vasya biết rằng một trong các thẻ có 1 rúp, thẻ còn lại có 2 rúp, v.v., thẻ cuối cùng có 100 rúp, nhưng anh ta không biết thẻ nào có bao nhiêu tiền. Vasya có thể đưa thẻ vào máy ATM và yêu cầu một số tiền nhất định. ATM sẽ phân phát số tiền cần thiết nếu có trong thẻ, không phân phối bất cứ thứ gì nếu không có số tiền đó trong thẻ và ăn thẻ trong mọi trường hợp. Tuy nhiên, ATM không hiển thị số tiền trong thẻ. Số tiền lớn nhất Vasya có thể được đảm bảo nhận được là bao nhiêu? I. Mitrofanov

6. Chứng minh rằng có một hình lồi giới hạn bởi các cung tròn, có thể cắt thành nhiều phần và từ đó có thể gấp lại hai hình lồi giới hạn bởi các cung tròn. I. Ivanov-Pogodaev, A. Malistov

lớp 10

1. Khán phòng có hình lục giác đều, cạnh 3 m. Mỗi góc được lắp một đồng hồ đo giật để xác định số học sinh đang ngủ ở khoảng cách không quá 3 m. Có bao nhiêu học sinh đang ngủ trong lớp học, nếu tổng số chỉ của đồng hồ đo tốc độ là 7? A. Kaibhanov

2. Andrey và Boris đang chơi trò tiếp theo. Ban đầu có một robot trên trục số tại điểm p. Đầu tiên, Andrey cho biết khoảng cách mà robot sẽ di chuyển. Sau đó, Boris chọn hướng mà rô-bốt di chuyển theo khoảng cách này, v.v. Với p, Andrey có thể đảm bảo rằng trong một số hữu hạn bước di chuyển, rô-bốt sẽ đến một trong các điểm 0 hoặc 1, bất kể hành động của Boris là gì? D. Baranov

3. Tất cả các số nguyên từ –33 đến 100 đều được đặt theo một thứ tự nào đó và tổng của hai số liền kề đã được xem xét. Hóa ra không có số 0 nào trong số đó. Sau đó, với mỗi tổng như vậy, chúng tôi tìm thấy một số nghịch đảo của nó. Các số kết quả đã được thêm vào. Kết quả có thể là một số nguyên? I. Bogdanov

4. Chứng minh rằng nếu một đa thức nào đó có hệ số nguyên lấy giá trị tại k điểm nguyên trong số các số từ 1 đến k – 1 thì với k ³ 6 các giá trị này bằng nhau. M. Malkin

5. Các đường cao AA¢ và CC¢ của tam giác nhọn ABC cắt nhau tại điểm H. Điểm $B_{0}$ là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh rằng giao điểm của các đường thẳng đối xứng $BB_{0}$ và $HB_{0}$ lần lượt theo các phân giác của các góc ABC và ANS nằm trên đường thẳng A ¢ C ¢. A. Zaslavsky

6. Các số tự nhiên được tô bằng N màu. Có vô số số lượng của mỗi màu. Biết rằng màu của nửa tổng của hai số khác nhau cùng chẵn lẻ chỉ phụ thuộc vào màu của các số hạng (ví dụ nửa tổng của màu xanh và màu đỏ luôn có màu vàng). a) Chứng minh rằng nửa tổng các số chẵn lẻ cùng màu luôn được sơn cùng một màu. b) Với N thì có thể tô màu như vậy? A. Shapovalov