Bài toán M2111—M2115; F2118—F2122

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này phải được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 3 năm 2009 đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 6–2008” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2111” hoặc “F2118”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng là [email protected] và [email protected]. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2112 và M2115 đã được cung cấp tại Olympic Toán học Quốc tế XLIX và bài toán M2113 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XXIX.

Bài toán M2111 – M2115, F2118 – F2122

M2111. Một trong những ô của dải ca rô vô tận được tô màu. Ban đầu, con chip ở cách ô màu một khoảng n ô. Một con súc sắc được tung ra và nếu k điểm được tung ra ( k O { 1,2,3,4,5,6 }), con chip sẽ di chuyển k ô vuông về phía ô vuông màu. Quá trình tiếp tục cho đến khi chip đi vào ô vuông màu (thắng) hoặc cho đến khi đi qua ô vuông màu (thua). Tại số tự nhiên n nào thì xác suất trúng $p_{n}$ lớn nhất? Tìm giá trị xác suất cao nhất này. V. Letsko

M2112. Gọi H là giao điểm các đường cao của tam giác nhọn ABC. Một đường tròn tâm ở giữa cạnh BC đi qua điểm H cắt đường thẳng BC tại các điểm $A_{1}$ và $A_{2}$. Tương tự, đường tròn có tâm tại trung điểm cạnh CA đi qua điểm H cắt đường thẳng CA tại các điểm $B_{1}$ và $B_{2}$, đường tròn có tâm tại trung điểm cạnh AB đi qua điểm H cắt đường thẳng AB tại các điểm $C_{1}$ và $C_{2}$. Chứng minh rằng các điểm $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2}$ cùng thuộc một đường tròn. A. Gavrilyuk

M2113. Một đa thức bậc n >1 có nhiều nghiệm thực $x_{1}, x_{2}, K, x_{n}$ và đạo hàm của nó có các nghiệm $y_{1}, y_{2}, K, y_{n} -_{1}$. Chứng minh rằng trung bình số học của các số $x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, K, x_{n}^{2}$ lớn hơn trung bình số học của các số $y_{1}^{2}, y_{2}^{2}, K, y_{n}^{2} -_{1}$.

M. Murashkin

M2114. Chứng minh rằng có vô số số chính phương không có tận cùng bằng 0, trong đó mọi chữ số khác 0 đều là số lẻ. V. Người gửi

$М2115^{*}$. Cho tứ giác lồi ABCD có BA bằng BC. Chúng ta hãy ký hiệu các đường tròn nội tiếp của tam giác ABC và ADC lần lượt là $\omega_{1}$ và $\omega_{2}$. Giả sử có một đường tròn $\omega$ tiếp xúc với phần tiếp theo của đoạn BA ngoài điểm A, phần tiếp theo của đoạn BC ngoài điểm C và tiếp xúc với các đường thẳng AD và CD. Chứng minh rằng các tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn $\omega_{1}$ và $\omega_{2}$ cắt nhau tại đường tròn $\omega$. V.Shmarov

F2118. Xe di chuyển dọc theo một chiếc bàn nằm ngang dưới tác dụng của một sợi dây không thể giãn được buộc vào nó. Sợi dây được ném qua một khối nhỏ cố định ở độ cao H so với mặt bàn. Đầu tự do của sợi chỉ được kéo ra với tốc độ không đổi $v_{0}$, hướng theo chiều ngang. Tìm tốc độ của xe và gia tốc của nó tại thời điểm góc giữa sợi dây và đường chân trời là $45^\circ$. M. Uchitelev

F2119. Trong một ống dài chứa đầy nước, người ta làm một vách ngăn ngang bằng nút chai dày 1 cm; vách ngăn chia đường ống thành hai phần. Nếu nhiệt độ nước trong các bộ phận của đường ống chênh nhau 1 độ thì dòng nhiệt truyền qua vách ngăn là 2 J/s. Hãy thêm một vách ngăn khác - dày 2 cm, bây giờ các vách ngăn “làm nổi bật” một khoang hình trụ trong đường ống. Ở bên trái của khoang này, chúng ta sẽ duy trì nhiệt độ