Thước dài một nanomet

2

KVANT 2009/№4

CÔNG NGHỆ NANO

Thước dài một nanomet

I.YAMINSKY

Cô gái Nana và cậu bé Nono được giải thích nanomet là gì. Nana thông minh mỉm cười. Cô ấy hiểu mọi thứ. Một nanomet là một phần tỷ mét. Bạn có thể thấy sự căng thẳng ở Nono. Với một chút chậm trễ, anh ta hỏi: đồng hồ đo là gì? Và ở đây nhân vật thứ ba, vị giáo sư giàu kinh nghiệm, thể hiện tài năng sư phạm tuyệt vời. Anh ta không tỏ ra khó chịu hay phẫn nộ mà chỉ đến gần Nono và chỉ cho anh ta rằng một mét xấp xỉ khoảng cách từ sàn đến cằm của Nono. Cậu bé vui mừng vì bản thân mình cao hơn một mét. Anh ấy hiểu mọi chuyện và sẵn sàng chạy đi chơi bóng đá… Thế là bắt đầu bộ phim hoạt hình Đài Loan “Hành trình kỳ diệu của Nana và Nono”, dành riêng cho câu chuyện nổi tiếng về công nghệ nano. Và sự khởi đầu này của phim hoạt hình không phải ngẫu nhiên. Công nghệ nano dựa vào các phép đo, trong đó nanomet đóng vai trò then chốt. Đó là nanomet sẽ được thảo luận trong bài viết.

Một chút lịch sử

Giới thiệu

Mọi người đều biết rằng mét là đơn vị đo chiều dài cơ bản. Nó được giới thiệu ở Pháp vào thế kỷ 18 và được xác định là một phần bốn mươi triệu chiều dài của đường trung tuyến Paris. Năm 1799, chuẩn mét đầu tiên được chế tạo từ hợp kim bạch kim và iridium. Khi chọn đồng hồ đo làm đơn vị chiều dài, chúng tôi đặc biệt được hướng dẫn bởi những cân nhắc quan trọng như tính dễ sử dụng

Ở Tokyo, trước một phòng triển lãm khổng lồ, nơi tổ chức triển lãm công nghệ nano quốc tế hàng năm, một chiếc cưa dài bốn mươi mét đã được chế tạo, một nửa đào xuống đất. Đây là tượng đài tưởng nhớ một người thợ vĩ đại của công nghệ thông thường. Công nghệ nano được thiết kế để thiết kế các thiết bị và vật liệu mới, lắp ráp chúng, giống như trong một bộ xây dựng, từ các nguyên tử và phân tử.

Bài viết này được xuất bản trong khuôn khổ thỏa thuận với Tập đoàn Nhà nước RUSNANOTECH.

Khi đo lường không có tiền tố “nano”

Từ xa xưa, hầu hết các thước đo chiều dài đều được xây dựng dựa trên sự tiện lợi khi sử dụng. Ví dụ, sazhen cũ của Nga, hay sazhen thẳng, bằng khoảng cách từ đầu ngón tay của một bàn tay duỗi thẳng theo chiều ngang đến đầu ngón tay của bàn tay duỗi thẳng kia. Theo sắc lệnh của Nicholas I, vào năm 1835 các thước đo chiều dài của Nga và Anh đã được đưa vào sử dụng phù hợp. Ông quyết định rằng một sải phải bằng bảy feet Anh (từ foot Anh - foot). Khi chuyển đổi sang mét, hóa ra 1 sải thẳng bằng 2,1336 mét. sải xiên là một đơn vị đo chiều dài cũ khác của Nga, bằng 2,48 mét. Ban đầu, một khoảng cách xiên được định nghĩa là khoảng cách từ các ngón chân của bàn chân trái đến đầu các ngón tay của bàn tay phải mở rộng theo đường chéo. Đây là những biện pháp dễ sử dụng. Tuy nhiên, bằng cách sử dụng chúng, chúng tôi thu được… độ dài khác nhau. Sự cần thiết và tầm quan trọng của các phép đo chính xác và chính xác đã được Dmitry Ivanovich Mendeleev, người tiên phong không chỉ trong việc tạo ra bảng tuần hoàn các nguyên tố, hiểu rõ. Ông thấy rõ rằng trong một xã hội có nền sản xuất công nghiệp ngày càng phát triển, vấn đề đo lường và đo lường có tầm quan trọng then chốt. Sự phát triển của giao thông đường sắt, việc thành lập các nhà máy và nhà máy cũng như việc Nga gia nhập nền kinh tế thế giới đòi hỏi sự thống nhất về đo lường lời giải bài toán. Cần thiết

3

CÁI THƯỚC KẺ

Những nỗ lực nghiêm túc đã được thực hiện để đảm bảo rằng kilôgam, gam, mét, cm, milimét và inch đều giống nhau ở mọi nơi. Từ năm 1892 cho đến cuối đời, D.I. Mendeleev đứng đầu tổ chức đo lường khoa học đầu tiên ở Nga - Phòng Cân đo Chính. Nhiệm vụ của nó là đảm bảo tính thống nhất của các biện pháp và tạo ra các phương pháp đo lường đáng tin cậy và tiêu chuẩn của chúng, cũng như đảm bảo tính đồng nhất và chính xác của các biện pháp và dụng cụ đo lường được sử dụng. Bây giờ nó là Viện nghiên cứu đo lường toàn Nga, được đặt theo tên của D.I. Mendeleev. Phòng, và bây giờ là viện, được đặt tại St. Petersburg. Nhờ những nỗ lực của D.I. Mendeleev, vào năm 1900 tại Moscow, tại Văn phòng khảo nghiệm quận Moscow, Lều xác minh các biện pháp và trọng lượng thương mại số 3 đã được thành lập. Bây giờ nó là Viện nghiên cứu dịch vụ đo lường toàn Nga (một doanh nghiệp liên bang). Biểu tượng của nó là chữ M (chữ cái đầu tiên trong từ METROLOGY), bao quanh địa cầu và đồng thời dựa vào nó. Biểu tượng đẹp đẽ để cho thấy đo lường quan trọng như thế nào đối với tất cả chúng ta.

Truyền thuyết về yến mạch và hơn thế nữa…

“Nếu bạn mua hai pound yến mạch ở St. Petersburg, sau đó mang chúng lên xe trượt tuyết đến Moscow và cân yến mạch ở đó và phát hiện ra rằng chiếc cân chỉ hiển thị một pound rưỡi, thì sẽ có sự đau buồn. Nhưng nếu bạn là một nhà kinh doanh dám nghĩ dám làm, thì nỗi đau buồn có thể được giải quyết. Bạn mua 100 pound yến mạch ở Moscow, và ở St. Petersburg bạn bán chúng với giá 133 và một ít pood. Để trở thành một nhà giao dịch dám nghĩ dám làm, bạn cũng sẽ phải nhìn vào sự khác biệt trong giá yến mạch ở Moscow và St. Petersburg. Hãy tính xem cần lấy bao nhiêu yến mạch để nuôi ngựa. Và đừng quên khấu hao thiết bị - hao mòn giày ngựa và xe trượt tuyết.

“Lịch sử” với một inch

Bạn phải cẩn thận với nanomet. Nếu không thì đủ thứ chuyện có thể xảy ra, giống như chuyện đã xảy ra với đồng hồ đo. Tuy nhiên, thậm chí không phải bằng một mét mà bằng một inch. Nhân tiện, vì lý do nào đó mà nanoinch không phổ biến bằng nanomet. Có lẽ là do một nanoinch nhỏ hơn gần 40 lần so với nanomet và nhỏ hơn một bậc độ lớn so với kích thước của một nguyên tử. Nhưng hãy quay lại câu chuyện đã hứa với inch. Điều này xảy ra trong cuộc chạy đua không gian lớn giữa Liên Xô và Hoa Kỳ. Cả hai siêu cường đều vội vàng đứng đầu. Có lẽ, để đẩy nhanh quá trình chế tạo tên lửa vũ trụ, người Mỹ đã chế tạo hai nửa tên lửa ở những vị trí khác nhau. Khi hai nửa ở cùng một nơi

CHIỀU DÀI

TRONG

MỘT

Nanomet

giới thiệu và ứng dụng. Ngày nay, ở thế kỷ 21, nhiều nghiên cứu được thực hiện ở cấp độ nano. Phương pháp sản xuất trong đó vật liệu và thiết bị được thiết kế và lắp ráp từ các nguyên tử và phân tử riêng lẻ thường được gọi là công nghệ nano. Đối với công nghệ nano

Phòng Cân Đo - Viện Nghiên cứu Đo lường mang tên. D.I. Mét của Mendeleev là một đơn vị đo chiều dài quá lớn. Một đại lượng phù hợp ở đây có thể là nanomet. Từ quan điểm của toán học, mọi thứ đều hiển nhiên: 1 nm $= 10^{-} 9$ m, và có vẻ như không có gì đơn giản hơn. Tuy nhiên, trong thực tế lại nảy sinh những vấn đề phức tạp. Và việc đầu tiên trong số đó là làm thế nào để tạo ra một chiếc thước có khoảng cách giữa các điểm dài một nanomet. Thật vậy, mét là đơn vị cơ bản phổ biến để đo độ dài và có tiêu chuẩn riêng. Nanomet xuất hiện dưới dạng đơn vị chiều dài lấy từ mét. Làm thế nào để tạo ra một tiêu chuẩn thứ cấp - cho một nanomet? Vấn đề này thuộc lĩnh vực đo lường nano và có tầm quan trọng cơ bản đối với công nghệ nano. “Nếu bạn muốn sáng tạo, hãy học cách đo lường,” đây là lời của nhà khoa học nổi tiếng người Nga Dmitry Ivanovich Mendeleev, người đã có đóng góp to lớn trong việc tạo ra dịch vụ đo lường ở Nga. Lời của ông hoàn toàn đúng đối với công nghệ nano. Vì vậy, câu chuyện tiếp theo sẽ là về cách chế tạo một chiếc thước đo độ dài ở phạm vi nano.

Làm thế nào để chia một mét cho một tỷ nanomet?

Công nghệ nano là nghệ thuật tạo ra các sản phẩm mới có kích thước trong phạm vi nanomet. Nếu bạn nghiêm túc tham gia vào việc sản xuất những sản phẩm như vậy, thì bạn cần phải thực sự giỏi trong việc đo những nanomet tương tự này. Để làm điều này, bạn không chỉ cần một tiêu chuẩn thuận tiện mà còn cần một tiêu chuẩn rõ ràng về độ dài. Có vẻ như mọi thứ đều đơn giản: để có được một nanomet, bạn cần cắt một mét tiêu chuẩn thành một tỷ phần bằng nhau. Nếu sau đó một tỷ người nhận được mỗi người một nanomet, phân tán đến các khu vực khác nhau trên thế giới, rồi sau một thời gian dài, tập hợp lại ở một nơi, áp dụng tất cả nanomet của họ cho nhau và đảm bảo rằng các nanomet của họ có cùng chiều dài, điều đó sẽ thật tuyệt. Và chữ “tuyệt vời” này sẽ có nhiều ý nghĩa. Đầu tiên, đồng hồ đo lần đầu tiên được cắt thành các phần chính xác bằng nhau. Thứ hai, trong quá trình di chuyển, nanomet không bị mòn, không bị sờn hay giãn. Thứ ba, những nanomet như vậy có thể được sử dụng làm thước đo chiều dài và hai người đo cùng một vật thể có nanomet “khác nhau” sẽ nhận được kết quả như nhau. Tuy nhiên, điều này sẽ không thể thực hiện được,

5

CÁI THƯỚC KẺ

Virus khoai tây có thể gây ra nhiều rắc rối cho cây thuốc lá, cà chua và các loại cây trồng khác. Thực vật, giống như chúng ta, dễ bị bệnh do virus. May mắn thay cho chúng ta, virus thực vật không gây nguy hiểm gì cho con người. Ít nhất có thể nói rằng chưa từng có ai chứng minh được điều ngược lại. Vì vậy, chẳng hạn, chúng ta có thể ăn khoai tây bị nhiễm vi rút khoai tây X một cách an toàn. Chữ X ở đây chỉ loại virus. Ngoài ra còn có virus khoai tây A và virus khoai tây B. Virus khoai tây X, giống như virus khảm thuốc lá, có hình dạng giống sợi chỉ, chỉ hẹp hơn và dài hơn: đường kính 14 nm với chiều dài 1 micron. Nhân tiện, một đề xuất đã được đưa ra là sử dụng vi rút khảm thuốc lá làm tiêu chuẩn 18 nanomet và vi rút khoai tây X làm tiêu chuẩn 14 nanomet.

Hệ thống định vị hiện đại

Hệ thống định vị GPS và GLONASS hiện đại hoạt động với độ chính xác trong việc đo tần số và theo đó là khoảng thời gian với sai số tương đối là $1 \cdot 10^{-} 13$. GPS là tên viết tắt của các từ tiếng Anh Hệ thống định vị toàn cầu, tức là hệ thống định vị toàn cầu. Tên đầy đủ của hệ thống định vị vệ tinh này là NAVSTAR GPS (NAVigation Satellites cung cấp Time And Range - vệ tinh dẫn đường cung cấp các phép đo thời gian và khoảng cách; hệ thống định vị toàn cầu). Hệ thống này được Bộ Quốc phòng Mỹ tạo ra nhằm xác định chính xác tọa độ và tốc độ của các vật thể. Hệ thống định vị vệ tinh của Nga là Hệ thống vệ tinh dẫn đường toàn cầu hay gọi tắt là GLONASS. Nếu bạn có bộ thu GPS ở nhà thì bạn có thể cân nhắc việc buộc một milimet vào một mét bằng cách sử dụng tham chiếu tần số có sẵn công khai này và kiểm tra vị trí của các rãnh trên thước đo ở nhà của bạn bằng

CHIỀU DÀI

TRONG

MỘT

Nanomet

Quy luật của hiệu ứng áp điện nghịch đảo rất đơn giản - sự thay đổi kích thước của tấm áp điện $\Delta D$ tỷ lệ thuận với điện áp đặt vào $\Delta U : \Delta D = d_{33} \Delta U$, trong đó hệ số tỷ lệ $d_{33}$ là mô-đun áp điện. Việc sử dụng hai số trong chỉ số mô-đun cho thấy rằng trong trường hợp chung, chúng ta có thể tác dụng ứng suất theo một trong ba hướng (dọc theo trục tọa độ X, Y hoặc Z) và sự thay đổi về kích thước có thể được quan sát theo bất kỳ hướng nào khác. Trong trường hợp của chúng ta, hướng của điện trường trùng với hướng chuyển động nên sử dụng hai số 3 giống nhau. Dễ dàng tính ra rằng module áp điện có tổng cộng 9 thành phần: $d_{11}, d_{12}, d_{13}$, … $, d_{33}$. (Các đại lượng vật lý như vậy được gọi là tensor bậc hai.) Hãy lấy gốm có mô-đun áp điện $d_{33} = = 200 \cdot 10^{-} 12$ Cl N $= 200 \cdot 10^{-} 12$ m V. Nếu chúng ta đặt một điện áp 5 V vào các điện cực, thì sự thay đổi kích thước của tấm sẽ là 1 nm. Lưu ý rằng sự thay đổi kích thước của tấm áp điện không phụ thuộc vào độ dày của tấm áp điện. Và điều này rất tốt, vì khi tạo ra một tiêu chuẩn về độ dài, chúng ta không phải suy nghĩ về độ dài của tiêu chuẩn đó. Do đó, đối với nanomet, chúng ta đã có thể xây dựng luận điểm chính: nanomet là khoảng cách mà kích thước của một tấm làm bằng gốm áp điện với mô-đun áp điện $d_{33} = 200 \cdot 10^{-} 12$ Cl N $= 200 \cdot 10^{-} 12$ m V thay đổi khi đặt điện áp 5 V vào các điện cực của nó. Trong tiêu chuẩn của chúng tôi, chúng tôi chỉ sử dụng tấm áp điện và pin như vậy. Nếu pin có điện áp lớn hơn 5 V, thì chúng ta sẽ cần hai điện trở, với sự trợ giúp của chúng, chúng ta sẽ tạo ra một bộ chia điện áp có đầu ra 5 V. Và nếu chúng ta tìm thấy gốm áp điện có giá trị khác của mô-đun áp điện, thì bằng cách chọn điện áp cần thiết trên bộ chia, chúng ta cũng có thể đáp ứng điều kiện $\Delta D = 1$ nm cho trường hợp này.

Có những thủ thuật nhỏ trong mọi hoạt động kinh doanh. Việc sản xuất nanomet của chúng tôi có những “thủ thuật” riêng. Đây là cái đầu tiên. Nếu chúng ta sử dụng một tấm áp điện làm bằng gốm áp điện có mô-đun áp điện $d_{33} = 200 \cdot 10^{-} 12$ Cl N thì sau mỗi lần đặt điện áp 5 V, kích thước của tấm sẽ thay đổi 1 nm. Giữa các lần sử dụng điện áp, điều quan trọng là không được quên làm chập mạch các tấm bản bằng dây dẫn. Piezoceramics là chất cách điện rất tốt: một khi được áp vào các tấm, điện áp sẽ duy trì trên chúng trong một thời gian dài. Điều này có thể kéo dài hàng giờ hoặc hàng ngày, tất cả phụ thuộc vào độ ẩm của không khí và độ sạch của bề mặt hồ sơ. Bằng cách nối tắt các điện cực của tấm bằng một dây dẫn, chúng ta cho phép điện tích âm chạy xuống dây dẫn sang tấm đối diện để điện áp trên tấm bằng 0 và tấm trở về kích thước ban đầu. Và một điều “chuyện vặt” quan trọng nữa. Điện áp có thể được đặt vào để tấm áp điện trở nên dày hơn hoặc để tấm trở nên mỏng hơn. Nói cách khác, pin có thể được kết nối bằng dấu cộng với điện cực trên hoặc có thể được kết nối bằng dấu cộng với điện cực dưới. Trong cả hai trường hợp, tấm sẽ thay đổi kích thước thêm 1 nm. Có sự khác biệt trong cách áp dụng điện áp? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi cần cho bạn biết gốm áp điện được tạo ra như thế nào. Piezoceramic được làm từ bột, được nung ở nhiệt độ cao và tốt nhất là ở áp suất cao. Điều này tạo ra một vật liệu rắn, ở quy mô vi mô bao gồm

6

KVANT 2009/№4

từ từng hạt riêng lẻ. Trong mỗi hạt, các điện tích dương hơi dịch chuyển so với các điện tích âm (nói chung, các hạt trung hòa về điện) và sự dịch chuyển điện tích này làm cho hạt có mômen lưỡng cực. Khi tiếp xúc với điện trường, hạt như vậy sẽ giãn ra hoặc co lại. Trong gốm áp điện mới nướng, mô men lưỡng cực của từng hạt riêng lẻ có hướng ngẫu nhiên, hiệu ứng áp điện nghịch đảo được quan sát thấy đối với từng hạt riêng biệt và nhìn chung không có chuyển động định hướng của tấm. Trong điện trường không đổi, một số hạt sẽ giãn ra, một số sẽ nén theo hướng của điện trường, nhưng nhìn chung kích thước của mẫu gốm áp điện sẽ không thay đổi. Để gây ra chuyển động có hướng, mọi mô men lưỡng cực của từng hạt phải được định hướng theo cùng một hướng. Để làm điều này, gốm áp điện được đặt trong điện trường từ 1000 V/mm trở lên và nung nóng đến nhiệt độ khoảng $300 ^\circ$ C. Quá trình này được gọi là phân cực gốm. Gốm sứ không thể bị nung quá nóng, vì ở nhiệt độ nhất định (điểm Curie) hiệu ứng áp điện sẽ biến mất. Nếu quá trình phân cực thành công thì tất cả các hạt đều có mô men lưỡng cực hướng theo một hướng, trong khi trường phân cực sẽ kéo giãn gốm. Nếu đặt một điện trường ngược chiều vào, quá trình khử cực sẽ xảy ra, nén gốm sứ. Đây là nơi đáp số nằm trong câu hỏi của chúng tôi về cách áp dụng điện áp theo tiêu chuẩn nanomet - để gốm sứ co giãn hoặc co lại. đáp số đúng là như thế này. Nếu chúng ta muốn tránh khả năng khử cực của gốm thì điện áp phải được đặt sao cho chỉ xảy ra hiện tượng kéo dài tấm.

Chúng tôi kiểm tra nanomet và trở thành nhà đo lường nano

Piezoceramic có một số nhược điểm - phi tuyến tính, độ trễ, độ rão. Tính phi tuyến biểu hiện ở những sai lệch so với công thức đơn giản $\Delta D = d_{33} \Delta U$. Độ trễ là do “bộ nhớ” của vật liệu đối với lịch sử của điện áp đặt vào, do đó, ở cùng một điện áp đặt vào, độ giãn dài của tấm sẽ khác nhau. Do hiện tượng rão hoặc rão, độ giãn dài của gốm áp điện có thể chậm hơn điện áp đặt vào theo thời gian. Liệu những hiệu ứng này có làm giảm độ chính xác của chuẩn nanomet của chúng ta không? Thực tế là không, nếu chỉ có hai giá trị điện áp được áp dụng định kỳ nghiêm ngặt cho các điện cực tiêu chuẩn: 5 V và 0 V. Tất cả những nhược điểm của gốm áp điện - phi tuyến tính, độ trễ, độ rão - sẽ xuất hiện, nhưng sự đóng góp của chúng sẽ luôn giống nhau. Và nếu vậy, bằng cách chọn điện áp cẩn thận, chúng ta có thể đạt được độ giãn dài của tấm áp điện chính xác là một nanomet. Kết thúc câu chuyện của mình, chúng tôi lưu ý rằng nếu bạn không thể tạo ra tiêu chuẩn nanomet của riêng mình nhưng hiểu mọi thứ trong bài viết này, thì chúng tôi có thể cho rằng bạn đã là một nhà đo lường nano thành đạt. (Xét cho cùng, không phải nhà đo lường nano nào cũng sử dụng nhà đo nano tự chế.) Nếu bạn chịu khó tìm ra một tấm áp điện và chế tạo ra máy đo nano của riêng mình, thì chúng tôi có thể nói rằng bạn là nhà đo lường nano tiên tiến nhất. Một câu hỏi rất quan trọng vẫn nằm ngoài phạm vi của bài viết: làm thế nào để đảm bảo rằng tấm của chúng ta kéo dài chính xác một nanomet? Nói cách khác, làm thế nào nanomet được tạo ra có thể được liên kết với chuẩn chính của máy đo? Thật không may, thủ tục này không thể được thực hiện ở nhà. Bạn cần liên hệ với dịch vụ đo lường và ở đó, sử dụng giao thoa kế, họ sẽ có thể xác định chính xác chuyển động của tấm. Làm thế nào điều này được thực hiện là một chủ đề cho một bài viết khác.

độ chính xác cao hơn một chút so với 1%. Vẫn chưa thể tiến gần hơn đến nanomet bằng hệ thống GPS.

Kinh tế chế tạo nanomet

Có lẽ bạn vẫn còn một câu hỏi chưa được giải đáp về việc tìm tấm áp điện ở đâu. Trên thực tế, những hồ sơ như vậy thực sự bao quanh chúng ta trong cuộc sống hàng ngày. Chuông trong đồng hồ, điện thoại di động và máy tính thường được làm từ các tấm áp điện. Đúng, họ có một điểm đặc biệt. Ở đó, các tấm áp điện được dán vào một tấm kim loại đàn hồi. Kết quả là, khi kích thước của tấm áp điện thay đổi, cấu trúc được dán như vậy sẽ bị uốn cong thêm và tâm của cấu trúc sẽ di chuyển một khoảng cách lớn hơn nhiều so với tấm tự do. Do đó, nếu chúng ta muốn đạt được độ dịch chuyển 1 nm, thì tốt hơn là chỉ sử dụng một tấm áp điện - nếu không thì điện áp đặt vào sẽ nhỏ hơn đáng kể và độ ổn định của hệ thống như vậy sẽ kém hơn nhiều. Ngoài ra, do sự khác biệt về hệ số nhiệt độ của gốm áp điện và kim loại, cấu trúc được dán sẽ bị uốn cong thêm khi nhiệt độ môi trường thay đổi. Bạn có thể tìm thấy tấm áp điện phù hợp ở đâu? Hóa ra chúng được bán trong các cửa hàng phụ kiện điện tử. Chi phí của một bản ghi là khoảng 10 rúp. Sau đó, bạn có thể tính toán ngân sách cho việc phát triển tiêu chuẩn nanomet của chúng tôi: pin - 40 rúp, dây điện - 8 rúp, tấm áp điện - 10 rúp, tìm kiếm và đặt mua tấm trên Internet (trả tiền cho giao thông) - 35 rúp, giao tấm áp điện (nếu bạn không tự đi) - 150 rúp, công việc của chính bạn - hãy tự đánh giá. Đây là tính kinh tế của việc sản xuất tiêu chuẩn một nanomet.

Thật thú vị rằng…

…nếu bạn nhìn mình trong gương, trong thời gian này, mỗi sợi tóc của bạn sẽ dài ra thêm một nanomet. …nếu một nửa thể tích của bồn chứa đường sắt chứa đầy nước từ Hồ Baikal, mực nước trong hồ sẽ giảm gần một nanomet. …một đồng xu 1 kopeck được ném xuống hồ, và mực nước tăng thêm 1 nm. Kích thước của hồ bơi là gì? …các nhà khoa học đã học được cách tạo ra những sợi chỉ vàng dày một nguyên tử. Trong trường hợp này, 3 nguyên tử vàng được gói hoàn toàn thành chiều dài 1 nanomet.

9

số học

Ví dụ 1. Tổng Minkowski của hai đoạn không song song là hình bình hành (hình1).

Hình 1

Ví dụ 2. Tổng Minkowski của hai đoạn thẳng song song là một đoạn có tổng chiều dài. Ví dụ 3. Tổng của tam giác Minkowski và một đoạn thẳng song song với một cạnh là một hình thang (hình2).

i Hãy để chúng tôi vẽ tất cả các vectơ từ gốc. Bạn sẽ nhận được cái gọi là bó vectơ chung cho cả hai đa giác. i Có thể hóa ra là hai vectơ từ bó hoa có cùng hướng. Khi đó cặp vectơ này phải được thay thế bằng tổng của chúng. i Di chuyển theo chiều kim đồng hồ, chúng ta lần lượt lấy các vectơ từ bó hoa và đặt chúng sang một bên (vectơ đầu tiên là từ một điểm được chọn tùy ý trên mặt phẳng, mỗi vectơ tiếp theo là từ điểm cuối của vectơ trước đó). Hóa ra là một đường dây bị hỏng. i Đường đa tuyến sẽ đóng lại. Nó giới hạn tổng Minkowski của đa giác K và L.

Bài toán 1. Cho K là đa giác lồi. Đảm bảo rằng K + K là đa giác K được kéo dài theo hệ số 2 theo tính đồng nhất.

Hình 2

Ví dụ 4. Một ví dụ khác là tổng của một hình ngũ giác và một hình tam giác (hình3). Trong trường hợp này là bảy-

Hình 3

hình vuông Tuy nhiên, nếu bạn xoay tam giác một chút (và để hình ngũ giác giống nhau), thì tổng sẽ là một hình bát giác, vì các cạnh song song của hình ngũ giác và tam giác sẽ không còn song song nữa. Nhìn vào các ví dụ đã cho, bạn có thể nhận thấy rằng đường đứt nét giới hạn tổng đa giác K + L được tạo thành từ các cạnh của đa giác K và L. Chính xác hơn, tổng đa giác Minkowski có thể được tính bằng thuật toán sau (hình4):

Hình 4

i Hãy biến mỗi cạnh của đa giác K và L thành một vectơ bằng cách vẽ một mũi tên trên đó. Các vectơ kết quả phải đi xung quanh đa giác theo chiều kim đồng hồ.

đa diện

Trừ đa giác

“Hãy để tôi đi gặp Nữ hoàng,” Alice nói. Tất nhiên, cô ấy thích trò chuyện với những bông hoa, nhưng làm sao họ có thể so sánh được với Nữ hoàng thực sự! - Đối với? – Rose hỏi. - Vậy là anh sẽ không bao giờ gặp được cô ấy! Tôi khuyên bạn nên đi theo hướng ngược lại!

Không thể xác định sự khác biệt Minkowski nếu bạn chỉ giới hạn bản thân ở các đa giác lồi. Thật vậy, khi được thêm vào, các đa giác không trở nên nhỏ hơn (chính xác hơn là tổng K và L chứa bản dịch song song của từng thuật ngữ - điều này có thể thấy rõ trong hình 3). Do đó, không thể trừ một đa giác lớn khỏi một đa giác nhỏ: trong trường hợp này, đa giác nhỏ sẽ chứa một bản dịch song song của đa giác lớn. Làm thế nào chúng ta có thể mở rộng lớp đa giác lồi một cách thông minh để thực hiện phép trừ? Nếu bạn sử dụng định nghĩa của một tổng và cố gắng đánh lừa nó bằng cách điều chỉnh nó thành phép trừ, thì nó sẽ chẳng mang lại điều gì tốt đẹp cả (hãy thử đi!). Có một kỹ thuật đại số phổ quát: chúng ta sẽ gọi hiệu của hai đa giác K và L là biểu thức hình thức (K – L), mà không gán cho biểu thức sau bất kỳ ý nghĩa hình học nào. Chúng ta sẽ coi hai biểu thức như vậy (K – L) và (M – N) bằng nhau khi K + N = M + L. Dễ dàng kiểm tra xem các biểu thức hình thức đó có thể được thêm vào hay không (theo quy tắc (K – L) + (M – N) = ((K + M) – (L + N)), và mỗi (K – L) có một phần tử nghịch đảo (L – K). Bạn đã gặp kỹ thuật này trước đây trong các bài học toán - khi chuyển từ số dương sang số âm hoặc từ số nguyên sang số hữu tỉ Tuy nhiên, chúng ta muốn giải quyết không phải sự khác biệt về hình thức mà là các đối tượng hình học. Tại sao lại như vậy? Thực tế là một đa giác (hoặc một khối đa diện trong không gian) có cấu trúc hình học phong phú: nó có các cạnh, các đỉnh, khái niệm về diện tích, v.v.

13

số học

i Như trước đây, bạn cần lấy kết quả của việc xếp chồng các biểu đồ này. i Như trước đây, giá trị ứng suất cạnh được kế thừa từ $( G_{1}, f_{1} )$ và $( G_{2}, f_{2} ). i$ Tuy nhiên, quy trình bổ sung không kết thúc ở đó. Bước tiếp theo là loại bỏ các cạnh và đỉnh không cần thiết. Có thể xảy ra trường hợp ứng suất của tổng $( G_{1}, f_{1} ) + ( G_{2}, f_{2} )$ trên một cạnh nào đó bằng 0. Sau đó, một cạnh như vậy phải được loại bỏ. i Sau khi loại bỏ tất cả các cạnh có ứng suất bằng 0, có thể xảy ra chính xác hai cạnh liền kề với một đỉnh (điều này có nghĩa là các cạnh này tạo thành một góc $\pi$ và ứng suất trên các cạnh này bằng nhau). Sau đó, đỉnh này phải được loại bỏ và hai cạnh kết hợp thành một. Các đỉnh không có cạnh liền kề cũng cần được loại bỏ. Kết quả là chúng ta thu được đồ thị trên một hình cầu có ứng suất khác 0. Bây giờ đã rõ cách trừ đồ thị có ứng suất. Đồ thị nghịch đảo của đồ thị (G, f) hiển nhiên là đồ thị $( G, - f )$. (Đảm bảo rằng $( G, f ) + ( G, - f )$ là biểu đồ trống!) Do đó, lấy hiệu của đồ thị $( G_{1}, f_{1} )$ và $( G_{2}, f_{2} )$ có nghĩa là lấy tổng của đồ thị $( G_{1}, f_{1} )$ và $( G_{2}, - f_{2} )$.

Bài toán 7. Chứng minh rằng mọi đồ thị lò xo trên một mặt cầu đều có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của hai đồ thị có ứng suất dương.

Bây giờ chúng ta hãy thử xây dựng một đối tượng hình học P (G, f) bằng cách sử dụng một biểu đồ có ứng suất khác 0 (nhưng bây giờ không nhất thiết là dương) (G, f) ở mọi nơi. Thuật toán lặp lại chính xác thuật toán xây dựng P(G, f) cho đồ thị có ứng suất dương. Một lần nữa, giống như Alice, chúng ta không có lựa chọn nào khác. i Gọi 1, …, k là các lực do các lò xo tạo ra ở đỉnh thứ i của đồ thị ( G, f ). Bây giờ đây là các vectơ đi theo hướng của cạnh hoặc theo hướng ngược lại, tùy thuộc vào dấu của ứng suất. Chúng tôi tin rằng việc đánh số của chúng tương ứng với thứ tự đi qua các cạnh của đồ thị theo chiều kim đồng hồ. Vì ứng suất có thể đổi dấu nên bản thân các vectơ $f_{1},^{…}, f_{k}$ có thể đi theo một thứ tự hoàn toàn khác. i Như trước đây, đối với đỉnh i, chúng ta coi mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu S. Trong mặt phẳng này, chúng ta sẽ xây dựng một đường đa tuyến khép kín, được hướng dẫn bởi quy tắc cũ. Chúng ta hãy chọn một điểm trên mặt phẳng và vẽ lần lượt các vectơ $f_{1},^{…}, f_{k}$, quay theo góc $\pi 2$ theo chiều kim đồng hồ. Điều quan trọng ở đây là chúng ta lấy các vectơ theo thứ tự các cạnh chứ không theo thứ tự các vectơ. Sẽ rất hữu ích khi xác minh rằng quy trình này mô tả chính xác việc xây dựng sai phân Minkowski của đa giác lồi. i Chúng ta sẽ làm tương tự với tất cả các đỉnh khác của đồ thị. Đối với mỗi đỉnh, chúng ta có một đa giác không lồi (một đường gãy phẳng khép kín, có thể có các điểm tự giao nhau) i Điều quan trọng là đối với các đa giác này, thuộc tính chính vẫn được đáp ứng, cho phép chúng ta đặt chúng lại với nhau - đối với các đa giác tương ứng

đa diện

các đỉnh liền kề của đồ thị có các đoạn song song có cùng độ dài. Do đó, từ các đa giác như vậy, bằng cách truyền chúng song song, có thể tập hợp một đối tượng P ( G, f ), được xác định bằng cách xây dựng như vậy cho đến truyền song song. P(G,f) được gọi là khối đa diện ảo. Bây giờ đã rõ những gì cần phải làm để xây dựng hiệu Minkowski của hai khối đa diện K và L: i Chuyển khối đa diện thành đồ thị lò xo. i Lấy sự khác biệt của đồ thị lò xo. i Xây dựng một đa giác ảo P ( G, f ) tương ứng với hiệu của đồ thị.

Hãy để chúng tôi đưa ra lời giải thích cho độc giả nâng cao. Thực tế là trong phép tính tổng Minkowski, các mặt song song của khối đa diện cộng lại. Do đó, thật tự nhiên khi cho rằng các mặt của hiệu Minkowski K – L sẽ đóng vai trò là hiệu Minkowski của các mặt của các khối đa diện K và L. Chính hiện tượng này được mã hóa trong việc xây dựng khối đa diện ảo.

Ví dụ 10. Tại hình 12,a) vẽ đồ thị có ứng suất. Đồ thị có hóa trị ba; do đó, khối đa diện ảo (G, f) (hình12,b) được dán lại với nhau từ các hình tam giác.

a) b)

Hình12. Một ví dụ về đồ thị có ứng suất xen kẽ và khối đa diện ảo tương ứng của nó

Văn học 1. A. Pukhlikov, A. Khovansky. Các phép đo cộng hữu hạn của khối đa diện ảo. (Đại số và giải tích, tập 4 (1992), số 2, trang 161–185.) 2. Trang web dành riêng cho các đa giác ảo hyperbol: club.pdmi.ras.ru/~panina/hyperbolicpolytopes.html