Линейка длиной в один нанометр

2

КВАНТ 2009/№4

НАНОТЕХНОЛОГИИ

Линейка длиной в один нанометр

И.ЯМИНСКИЙ

Девочке Нана и мальчику Ноно объясняют, что такое нанометр. Сообразительная Нана улыбается. Ей все понятно. Нанометр – это одна миллиардная часть метра. В Ноно видно напряжение. С некоторой задержкой он спрашивает: а что такое метр? И тут большой педагогический такт проявляет третий персонаж – умудренный опытом профессор. Он не раздражается, не возмущается, а просто подходит к Ноно и показывает ему, что метр это примерно расстояние от пола до подбородка Ноно. Мальчик радуется, что он сам больше метра. Он все понял и уже готов бежать играть в футбол… Так начинается тайваньский мультфильм «Фантастическое путешествие Нана и Ноно», который посвящен популярному рассказу о нанотехнологиях. И такое начало мультфильма не случайно. Нанотехнологии опираются на измерения, в которых нанометр играет ключевую роль. Именно о нанометре и будет рассказано в статье.

Немного истории

Введение

Всем известно, что метр – это основная единица длины. Он был введен во Франции в XVIII веке и определялся как одна сорокамиллионная часть длины Парижского медиана. В 1799 году из сплава платины и иридия был изготовлен первый эталон метра. При выборе метра в качестве единицы длины руководствовались, в частности, такими важными соображениями, как удобство использо-

В Токио перед огромным выставочным залом, где ежегодно проходит международное шоу по нанотехнологиям, сооружена сорокаметровая пила, наполовину вкопанная в землю. Это памятник большой труженице обычных технологий. Нанотехнологии же призваны конструировать новые устройства и материалы, собирая их, как в конструкторе, из атомов и молекул.

Эта статья опубликована в рамках договора с ГК «РОСНАНОТЕХ».

Когда метрология была без приставки «нано»

Издревле большинство мер длины строились исходя из удобства их использования. Например, старорусская сажень, или прямая сажень, была равна расстоянию от конца пальцев одной вытянутой по горизонтали руки до конца пальцев другой вытянутой руки. По указу Николая I, в 1835 году были приведены в соответствие русские и английские меры длины. Он положил, что одна сажень должна равняться семи английским футам (от английского foot – ступня). При переводе в метры получается, что 1 прямая сажень равна 2,1336 метра. Косая сажень — еще одна старорусская единица длины, равная 2,48 метра. Первоначально косая сажень определялась как расстояние от пальцев левой ноги до кончиков пальцев вытянутой по диагонали правой руки. Это были удобные в применении меры. Однако, используя их, получали … различные длины. О необходимости и важности аккуратных и точных измерений хорошо понимал Дмитрий Иванович Менделеев, который был первопроходцем не только в создании периодической системы элементов. Ему было очевидно, что в обществе с растущим промышленным производством вопрос измерений и метрологии принимает ключевое значение. Развитие железнодорожного транспорта, становление заводов и фабрик, вхождение России в мировую экономику требовали решения задач единства измерений. Необ-

3

ЛИНЕЙКА

ходимы были серьезные усилия, чтобы килограммы, граммы, метры, сантиметры, миллиметры и дюймы везде были одинаковыми. С 1892 года и до конца своей жизни Д.И.Менделеев возглавлял первое научное метрологическое учреждение России – Главную палату мер и весов. Ее задачей было обеспечение единства мер и создание надежных методов измерений и их эталонов, а также обеспечение единообразия и верности применяемых мер и измерительных приборов. Теперь это Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии, носящий имя Д.И. Менделеева. Палата, а ныне институт расположены в Санкт-Петербурге. Благодаря усилиям Д.И.Менделеева, в 1900 году в Москве при Московском окружном пробирном управлении была создана Поверочная палатка торговых мер и весов №3. Сейчас это Всероссийский научно-исследовательский институт метрологической службы (предприятие федерального значения). Его эмблема – буква М (первая буква в слове МЕТРОЛОГИЯ), опоясывающая земной шар и одновременно опирающаяся на него. Хорошая символика для того, чтобы показать, насколько важна метрология для всех нас.

Легенда об овсе и не только…

«Если вы в Санкт-Петербурге купили два пуда овса, а потом на санях привезли в Москву и там взвесили овес и обнаружили, что весы показывают всего полтора пуда, вот будет горе. Но если вы – предприимчивый торговец, то горе поправимо. Покупаете в Москве 100 пудов овса, а в Санкт- Петербурге продаете их как 133 с небольшим пуда. Чтобы быть предприимчивым торговцем, вам придется еще посмотреть на разницу в цене на овес в Москве и Санкт-Петербурге. Посчитать, сколько надо будет взять овса, чтобы прокормить лошадь. Оценить стоимость собственного труда. И не забыть про амортизацию оборудования – износ подков лошади и полозьев саней».

«История» с дюймом

С нанометрами надо вести себя аккуратно. А то могут произойти всякие истории, какие имели место с метром. Впрочем, даже не с метром, а с дюймом. Кстати сказать, почему-то нанодюйм не так популярен, как нанометр. Наверное, потому, что нанодюйм почти в 40 раз меньше, чем нанометр, и на порядок меньше размера атома. Но вернемся к обещанной истории с дюймом. Происходило это во времена большой космической гонки между СССР и США. Обе сверхдержавы спешили быть первыми. Возможно, для ускорения процесса создания космической ракеты американцы две половинки ракеты делали в разных местах. Когда две половинки оказались в одном месте

ДЛИНОЙ

В

ОДИН

НАНОМЕТР

вания и применения. В наше время, в ХХI веке, многие исследования ведутся на масштабе нано. Способ производства, когда материалы и устройства конструируются и собираются из отдельных атомов и молекул, принято называть нанотехнологиями. Для нанотехнологий

Палата мер и весов – НИИ метрологии им. Д.И.Менделеева метр слишком большая единица измерения длины. Подходящей величиной здесь может служить нанометр. С точки зрения математики, все очевидно: 1 нм $= 10^{-} 9$ м, и, казалось бы, нет ничего проще. Однако на практике возникают сложные вопросы. И первый из них – как изготовить линейку с расстояниями между рисками длиной в один нанометр. Действительно, метр является универсальной первичной единицей для измерения длин и имеет свой эталон. Нанометр появляется как производная от метра единица длины. А как сделать вторичный эталон – для нанометра? Этот вопрос относится к области нанометрологии и имеет принципиальное значение для нанотехнологий. «Хочешь создавать – научись мерить», – это слова знаменитого русского ученого Дмитрия Ивановича Менделеева, внесшего огромный вклад в создание метрологической службы в России. В полной мере его слова справедливы и для нанотехнологий. Итак, дальнейший рассказ будет о том, как сделать линейку для измерений длин в нанодиапазоне.

Как поделить метр на миллиард нанометров?

Нанотехнологии – это искусство создавать новую продукцию, размеры которой находятся в области нанометрового диапазона. Если серьезно заниматься производством таких изделий, то нужно очень хорошо научиться измерять эти самые нанометры. Для этого необходим не только удобный, но и однозначный эталон длины. Вроде бы, все просто: чтобы получить нанометр, надо распилить один эталонный метр на один миллиард равных частей. Если потом миллиард человек получат по одному нанометру, разойдутся по разным частям света, а затем, спустя много времени, вновь соберутся в одном месте, приложат все свои нанометры друг к другу и убедятся, что их нанометры одинаковой длины, – вот будет здорово. И означать это «здорово» будет многое. Во-первых, что вначале метр порезали точно на равные части. Во-вторых, что во время странствий нанометр не поизносился, не поистерся и не растянулся. В-третьих, что такие нанометры можно использовать как меру длины и что два человека, измеряющие один и тот же предмет «разными» нанометрами, получат одни и те же результаты. Однако осуществить такое не удастся,

5

ЛИНЕЙКА

Вирус картофеля может доставить очень много неприятностей табаку, помидорам и другим растениям. Растения, как и мы, подвержены вирусным заболеваниям. К нашему счастью, вирусы растений не представляют никакой опасности человеку. По крайней мере, можно констатировать, что обратное никто никогда не демонстрировал. Поэтому, например, мы можем спокойно съесть картофель, пораженный Х вирусом картофеля. Буква Х здесь обозначает тип вируса. Есть также А вирус картофеля и В вирус картофеля. Х вирус картофеля, как и вирус табачной мозаики, имеет, нитевидную форму, только он поуже и подлиннее: 14 нм в диаметре при длине 1 микрон. Кстати, было высказано предложение использовать вирус табачной мозаики как эталон 18 нанометров, а Х вирус картофеля – как эталон 14 нанометров.

Современные системы навигации

Современные системы навигации GPS и ГЛОНАСС работают с точностью измерения частоты и, соответственно, промежутка времени с относительной погрешностью $1 \cdot 10^{-} 13$. GPS – сокращение английских слов Global Positioning System, т.е. глобальная система позиционирования. Полное название этой спутниковой системы навигации – NAVSTAR GPS (NAVigation Satellites providing Time And Range— навигационные спутники, обеспечивающие измерение времени и расстояния; глобальная система позиционирования). Эта система создана Министерством обороны США для точного определения координат и скорости объектов. Российская спутниковая система навигации – ГЛОбальная НАвигационная Спутниковая Система, или сокращенно ГЛОНАСС. Если у вас дома есть GPS-приемник, то вы можете подумать о привязке одного миллиметра к метру с помощью этого общедоступного эталона частоты и о проверке расположения насечек на домашней линейке с

ДЛИНОЙ

В

ОДИН

НАНОМЕТР

Правило обратного пьезоэффекта очень простое – изменение размеров пьезопластиники $\Delta D$ прямо пропорционально приложенному напряжению $\Delta U : \Delta D = d_{33} \Delta U$, где коэффициент пропорциональности $d_{33}$ – пьезоэлектрический модуль. Использование двух цифр в индексе модуля показывает, что напряжение в общем случае мы можем прикладывать по одному из трех направлений (вдоль осей координат X, Y или Z), а изменение размеров – наблюдать по любому другому направлению. В нашем случае направление электрического поля совпадает с направлением перемещения, поэтому используются две одинаковые цифры 3. Как легко подсчитать, всего у пьезоэлектрического модуля 9 компонентов: $d_{11}, d_{12}, d_{13}$, … $, d_{33}$. (Такие физические величины называются тензорами второго порядка.) Возьмем керамику с пьезоэлектрическим модулем $d_{33} = = 200 \cdot 10^{-} 12$ Кл Н $= 200 \cdot 10^{-} 12$ м В. Если мы приложим к электродам напряжение 5 В, то изменение размеров пластинки составит 1 нм. Заметьте, что изменение размеров пьезопластинки не зависит от толщины самой пластинки. И это очень хорошо, ибо, создавая эталон длины, мы не должны думать о длине самого эталона. Таким образом, для нашего нанометра мы уже можем сформулировать главный тезис: нанометр – это расстояние, на которое изменяется размер пластинки, изготовленной из пьезокерамики с пьезоэлектрическим модулем $d_{33} = 200 \cdot 10^{-} 12$ Кл Н $= 200 \cdot 10^{-} 12$ м В, при приложении к ее электродам напряжения 5 В. В нашем эталоне мы использовали именно такие пьезопластинку и батарейку. Если у батарейки напряжение больше 5 В, то нам понадобятся два электрических сопротивления, с помощью которых мы сделаем делитель напряжения с выходом 5 В. А если мы найдем пьезокерамику с другим значением пьезоэлектрического модуля, то, подбирая на делителе нужное напряжение, мы сможем и для этого случая выполнить условие $\Delta D = 1$ нм.

Маленькие хитрости есть в каждом деле В изготовлении нашего нанометра есть свои «хитрости». Вот первая. Если мы используем пьезопластинку, изготовленную из пьезокерамики с пьезоэлектрическим модулем $d_{33} = 200 \cdot 10^{-} 12$ Кл Н, то после каждого приложения напряжения 5 В размер пластинки будет изменяться на 1 нм. Между приложениями напряжений очень важно не забывать обкладки пластинки замыкать проводником. Пьезокерамика – очень хороший изолятор: будучи приложенным к обкладкам единожды, напряжение будет держаться на них достаточно долго. Это может длиться и часы, и сутки, все зависит от влажности воздуха и чистоты поверхности пластинки. Замыкая электроды пластинки проводником, мы позволяем отрицательному заряду стечь по проводнику на противоположную обкладку таким образом, чтобы напряжение на пластинке стало равным нулю и пластинка вернулась к исходным размерам. И еще одна важная «мелочь». Электрическое напряжение можно прикладывать так, чтобы пьезопластинка становилась толще, или так, чтобы пластинка становилась тоньше. Иными словами, батарейку можно подключать плюсом на верхний электрод, а можно – плюсом на нижний электрод. В обоих случаях пластинка будет менять свой размер на 1 нм. Есть ли разница в том, как прикладывать напряжение? Чтобы ответить на этот вопрос, надо рассказать, как изготавливают пьезокерамику. Пьезокерамику делают из порошка, который спекают при высокой температуре и лучше при высоком давлении. При этом получается твердый материал, который на микроскопическом масштабе состоит

6

КВАНТ 2009/№4

из отдельных зерен. В каждом зерне положительные заряды слегка смещены относительно отрицательных (в целом зерна электрически нейтральны), и это смещение зарядов приводит к тому, что у зерна появляется дипольный момент. Попадая в электрическое поле, такое зерно будет растягиваться или сжиматься. В свежеиспеченной пьезокерамике дипольные моменты отдельных зерен имеют случайные направления, обратный пьезоэффект наблюдается для каждого зерна в отдельности, а направленное перемещение пластины в целом отсутствует. В постоянном электрическом поле часть зерен растянется, а часть сожмется в направлении поля, но в целом размер пьезокерамического образца не изменится. Чтобы вызвать направленное перемещение, все дипольные моменты отдельных зерен нужно сориентировать одинаковым образом. Для этого пьезокерамику помещают в электрическое поле напряженностью 1000 В/мм и более и нагревают до температуры около $300 ^\circ$ С. Этот процесс называется поляризацией керамики. Перегревать керамику нельзя, потому что при некоторой температуре (точка Кюри) пьезоэффект пропадает. Если поляризация проведена успешно, то все зерна имеют дипольные моменты, направленные в одну сторону, при этом поляризующее поле растягивает керамику. Если же приложить электрическое поле противоположного направления, то будет происходить процесс деполяризации, сжимающий керамику. Вот здесь и кроется ответ на наш вопрос, как надо прикладывать напряжение в эталоне нанометра – чтобы керамика растягивалась или сжималась. Правильный ответ такой. Если мы хотим избежать возможной деполяризации керамики, то напряжение надо прикладывать таким образом, чтобы всегда происходило только удлинение пластинки.

Поверяем нанометр и становимся нанометрологами

У пьезокерамики есть ряд недостатков – нелинейность, гистерезис, крип. Нелинейность проявляется в отклонении от простой формулы $\Delta D = d_{33} \Delta U$. Гистерезис обусловлен «памятью» материала к предыстории прикладываемого напряжения, в результате чего может оказаться, что при одном и том же приложенном напряжении удлинения пластинки будут разными. Вследствие крипа, или ползучести, удлинение пьезокерамики может отставать во времени от приложенного напряжения. Будут ли эти эффекты снижать точность нашего эталона нанометра? Практически нет, если к электродам эталона строго периодически прикладывать только два значения электрического напряжения: 5 В и 0 В. Все недостатки пьезокерамики – нелинейность, гистерезис, крип – присутствовать будут, но их вклад будет все время одним и тем же. А если так, то, аккуратно выбирая напряжение, мы можем добиться удлинения пьезопластинки точно на один нанометр. Завершая наш рассказ, отметим, что если вы не сумели изготовить свой собственный эталон нанометра, но все поняли в данной статье, то можно считать, что вы уже состоявшийся нанометролог. (Ведь не каждый же нанометролог пользуется самостоятельно изготовленным наноэталоном.) Если же вы потрудились, нашли пьезопластинку и соорудили свой нанометр, то можно сказать, что вы самый передовой нанометролог. За рамками статьи остался очень важный вопрос: как убедиться, что наша пластинка удлиняется точно на один нанометр? Другими словами, каким образом осуществить привязку созданного нанометра к первичному эталону метра? К сожалению, эту процедуру в домашних условиях сделать нельзя. Надо обратиться в метрологическую службу, и там с помощью интерферометра смогут точно определить перемещение пластинки. Как это делается – тема для другой статьи.

точностью чуть лучше чем 1%. До нанометра с помощью системы GPS пока приблизиться не удается.

Экономика изготовления нанометра

Возможно, у вас остается пока нерешенным вопрос, где найти пьезокерамичекую пластинку. На самом деле, такие пластинки буквально окружают нас в нашей повседневной жизни. Звонки в часах, мобильных телефонах и компьютерах часто изготавливают именно из пьезокермаческих пластин. Правда, в них есть одна особенность. Там пьезопластинки приклеивают к упругой металлической пластинке. В результате этого при изменении размеров пьезопластинки такая клееная конструкция совершает дополнительный изгиб и центр конструкции перемещается на гораздо большее расстояние, чем свободная пластинка. Поэтому если мы хотим получить перемещение в 1 нм, то лучше использовать просто пьезокерамическую пластинку – иначе прикладываемое напряжение должно быть существенно меньше да и стабильность такой системы гораздо меньше. Кроме того, за счет разницы температурных коэффициентов пьезокерамики и металла клееная конструкция будет дополнительно изгибаться при изменении температуры окружающей среды. Где же найти правильную пьезопластинку? Оказывается, они продаются в магазинах электронных аксессуаров. Стоимость одной пластинки – около 10 рублей. Тогда можно подсчитать бюджет нашей разработки эталона нанометра: батарейка – 40 руб., провода – 8 руб., пьезопластинка – 10 руб., поиск и заказ пластинки в Интернете (оплата трафика) – 35 руб., доставка пьезопластинки (если вы не поедете сами) – 150 руб., собственный труд – оцените сами. Вот такая экономика изготовления эталона в один нанометр.

Любопытно, что…

…если вы взгляните на себя в зеркало, то за это время каждый волосок вашей шевелюры удлинится на один нанометр. …если водой из озера Байкал заполнить половину объема железнодорожной цистерны, то уровень воды в озере упадет почти на один нанометр. …монету достоинством в 1 копейку бросили в бассейн, при этом уровень воды повысился на 1 нм. Каковы размеры бассейна? …ученые научились делать золотые нити толщиной в один атом. При этом на длине 1 нанометр целиком укладываются 3 атома золота.

9

АРИФМЕТИКА

Пример 1. Сумма Минковского двух непараллельных отрезков – параллелограмм (рис.1).

Рис. 1

Пример 2. Сумма Минковского двух параллельных отрезков – отрезок суммарной длины. Пример 3. Сумма Минковского треугольника и отрезка, параллельного одной из сторон, – трапеция (рис.2).

i Отложим все векторы от начала координат. Получится так называемый общий букет векторов для обоих многоугольников. i Может оказаться, что два вектора из букета имеют общее направление. Тогда эту пару векторов нужно заменить на их сумму. i Двигаясь по часовой стрелке, берем по очереди векторы из букета и откладываем один за другим (первый вектор – от произвольно выбранной точки на плоскости, каждый следующий вектор – от конца предыдущего). Получается ломаная линия. i Ломаная замкнется. Она ограничивает сумму Минковского многоугольников K и L.

Задача 1. Пусть K – выпуклый многоугольник. Убедитесь, что K + K есть многоугольник K, растянутый гомотетией в 2 раза.

Рис. 2

Пример 4. Еще один пример – сумма пятиугольника и треугольника (рис.3). В данном случае это семи-

Рис. 3

угольник. Однако если чуть повернуть треугольник (а пятиугольник оставить прежним), то суммой будет восьмиугольник, так как параллельные стороны пятиугольника и треугольника перестанут быть параллельными. Поглядев на приведенные примеры, можно подметить, что ломаная, ограничивающая суммарный многоугольник K + L, составлена из ребер многоугольников K и L. Говоря точнее, сумму Минковского многоугольников можно вычислить, следуя такому алгоритму (рис.4):

Рис. 4

i Превратим каждое ребро многоугольников K и L в вектор, нарисовав на нем стрелку. Полученные векторы должны обходить многоугольники по часовой стрелке.

МНОГОГРАННИКОВ

Вычитаем многоугольники

– Пойду-ка я к Королеве навстречу, – сказала Алиса. Конечно, ей интересно было поболтать с цветами, но разве их сравнишь с настоящей Королевой! – Навстречу? – переспросила Роза. – Так ты ее никогда не встретишь! Я бы тебе посоветовала идти в обратную сторону!

Разность Минковского определить невозможно, если ограничить себя только выпуклыми многоугольниками. Действительно, при сложении многоугольники не становятся меньше (точнее говоря, сумма K и L содержит параллельный перенос каждого из слагаемых – это хорошо видно на рисунке 3). Поэтому вычесть из маленького многоугольника большой невозможно: в этом случае маленький многоугольник содержал бы параллельный перенос большого. Как же разумно расширить класс выпуклых многоугольников так, чтобы сделать возможным вычитание? Если взять определение суммы и попробовать помудрить с ним, приспособив для вычитания, то ничего хорошего не выйдет (попробуйте!). Имеется универсальный алгебраический прием: разностью двух многоугольников K и L будем называть формальное выражение (K – L), не придавая последнему никакого геометрического смысла. Два таких выражения (K– L) и (M – N) будем считать равными, как только K + N = M + L. Несложно проверить, что такие формальные выражения можно складывать (по правилу (K – L) + (M – N) = ((K + M) – (L + N)), и у каждого (K – L) есть обратный элемент (L – K). Этот прием вам уже встречался раньше на уроках математики – при переходе от положительных чисел к отрицательным или от целых чисел к рациональным дробям. Однако нам хочется иметь дело не с формальными разностями, а с геометрическими объектами. Почему так? Дело в том, что многоугольник (или многогранник в пространстве) имеет богатую геометрическую структуру: у него есть ребра, вершины, понятие площади и т.д. Хотелось бы иметь все это богатство и для разностей Минковского. С этой точки зрения, плодотворным оказалось при-

13

АРИФМЕТИКА

i Как и прежде, нужно взять результат наложения этих графов. i Как и прежде, значение стресса на ребрах наследуется от $( G_{1}, f_{1} )$ и $( G_{2}, f_{2} ). i$ Однако на этом процедура сложения не заканчивается. Следующий шаг – удаление лишних ребер и вершин. Может случиться так, что стресс суммы $( G_{1}, f_{1} ) + ( G_{2}, f_{2} )$ на некотором ребре окажется равным нулю. Тогда такое ребро надо удалить. i После удаления всех ребер с нулевым стрессом может случиться так, что к одной вершине примыкают ровно два ребра (это означает, что эти ребра образуют угол $\pi$, и стрессы на этих ребрах равны). Тогда эту вершину надо удалить, а два ребра объединить в одно. Вершины, к которым не примыкают ребра, тоже нужно удалить. В результате мы получим некоторый граф на сфере с ненулевым стрессом. Теперь ясно, как вычитать графы со стрессами. Обратным графом к графу ( G, f ), очевидно, является граф $( G, - f )$. (Убедитесь, что $( G, f ) + ( G, - f )$ – пустой граф!) Поэтому взять разность графов $( G_{1}, f_{1} )$ и $( G_{2}, f_{2} )$ означает взять сумму графов $( G_{1}, f_{1} )$ и $( G_{2}, - f_{2} )$.

Задача 7. Покажите, что любой пружинный граф на сфере можно представить в виде разности двух графов с положительными стрессами.

Теперь попробуем по графу с всюду ненулевым (но теперь не обязательно положительным) стрессом ( G, f ) построить геометрический объект P ( G, f ). Алгоритм в точности повторяет алгоритм построения P ( G, f ) для графа с положительным стрессом. Опять, как и у Алисы, у нас нет другого выбора. i Пусть 1, …, k – силы, создаваемые пружинками в вершине i графа ( G, f ). Теперь это векторы, идущие либо в направлении ребра, либо в противоположном направлении, в зависимости от знака стресса. Мы считаем, что их нумерация соответствует порядку обхода ребер графа по часовой стрелке. Поскольку стресс может быть знакопеременный, сами векторы $f_{1},^{…}, f_{k}$ могут идти совсем в другом порядке. i Как и прежде, для вершины i рассмотрим касательную к сфере S плоскость. В этой плоскости построим замкнутую ломаную, руководствуясь старым правилом. Выберем точку в плоскости и будем откладывать один за другим векторы $f_{1},^{…}, f_{k}$, повернутые на угол $\pi 2$ по часовой стрелке. Здесь важно, что мы берем векторы согласно порядку ребер, а не порядку векторов. Полезно убедиться, что эта процедура в точности описывает построение разности Минковского выпуклых многоугольников. i Аналогично поступим со всеми остальными вершинами графа. Для каждой вершины мы получим невыпуклый многоугольник (замкнутую плоскую ломаную, возможно с самопересечениями) i Важно, что для этих многоугольников остается выполненным главное свойство, позволяющее собрать их воедино, – у многоугольников, соответствующих

МНОГОГРАННИКОВ

соседним вершинам графа, есть параллельные отрезки одинаковой длины. Поэтому из таких многоугольников, перенося их параллельно, можно собрать некий объект P ( G, f ), определяемый такой конструкцией с точностью до параллельного переноса. P ( G, f ) называется виртуальным многогранником. Теперь ясно, что нужно сделать для построения разности Минковского двух многогранников K и L: i Превратить многогранники в пружинные графы. i Взять разность пружинных графов. i Построить виртуальный многогранник P ( G, f ), соответствующий разности графов.

Дадим пояснение для продвинутых читателей. Дело в том, что при суммировании по Минковскому параллельные грани многогранников складываются. Поэтому естественно ожидать, что гранями разности Минковского K – L должны служить разности Минковского граней многогранников K и L. Именно это явление закодировано в конструкцию виртуального многогранника.

Пример 10. На рисунке 12,а) представлен граф со стрессом. Граф трехвалентен, следовательно, виртуальный многогранник ( G, f ) (рис.12,б) склеен из треугольников.

а) б)

Рис.12. Пример графа со знакопеременным стрессом и соответствующий ему виртуальный многогранник

Литература 1. А.Пухликов, А.Хованский. Конечно-аддитивные меры виртуальных многогранников. (Алгебра и анализ, т.4 (1992), вып. 2, с. 161–185.) 2. Cайт, посвященный гиперболическим виртуальным многогранникам: club.pdmi.ras.ru/~panina/hyperbo- licpolytopes.html