Об одной хорошо забытой старой задаче

34

КВАНТ 2009/№4

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы начинаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: [email protected] (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

1. Шахматная фигура, которая умеет ходить и как ладья, и как конь, называется канцлером, а фигура, сочетающая возможности ферзя и коня, – магараджей. Расставьте на шахматной доске $8 \times 8$ четыре канцлера и четыре магараджи так, чтобы ни одна из фигур не била никакую другую. А.Грибалко

2. Числа A и B называются дружественными, если сумма всех делителей числа A, кроме самого A, равна B, а сумма всех делителей числа B, кроме самого B, равна A. (Например, 220 и 284 – дружественные.) Взяли два дружественных числа A и B. Затем нашли сумму чисел, обратных к делителям числа A, вычли единицу и получили результат $\alpha .$ Проделав то же самое для числа B, получили результат $\beta .$ Чему равно произведение $\alpha \beta$? Г.Гальперин

3. В стране 100 городов. Некоторые пары городов соединены автомобильной дорогой, и между любыми двумя городами есть авиационное сообщение. Известно, что из каждого города выходит нечетное число дорог. Путешественник хочет проехать по каждой дороге ровно один раз (в одном из двух направлений). Какое наименьшее число авиаперелетов ему для этого придется сделать? П.Кожевников 4. Натуральное число a назовем уютным, если одно из чисел a – 1 и a + 1 простое, а другое – составное. Докажите, что уютных чисел бесконечно много. Д.Швецов 5. В четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BCD, при этом угол BCD равен $120 ^\circ$ и угол BAD равен $30 ^\circ$. Докажите, что периметр треугольника BCD равен длине диагонали AC. В.Произволов

Об одной хорошо забытой старой задаче

В.ДОЦЕНКО, К.ШРАМОВ

Ехали медведи На велосипеде, А за ними раки На хромой собаке, А за ними кот Задом наперед… К.Чуковский Введение Весной 2005 года авторы этой статьи подбирали задачи для вступительных собеседований в 9 математический класс 57-й школы города Москвы. На одно из последних собеседований было решено выбрать несколько малоизвестных (хотя бы восьмиклассникам) довольно содержательных задач, решение каждой из которых было бы – по той или иной причине – серьезным аргументом в пользу того, что решивший ее школьник сможет учиться в математическом классе. Вот условие одной из них: Расстояние между городами А и Б равно 30 км. Три туриста хотят добраться из города А в город Б. У них есть мотоцикл, на котором каждый из них может ехать со скоростью 60 км/ч, и велосипед, на котором каждый из них может перемещаться со скоростью 15 км/ч. Пешком каждый из них может перемещаться со скоростью 6 км/ч. Любое из средств передвижения можно оставить на дороге, чтобы кто-то из оставшихся туристов им воспользовался. а) Докажите, что туристам не удастся организовать путешествие так, что прибывший последним затратит на путь менее 2,5 часов.

41

ШКОЛА

из леммы 1 (параллельные переносы) и из леммы 2 (повороты с общим центром). А во всех композициях из лемм 3–7 порядок существен – рассматриваемые в них пары движений не коммутируют. Еще один пример коммутирующих движений – это осевая симметрия и параллельный перенос на вектор, параллельный оси симметрии. Поэтому при определении скользящей симметрии неважно, в каком порядке делать составляющие ее элементарные движения.

Решения задач

Решение задачи 1. Из условия следует, что при повороте на угол $120^\circ$ относительно точки M вершина A переходит в B, а С в D. Значит, при этом повороте направленный отрезок AC переходит в направленный отрезок BD, поэтому их длины равны, а угол между ними равен $120 ^\circ$. Значит, угол между направленными отрезками AC и DB равен $60 ^\circ$. Рассмотрим собственное движение, переводящее направленный отрезок AC в DB. По теореме Шаля, он является поворотом, а величина угла поворота должна быть равна углу между этими направленными отрезками, т.е. $60 ^\circ$. Центр этого поворота и будет искомой точкой N. Решение задачи 2. Рассмотрим движение, переводящее треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ в $A_{2} B_{2} C_{2}$. Поскольку эти треугольники различно ориентированы, рассматриваемое движение несобственное, а значит, является скользящей симметрией. Очевидно, что середина отрезка, соединяющая любую точку с ее образом при скользящей симметрии, лежит на оси этой симметрии. Решение задачи 3. Движение, описанное в задаче, является композицией трех осевых симметрий, а следовательно, несобственным движением плоскости. По теореме Шаля это скользящая симметрия. Очевидно, что при скользящей симметрии точки, сдвигающиеся на минимальное расстояние, это в точности точки оси. Действительно, все они сдвигаются на один и тот же вектор, параллельный оси симметрии, в то время как другие точки сдвигаются кроме этого еще и в направлении, перпендикулярном оси. Осталось найти ось этой симметрии. Для этого достаточно найти две точки на ней. Воспользуемся фактом, который уже помог нам при решении предыдущей задачи: середина отрезка, соединяющего точку с ее образом при скользящей симметрии, лежит на оси этой симметрии. Поэтому, чтобы найти ось, достаточно найти середины двух отрезков, соединяющих точки с их образами. Поиск можно сильно упростить, если удачно выбрать две точки, образ которых при рассматриваемой композиции легко найти. В качестве первой точки выберем вершину A треугольника. При первых двух симметриях она останется на месте, а при третьей отразится относительно стороны BC. Искомой серединой будет основание высоты, опущенной из вершины A. В качестве второй точки возьмем точку, симметричную точке C относительно стороны AB. При первой симметрии она перейдет в C, а при двух следующих останется на месте. Значит, вторая искомая точка – основание высоты, опущенной из точки C. Ответ: искомым множеством точек будет прямая, проходящая через основания высот, опущенных из вершин A и C треугольника ABC. Случай, когда эти основания высот совпадают (а это происходит, если треугольник ABC прямоугольный с прямым углом B), следует разобрать отдельно. Оставляем это читателям в качестве упражнения.

В

«КВАНТЕ»

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1 (для тех, кто знаком с понятием группы). Докажите, что множество движений образует группу относительно операции композиции. Образует ли группу множество собственных движений? А множество несобственных движений? 2. Докажите (без использования теоремы Шаля), что любое движение можно представить в виде композиции не более трех осевых симметрий. 3. Получите другое доказательство теоремы Шаля с помощью задачи 2. 4. Скользящая симметрия задается парой (ось симметрии, вектор переноса). Докажите, что скользящие симметрии, задаваемые разными парами, различны. 5. Завершите решение задачи 3, рассмотрев случай прямоугольного треугольника с прямым углом B. 6. Образами скольких точек задается движение пространства? 7. Попытайтесь дать определения ориентации, а также собственного и несобственного движений в пространстве. Образами скольких точек задается собственное движение пространства? 8. Какое движения является композицией двух центральных симметрий с различными центрами? 9. Пусть $0 < \alpha, \beta, \gamma < 180 ^\circ, \alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ$. Докажите, что композиция трех поворотов на углы $2 \alpha, 2 \beta, 2\gamma$ относительно точек A, B, C соответственно является тождественным преобразованием тогда и только тогда, когда углы треугольника ABC равны $\alpha, \beta$ и $\gamma$ соответственно. (Повороты осуществляются против часовой стрелки, а треугольник ABC отрицательно ориентирован.) 10. На плоскости нарисован многоугольник с нечетным числом сторон. Точку M отражают последовательно относительно середин последовательных сторон многоугольника, в результате чего получается точка $M_{1}$. Докажите, что середина отрезка $MM_{1}$ является вершиной многоугольника. 11. На плоскости был нарисован многоугольник с нечетным количеством сторон. Затем в нем отметили середины сторон, а сам многоугольник стерли. Восстановите многоугольник по отмеченным точкам с помощью циркуля и линейки. 12. Дан треугольник ABC. Постройте точки K, L и M так, чтобы треугольники AKM, BLK и CLM были равносторонними. 13. Дан произвольный треугольник. На двух его сторонах наружу построены равносторонние треугольники. Пусть M и N – вершины этих треугольников, не совпадающие с вершинами исходного. На третьей стороне также построили равносторонний треугольник, но теперь – во внутреннюю сторону. Пусть O – его центр. Найдите углы треугольника MNO. 14. Археологи нашли старинный свиток, в котором было написано: «Встань около березы, и дойди от нее, не сворачивая, до колодца, а у колодца поверни под прямым углом налево и пройди такое же расстояние. В том месте, где ты оказался, вбей колышек в землю. Теперь опять встань у березы, и дойди от нее, не сворачивая, до дуба, поверни под прямым углом направо и пройди такое же расстояние. Вбей второй колышек в землю. Посередине между колышками зарыт клад». Оказалось, что колодец и дуб по-прежнему на месте, но березы уже нет. Смогут ли археологи найти клад? 15. На сторонах произвольного четырехугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Докажите, что у четырехугольника с вершинами в центрах этих квадратов диагонали перпендикулярны и равны.