Bài toán M2146—M2153; F2153—F2159

19

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này phải được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 1 năm 2010 đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 5–2009” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2146” hoặc “F2153”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng là [email protected] và [email protected]. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2149 và M2150 đã được đưa ra tại Olympic Toán học Leonhard Euler.

Bài toán M2146–M2153, F2153–F2159

M2146. Đồ thị 2008 của tam thức bậc hai được vẽ trên mặt phẳng tọa độ. Liệu có thể hóa ra rằng đối với mỗi người trong số họ có một đường thẳng có điểm chung với bất kỳ đồ thị nào ngoại trừ nó? N. Agakhanov, I. Bogdanov

M2147. Mỗi ô của một mặt phẳng ca rô vô hạn chứa một số thực sao cho tất cả các dãy số theo chiều ngang và chiều dọc vô hạn theo cả hai hướng đều tuần hoàn. Chứng minh rằng có vô số dãy ngang với các chu kỳ ngắn nhất khác nhau khi và chỉ khi có vô số dãy dọc với các chu kỳ ngắn nhất khác nhau. E.Ký tên

M2148. Các số 1, 2, 3, …, 100 được viết thành vòng tròn theo một thứ tự nào đó. Petya tính 100 tổng của tất cả các bộ ba số lân cận và viết số tiền nhỏ nhất lên bảng. Số lớn nhất có thể viết được trên bảng là bao nhiêu? P.Kozhevnikov

M2149. Trong tam giác ABC, các cạnh AB và BC bằng nhau. Điểm D bên trong tam giác sao cho $\angle$ ADC $= 2 \angle$ ABC. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm B đến phân giác ngoài của góc ADC gấp đôi bằng AD + DC. S. Berlov

M2150. Ở đất nước Leonardia, mọi con đường đều là một chiều. Mỗi con đường nối hai thành phố và không đi qua các thành phố khác. Cục Thống kê tính tổng số cho từng thành phố

cư dân ở các thành phố có đường dẫn đến nó và tổng số cư dân ở các thành phố có đường dẫn từ đó. Chứng minh rằng tại ít nhất một thành phố, số thứ nhất không nhỏ hơn số thứ hai. N. Gravin

M2151. Tam giác số 1

1

1 2

1 3

1 2

1

1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1

… được biên soạn theo quy tắc sau. Dòng đầu tiên chứa một số bằng 1. Dòng thứ k (k = 2, 3, …) chứa 2k – 1 số, mỗi số bằng tổng của ba số: số ở trên nó và hai số liền kề ở dòng trước (nếu thiếu một số trong ba số này thì coi như bằng 0). Chứng minh rằng ở cột giữa không có số nào chia cho 3 dư 2. K. Kaibhanov

$M2152^{*}$. Một cặp ( p, q ) gồm các số nguyên tố riêng biệt được gọi là đặc biệt nếu tồn tại a có thể biểu diễn dưới dạng $a = x^{p} + y^{p} = z^{q} + t^{q}$ đối với một số số tự nhiên x, y, z, t, nhưng không thể biểu diễn dưới dạng $u^{pq} + v^{pq}$, trong đó u và v là các số tự nhiên. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p đều có vô số cặp đặc biệt. V. Người gửi

$M2153^{*}$. Tổng các góc đặc tại các đỉnh của một khối đa diện lồi là $\pi$. Chứng minh rằng có một đường đi khép kín dọc theo các cạnh của nó đi qua