Bài toán

34

KMS

KVANT 2010/№1

Bài toán

Theo kết quả thăm dò dư luận, 76% người được hỏi hài lòng với công việc của tổng thống, 83% với công việc của thủ tướng và chỉ 59% với công việc của chính phủ nói chung. Hãy gọi một người trả lời là vô vọng nếu anh ta hài lòng với công việc của cả tổng thống và thủ tướng, nhưng lại không hài lòng với công việc của chính phủ nói chung. Tỷ lệ nhỏ nhất của những người tuyệt vọng trong số những người được hỏi là gì? M. Akhmedzhanova

Cô ấy có nên làm điều này với sự trợ giúp của cây đũa thần được tìm thấy không? G. Galperin

Cho một tam giác đều. a) Có thể cắt nó thành các hình tam giác đều có hai loại - lớn và nhỏ - sao cho số lượng của cả hai hình tam giác bằng nhau không? b) Có thể cắt nó thành các hình tam giác đều có ba loại - lớn, vừa và nhỏ - sao cho số lượng hình tam giác ở mỗi kích thước bằng nhau không? S. Dvoryaninov

Có một sợi dây có dạng hình tròn. Làm thế nào để uốn cong sao cho khi chiếu lên mặt phẳng này thì hình vuông, khi chiếu lên mặt phẳng khác thì hình tam giác đều? A. Zhukov

Bác sĩ nói với Zmey Gorynych rằng nếu Zmey hút 6 điếu thuốc mỗi ngày thì anh ta sẽ chết sau 10 năm, còn nếu hút 17 điếu thì sau 5 năm. Zmey Gorynych sẽ sống được bao nhiêu năm nếu ngừng hút thuốc? (Chúng tôi giả định rằng tất cả các năm đều có độ dài như nhau và mỗi điếu thuốc đều rút ngắn tuổi thọ như nhau.) A. Kovaldzhi

Minh họa của D. Grishukova

Một ngày nọ, Alice tìm thấy một cây đũa thần trong Gương soi, có thể tạo ra bất kỳ vật thể nào theo mong muốn của Alice, nhưng chỉ ở một bản sao. Đồng thời, sau khi đã tạo ra một đồ vật, cây đũa thần sẽ không thể tạo lại đồ vật đó trong tương lai. Alice cần làm 10 đôi giày giống hệt nhau cho chuyến du hành qua Gương soi. Làm sao

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6 – 8.

38

KVANT 2010/№1

thầy phù thủy tiếp tục. - Và bạn sẽ ngồi đó và suy nghĩ về hành vi của mình. Mỗi buổi tối, một trong số các bạn sẽ được đưa đến Căn phòng Đen-Đen, nơi không có gì ngoài một cây đèn thần, và con rồng chúa tể của tôi sẽ đích thân nói chuyện với người được chọn. Đèn bây giờ đã tắt. Nếu bạn muốn, hãy lắng nghe anh ấy trong bóng tối; nếu bạn muốn, hãy thắp đèn. Hoặc dập tắt nó, nếu nó cháy, đó là việc của bạn. Đèn sáng lên và tắt một cách đơn giản - chỉ cần vỗ tay. Và điều này sẽ còn tiếp tục rất rất lâu nữa… - Mãi mãi? – chàng trai trẻ Berthold hỏi nhỏ. “Có lẽ là mãi mãi,” ông già giận dữ nói. - Đừng ngắt lời, chàng trai trẻ. Điều tôi hứa với các bạn chắc chắn là tất cả các bạn chắc chắn sẽ ghé thăm Phòng Đen Đen, chúng tôi sẽ không bỏ sót ai cả. Và hãy yên tâm rằng mỗi bạn sẽ được gọi đi gọi lại đó. Nhưng, như tôi đã nói, chúa rồng của tôi rất nhân từ… Anh ấy nhìn quanh những chiến binh đang gục xuống. “Tôi, pháp sư đen Kurundis, thề với các bạn bằng tất cả phép thuật của mình và nhân danh chúa tể của tôi, con rồng Gryor, rằng ngay khi một trong số các bạn nói với tôi rằng tất cả các bạn đã ở trong Phòng Đen-Đen, các bạn sẽ được thả tự do - tất nhiên, không có vũ khí và đi bộ - nếu những gì được nói là sự thật.” Nhưng lại sợ phạm sai lầm! Vì nếu bạn phạm sai lầm, tất cả các bạn sẽ bị ăn thịt, và tôi đảm bảo với bạn, con rồng chúa của tôi sẽ làm điều này một cách vô cùng vui vẻ. Bạn có hiểu mọi thứ không, thưa quý ông, những kẻ giết rồng? “Chúng tôi hiểu, nhưng chúng tôi không thể hiểu được…” Bác Elvard càu nhàu. Pháp sư gật đầu rồi rời đi, theo sau là những người bảo vệ. Cánh cửa đóng sầm lại và ổ khóa kêu lạch cạch. “Hắn sẽ nuốt chửng bạn… Đầu tiên hắn sẽ tra tấn bạn bằng những bài giảng đạo đức, và sau đó dù sao thì hắn cũng sẽ nuốt chửng bạn…” trong hội trường vang lên. Berthold trẻ tuổi ngẩng đầu lên. – Chú Elvard, người ta nói rồng không nói dối có đúng không? anh ấy hỏi. Người chiến binh có ria mép gật đầu. “Vậy thì chắc chắn có một lối thoát,” chàng trai nói. – Bạn chỉ cần suy nghĩ cẩn thận. Cuối cùng, con rồng đã hứa. “Sự thật được nói qua miệng một đứa bé,” Tom to lớn đến từ Stonebridge nói một cách nghiêm túc. - Hãy suy nghĩ đi, anh em. “Dùng kiếm thì dễ hơn,” ai đó càu nhàu. Và một sự im lặng sâu sắc bao trùm hội trường. Theo thói quen, tôi suy nghĩ chậm rãi và cân nhắc. - Chà, bạn đã phát minh ra gì cho tù nhân của chúng tôi? – Gryor hỏi vào bữa sáng. Kurundis giải thích. - Này pháp sư, tôi đã bảo là tôi không muốn đích thân nuôi chúng mà! “Thưa ngài, ngài không cần làm việc, năm ngoái tôi đã lưu đoạn ghi âm bài phát biểu của ngài.” Hãy nhớ rằng, bạn đã chỉ thị cho nam tước đó, bất kể tên ông ta là gì… Tinh thể ma thuật sẽ tái tạo từng từ một cách hoàn hảo. - Ồ, được rồi… Thế nhưng bạn đã nhầm rồi, ảo thuật gia. Tại sao tôi phải thề rằng tôi nhất định sẽ tự mình ăn chúng và rất vui? Nếu bạn phải làm vậy thì sao? Bạn biết đấy, tôi không thể chịu được thịt người…

• Ồ, thưa ông, đừng lo lắng. Tôi tin rằng mối nguy hiểm thực sự có thể dạy cho ngay cả những kẻ giết rồng phải suy nghĩ. “Chúng ta sẽ xem, chúng ta sẽ xem,” Gryor cười khúc khích. - Điều tồi tệ nhất là nếu họ không bao giờ dám cho bạn đáp số. Có bao nhiêu? Hai mươi? Hai mươi phòng giam đã bị chiếm giữ, không ai biết đã bao nhiêu năm, nhưng có lẽ… ừ… những người nộp đơn vẫn sẽ xuất hiện. - Thưa ông, tôi cá là họ có thể xử lý được! -Chúng ta đang cá cược cái gì đây? – con rồng hét lên. - Để nhấp chuột? Hai mươi shchelban, tính theo số người bị bắt - được chứ? Nếu họ vẫn còn ở đây sau 5 năm nữa thì tôi đã thắng! “Nó đang đến,” pháp sư đồng ý. Họ bắt tay nhau. Đã đến lúc. Đôi khi Gryor nhớ đến các tù nhân của mình và hỏi họ dạo này thế nào. “Như trước đây,” Kurundis trả lời. - Chúng tôi thực hiện công tác giáo dục. Một số người đã nghe bài phát biểu của ông bốn lần rồi, thưa ông. - Và bằng cách nào? – Gryor quan tâm. - Ồ, ai biết được, thưa ông. Một số chửi thề. Một số đang khóc. Một người thề, nếu được cứu, sẽ đi tu. “Chà, chà,” Gryor càu nhàu. “Hãy hy vọng anh ấy thành công.” Một buổi sáng, pháp sư chạy vào phòng ngai vàng của lâu đài rồng, hơi nhảy lên. - Tôi đã bảo rồi mà! - anh kêu lên. “Hôm nay, cậu bé đến từ Roxley nói với tôi rằng mọi người đã đến Phòng Đen-Đen. - Có thật vậy không? - con rồng hỏi. - Vâng, thưa ngài! - nhà ảo thuật trả lời. - Vậy chúng tôi sẽ để ông đi hay ông sẽ nói thêm vài lời với họ? “Hãy để chúng lăn ra bốn hướng,” Gryor khịt mũi. “Cuối cùng thì tôi cũng sẽ loại bỏ được chúng.” “Vâng, thưa ngài,” pháp sư gật đầu. - Tôi sẽ đi thu xếp. Trong lúc đó, hãy chuẩn bị trán của bạn. - Cái gì? – con rồng hoang mang vẫy đuôi. “Hai mươi cú nhấp chuột, thưa ngài,” pháp sư cúi đầu. - Đừng làm như cậu đã quên. Rồng không bao giờ quên bất cứ điều gì. “Ugh,” con rồng càu nhàu. - Thật đấy. Chẳng làm được gì cả, thua thì thua… …Những chiến binh ung thư bước ra đời, vấp ngã theo thói quen. Elvard, người có bộ ria mép dài gấp ba lần trong thời gian bị giam cầm, nói: “Thực sự, đó là một chiến công vĩ đại, thưa O Berthold của Roxleigh.” “Tôi không nghi ngờ gì rằng bạn đã giành được đinh thúc ngựa hiệp sĩ, và trong tương lai bạn sẽ trở thành một chiến binh vĩ đại, và tất cả những con rồng sẽ cúi đầu trước bạn…” “Chà, không,” Bertholdt lắc đầu, “Bây giờ tôi đã chán ngấy rồng rồi.” Tôi thà vào đại học để học tiếng Latin và số học. Tôi đảm bảo rằng không có giáo sư nào có thể nhàm chán như Gryor Big Tail…

Thưa ngài, ngài có hiểu làm thế nào mà chàng trai trẻ Berthold lại có thể lập được kỳ tích này không?

47

TOÁN HỌC

i) nội bộ khi và chỉ khi

AB + CD = BC + DA;

(1) ii) (AC)-bên ngoài khi và chỉ khi nó không phải là trung tâm và

AB + DA = BC + CD;

(2) iii) (BD)-bên ngoài khi và chỉ khi nó không phải là trung tâm và

AB + BC = CD + DA.

(3)

Chúng tôi không cung cấp bằng chứng chi tiết về định lý này ở đây mà chỉ giới hạn ở những nhận xét sau. Từ thực tế là đường 4 đa giác được mô tả, không khó để có được một trong các mối quan hệ (1), (2), (3), bằng cách sử dụng các đẳng thức của các đoạn tiếp tuyến (tương tự như cách thực hiện trong lời giải bài toán 2). Khó khăn hơn để chứng minh rằng đường đứt nét được mô tả dựa trên các mối quan hệ. Điều này có thể được thực hiện tương tự như chứng minh tiêu chuẩn (∗), bằng cách xem xét các trường hợp khác nhau về vị trí của đường đa giác 4. Ý tưởng về chứng minh hình học dựa trên tính chất của đường cô-nic được mô tả ở phần cuối của bài viết này.

Bài tập 5. Chứng minh rằng: a) có nhiều nhất hai đường tròn nội tiếp 4 đường đa giác; b) hai đường tròn có thể nội tiếp trong một đường đa giác 4 ​​khi và chỉ khi nó không ở tâm và có trục đối xứng.

Định lý bắc cầu

Bây giờ sơ đồ lời giải bài toán 2 có thể được mô tả như sau: có sự truyền (hoặc truyền) điều kiện tồn tại của đường tròn nội tiếp từ hai đường thẳng 4 đoạn (BD|AC) và (BD|CR) sang đường thẳng 4 đoạn thứ ba (BD|RA). Sơ đồ tương tự hoạt động trong tình huống tổng quát hơn này. Định lý 2 (định lý bắc cầu). Cho 4 đoạn thẳng (AB|XY), (AB|YZ) và (AB|ZX). Khi đó i) nếu hai trong số chúng có các vòng tròn nội tiếp thì vòng thứ ba cũng vậy; ii) nếu với (AB|XY) và (AB|YZ) tồn tại các đường tròn nội tiếp lần lượt là (XY)-ngoài và (YZ) và 4 đường thẳng (AB|ZX) không phải là tâm thì với nó tồn tại một đường tròn nội tiếp (ZX)-ngoài; iii) nếu đối với (AB|XY) và (AB|YZ) có đường tròn nội tiếp (AB)-ngoài, thì với (AB|ZX) có đường tròn nội tiếp (AB|ZX); iii’) nếu với (AB|XY) có đường tròn nội tiếp (AB) ngoài, với (AB|ZX) có đường tròn nội tiếp và đường tròn 4 đường thẳng (AB|YZ) không ở tâm thì có đường tròn nội tiếp (AB) ngoài. Bằng chứng. Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh phát biểu (ii). Nếu các đường tròn có thể nội tiếp các đường đứt nét (AB|XY) và (AB|YZ) theo kiểu ngoài (XY) và ngoài (YZ), thì theo Định lý 1, chúng ta có

AX + BX = AY + BY, AY + BY = AZ + BZ. Từ đây AX + BX = AZ + BZ, và chúng ta thu được (cũng theo Định lý 1) rằng một đường tròn có thể nội tiếp một đường tròn (ZX) vào đường đứt nét (AB|ZX).

Bài tập 6. Chứng minh các phát biểu khác của Định lý 2.

VÒNG TRÒN

bài toán tiếp theo, giống như những cái trước, hóa ra là hệ quả của Định lý 2. Bài toán 5 (M1025). Hai đường thẳng đi qua giao điểm của các cặp cạnh đối diện của một tứ giác lồi chia tứ giác đó thành bốn tứ giác nhỏ hơn. Chứng minh rằng nếu hai tứ giác nhỏ không có một cạnh chung nội tiếp thì tứ giác ban đầu ngoại tiếp. Lời giải. Có hai trường hợp có thể sắp xếp các hình tứ giác mà người ta biết rằng chúng được mô tả (hình5 và 6).

Hình 6

Hình 5

Trong trường hợp đầu tiên, các đường 4 nét đứt (PQ|BR) và (PQ|RD) lần lượt được mô tả (BR)-bên ngoài và (RD)-bên ngoài, có nghĩa là, theo Định lý 2, đường 4 nét đứt (PQ|DB) được mô tả (DB)-bên ngoài, tức là tứ giác ABCD ngoại tiếp. Trong trường hợp thứ hai, đường 4 đứt (PQ|AR) và (PQ|RC) được mô tả bên trong, do đó, đường 4 đứt (PQ|CA) cũng được mô tả bên trong, hàm ý là bắt buộc.

Bài tập

7. a) Xây dựng và chứng minh các mệnh đề tương tự bài toán 4 trong trường hợp tam giác XYZ không nhất thiết phải chứa các đường tròn. b) Lập công thức bài toán tương tự cho điểm X trên tiếp tuyến ngoài và các điểm Y và Z trên tiếp tuyến trong. 8. Xây dựng và chứng minh một định lý bắc cầu khác về ba đường thẳng có 4 nét đứt (AB|CD), (AC|BD) và (AD|BC). Cụ thể, nhận lời giải như thế này bài toán: Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC, lấy các điểm A¢, B¢, C¢ lần lượt sao cho các đoạn AA¢, BB¢, CC¢ cắt nhau tại một điểm D. Chứng minh rằng nếu hai trong các tứ giác AB ¢ DC ¢, BC ¢ DA ¢, CA ¢ DB ¢ ngoại tiếp thì tứ giác thứ ba cũng được mô tả.

Các đường đứt nét được mô tả có một đỉnh… ở vô cực

Nếu đỉnh D của đường thẳng 4 đoạn (AC|BD) nằm cách xa phần còn lại thì tia AD và CD “gần như cùng hướng”. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta thực sự làm cho chúng đồng hướng? Vì vậy, hãy gọi đường thẳng $4_{\infty}$ -broken $( BD_{\infty} AC )$ là sự kết hợp của các đoạn AB, BC và cùng hướng, nhưng không thẳng hàng, các tia $AD '$ và $CD ''$ (các điểm A, B, C được coi là khác nhau; hình7). Đường tròn nội tiếp đường thẳng $4_{\infty}$ gãy $( BD_{\infty} AC ),$ phải đồng thời tiếp xúc với đường thẳng AB và BC và nội tiếp trên dải giữa đường thẳng song song $пря-_{Рис.} 7$

49

TOÁN HỌC

VÒNG TRÒN

Hình 9

$( 1 ' )$ (tương ứng $( 2 ' ))$ có nghĩa là điểm A và C nằm trên cùng một parabol với tiêu điểm B và trục đối diện (đối với $( 2 ' )$ - cùng hướng) với tia $AD '$. Sử dụng những nhận xét này và tính chất của đường cô-nic, người ta có thể chứng minh sự tồn tại của đường tròn nội tiếp trong Định lý 1 và $1 '$. Ví dụ: Lấy câu lệnh (ii) Định lý 1. Điểm A và C nằm trên cùng một hình elip với tiêu điểm B và D. Theo điều kiện, đường thẳng 4 nét (AC|BD) không phải là tâm nên điểm A và C không phải là các điểm đối xứng đường kính của hình elip. I. Thật vậy, do tính chất quang học của hình elip (ví dụ, xem [3]), I nằm trên các phân giác ngoài của các góc BAD và BCD, ngoài ra (ví dụ, xem bài toán 1.4 trong sách [1]), đường thẳng BI là phân giác của góc ABC. tiếp tuyến với đường conic (xem hình9). Hiện tại, tình huống xảy ra trong định lý bắc cầu 2 và $2 '$ có thể được hiểu như sau: trong phát biểu (i) của Định lý 2, các điểm X, Y, Z nằm trên cùng một nhánh của hyperbol với tiêu điểm A, B hoặc trên đường phân giác vuông góc với đoạn AB;

trong phát biểu (ii) của Định lý 2, các điểm X, Y, Z nằm trên cùng một hình elip với các tiêu điểm A, B; trong phát biểu (iii) của Định lý 2, các điểm X, Y, Z nằm trên cùng một hypebol với tiêu điểm A, B và hai trong số chúng nằm trên một nhánh và một điểm nằm trên nhánh kia; trong định lý $2 '$ các điểm X, Y, Z nằm trên cùng một parabol với tiêu điểm A và trục có hướng ngược nhau - trong trường hợp (i) hoặc cùng hướng - trong trường hợp (ii), với tia $XB '$.

Bài tập

12. Cho $4_{\infty}$ - đường đứt nét $( AC BD_{\infty} ),$ trong đó $AB \ne BC$. Chứng minh rằng nó được mô tả khi và chỉ khi $AD'$ song song với một trong các tiệm cận của hyperbol với tiêu điểm A và C đi qua B. 13. Chứng minh rằng tâm của đường tròn nội tiếp đường thẳng suy biến 4 đoạn hoặc đường gãy suy biến $4_{\infty}$ nằm trên đường chuẩn (để định nghĩa đường chuẩn, xem [2]) của đường conic tương ứng.

Tài liệu tham khảo

1. Akopyan A.V., Zaslavsky A.A. Tính chất hình học của đường cong bậc hai. – M.: MTsNMO, 2007. 2. Vasiliev N.B., Gutenmacher V.L. Thẳng và cong (ấn bản thứ 6, khuôn mẫu). – M.: MTsNMO, 2006. 3. Protasov V.Yu. Cực đại và cực tiểu trong hình học. – M.: MTsNMO, 2005.