Con trai, con gái, bảng biểu, đồ thị...

Kvant 2015, số 3 tr. 52-53 Thẻ 4H1S

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Con trai, con gái, bảng biểu, đồ thị…

tương ứng là đồng bạc và vàng), tương ứng với vị trí có thể có trên bàn (số lượng đồng bạc và vàng) (hình1). Với mỗi hành động, một điểm tương ứng với

E.BAKAEV

TRONG BÀI VIẾT NÀY CHÚNG TÔI SẼ CỐ GẮNG KẾT HỢP một số bài toán tổ hợp đẹp mắt thành MỘT cốt truyện. Hãy bắt đầu với điều này: Bài toán 1. Có m chàng trai và d cô gái xếp thành một hàng theo thứ tự nào đó. Mỗi chàng trai được hỏi có bao nhiêu cô gái ở bên phải mình, và mỗi cô gái được hỏi có bao nhiêu chàng trai ở bên trái. Chứng minh rằng tổng các số mà con trai nêu tên bằng tổng các số mà con gái đặt tên. Lời giải. Hãy để tất cả các chàng trai nhìn về bên phải và tất cả các cô gái nhìn về bên trái. Sau đó, nếu một chàng trai nhìn thấy một cô gái, thì cô gái này sẽ nhìn thấy anh ta. Như vậy, tổng tất cả các số do con trai đặt tên và tổng tất cả các số do con gái đặt tên đều bằng một đại lượng: số cặp trai gái nhìn thấy nhau. Chúng ta sẽ gặp bài toán này ở trung tâm của một số phần tiếp theo. Bài toán 2 (Giải đấu các thành phố XXXVI, 2014). Trên bàn có một đống tiền bạc. Mỗi hành động hoặc thêm một đồng vàng và ghi số đồng bạc lên tờ giấy đầu tiên, hoặc lấy đi một đồng bạc và ghi số đồng tiền vàng lên tờ giấy thứ hai. Kết quả là chỉ còn lại những đồng tiền vàng trên bàn. Chứng minh rằng tại thời điểm này tổng các số ở tờ thứ nhất bằng tổng các số ở tờ thứ hai. Đầu tiên là lời giải. Song song với các thao tác với đồng xu, chúng ta sẽ viết ra dãy chữ C và Z: khi thêm đồng tiền vàng sẽ viết chữ Z, khi bỏ đồng bạc ra sẽ viết chữ C. Bây giờ, thay vì đếm đồng tiền, chúng ta có thể đếm các chữ cái ở dòng kết quả. Khi viết chữ C tiếp theo, chúng tôi viết ra một tờ giấy số đồng tiền vàng đã có trên bàn, tức là số chữ Z ở bên trái chữ S này. Và khi họ viết chữ Z tiếp theo, họ viết ra một tờ giấy số đồng bạc vẫn còn nằm trên bàn và phải bỏ đi - tức là số chữ C ở bên phải chữ Z này ở dòng cuối cùng. Bây giờ chúng ta thay chuỗi chữ cái C và Z bằng một hàng nam và nữ - và chúng ta nhận được chính xác bài toán 1. Vẫn diễn giải nó lời giải: nếu một đồng bạc được tính khi một đồng vàng được thêm vào, thì đồng vàng này được tính khi loại bỏ đồng bạc này, tức là đồng bạc được loại bỏ sau khi đồng vàng được thêm vào. Như vậy, tổng các số trên cả hai tờ giấy là số cặp “đồng bạc - đồng vàng” đó đều có trên bàn tại một thời điểm nào đó. Thứ hai lời giải. Hãy xem xét một mặt phẳng tọa độ trong đó trục tung tương ứng với số lượng đồng bạc và trục hoành tương ứng với số lượng đồng tiền vàng. Mỗi điểm nguyên nằm trong hình chữ nhật S ¥ G (trong đó S và G là số lớn nhất có thể

Hình 1

tương ứng với vị trí hiện tại được dịch chuyển xuống một đoạn đơn vị (khi chúng ta loại bỏ một đồng bạc) hoặc một đoạn đơn vị sang phải (khi chúng ta thêm một đồng tiền vàng), vị trí ban đầu tương ứng với điểm (0, S) trên trục tung và vị trí cuối cùng – (G, 0) trên trục ngang (hình2).

Hình 2

Khi chúng ta đi từ điểm (x, y) sang phải dọc theo đoạn, tọa độ đầu tiên sẽ tăng lên và chúng ta viết y trên trang đầu tiên, tức là số ô trong đoạn này. Tương tự, khi đi từ (x, y) trở xuống, ta viết x vào tờ thứ hai - số ô ở bên trái của đoạn. Hóa ra là chúng ta sẽ đếm mỗi ô bên dưới đa tuyến hai lần: một lần trên trang tính đầu tiên khi chúng ta vượt qua nó và một lần trên trang tính thứ hai khi chúng ta vượt qua bên phải của nó (hình3). Điều này có nghĩa là tổng các số trên các tờ giấy sẽ bằng nhau và bằng số ô dưới đường nét đứt.

Hình 3

Ý tưởng chính của lời giải thứ hai là xem xét tập hợp tất cả các vị trí có thể có của hệ thống; trong bài viết này chúng tôi sẽ sử dụng kỹ thuật này nhiều lần. Trong toán học, tập hợp như vậy được gọi là không gian pha của hệ. (Nhưng thông thường thuật ngữ này được sử dụng trong một bối cảnh khác.) Bài toán 3. Có m chàng trai và d cô gái xếp thành một hàng theo thứ tự nào đó. Mỗi đứa trẻ được hỏi có bao nhiêu đứa trẻ khác giới đứng bên trái mình. Tổng các số mà trẻ đặt tên là bao nhiêu? Đáp số: md.

KVANT 2015/№3

Ở góc nào $\alpha$ giữa thanh và tường thì thanh sẽ tách ra khỏi bức tường thẳng đứng và vận tốc của hai đầu thanh dọc theo tường và dọc theo sàn lúc này là bao nhiêu? 2. Từ một hình trụ có bán kính r = 2 cm, một chất lỏng (hình6) được ép ra bằng pít-tông. Nó lan rộng khắp bề mặt

Hình 6

lớp h = 2 mm dày, tạo thành vết tròn. Tốc độ của piston là u = 6 cm/s. Tốc độ v giãn nở của ranh giới điểm đối với bán kính điểm R = 30 cm là bao nhiêu? 3. Trong phòng có âm lượng $V = 75 м^{3}$ , nhiệt độ không khí giống như bên ngoài, tức là $t_{1} = - 20 ^\circ C$ . Lò sưởi điện được bật và nó từ từ làm ấm không khí trong phòng lên $t_{2} = + 23 ^\circ C$ . Một phần không khí thoát ra ngoài qua cửa sổ đóng chặt. Tìm sự thay đổi nội năng của không khí trong phòng và công do không khí thực hiện khi nó giãn nở ra bên ngoài. Lấy áp suất khí quyển bằng $p_{a} = 10^{5}$ Pa. 4. Vẽ đồ thị điện trở của mạch điện ở hình 7 so với điện trở r của mỗi cặp điện trở. Điện trở của một cặp điện trở khác

Hình 7

tori không thay đổi và bằng R = 50 Ohm cho mỗi tori. Hãy xem xét diode lý tưởng, tức là điện trở của nó theo hướng thuận là không đáng kể và theo hướng ngược lại là rất cao. 5. Một vật nặng treo trên một sợi dây có chiều dài L = 1,1 m buộc vào một chiếc đinh, bị đẩy cho nổi lên rồi đập vào chiếc đinh. Vận tốc của nó lúc chạm vào chiếc đinh là bao nhiêu? Gia tốc trọng trường g. 6. Vào buổi trưa, qua một cửa sổ nhỏ trên bức tường phía Nam của một căn phòng tối, một tia nắng chiếu vào, song song với các bức tường phía Tây và phía Đông. Sau khi phản xạ từ một tấm gương phẳng đặt trên bàn nằm ngang, chùm sáng chiếu vào bức tường phía bắc. Diện tích bóng nào sẽ được tạo ra trên bức tường phía bắc bởi một vòng tròn mờ có bán kính r = 10 cm đứng thẳng đứng trên gương, nếu mặt phẳng của gương song song với bức tường phía nam? 7. Một proton, được gia tốc bởi hiệu điện thế U = 500 kV, bay trong một từ trường đều ngang có cảm ứng B = 0,51 T (hình8). Độ dày của vùng có trường là d = 10 cm. Tìm độ dịch chuyển và góc lệch của vận tốc proton so với hướng ban đầu tại lối ra khỏi vùng này.

Hình 8

Lịch sử của những ý tưởng và khám phá khoa học

Toán học

Câu thứ hai mươi trong Quyển IX của Cơ sở Euclide nêu rõ: “Có nhiều số đầu tiên hơn bất kỳ số nào được đề xuất trong số đó”. Hãy hình thành phát biểu này theo thuật ngữ hiện đại và chứng minh nó. 2. Archimedes, Euclid, Apollonius xứ Perga và các nhà toán học vĩ đại khác thời cổ đại gọi parabol là quỹ tích hình học của các điểm cách đều một điểm và một đường cho trước. Đảm bảo rằng đồ thị của hàm $y = x^{2}$ là một parabol. 3. Vào năm 1202, Leonardo xứ Pisa (Fibonacci) trong “Sách bàn tính” của ông đã xem xét một dãy, mỗi phần tử của nó bằng tổng của hai dãy trước, tức là dãy $\phi_{1} = \phi_{2} = 1, \phi_{n} +_{2} = \phi_{n} +_{1} + \phi_{n}$ tại $n \ge 1$ . Sau đó, số Fibonacci thường xuất hiện trong nhiều ngành toán học khác nhau - lý thuyết số, đại số, tổ hợp, logic toán học, v.v. Nhiều tính chất đáng chú ý của những con số này đã được phát hiện. Ví dụ, người ta có thể chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m đều có số Fibonacci chia hết cho m. Tìm hiểu xem có bất kỳ số Fibonacci nào có thể là lũy thừa của 7. 4. Một trong những nhà toán học nổi tiếng thế giới vĩ đại nhất, L. Euler, vào năm 1752 đã chứng minh một định lý được coi là định lý đầu tiên trong lịch sử của một trong những nhánh sâu sắc nhất của toán học - cấu trúc liên kết. Định lý Euler phát biểu rằng số đỉnh B, số cạnh P và số mặt G của một khối đa diện lồi tùy ý thỏa mãn đẳng thức B - P + + G = 2. Sử dụng định lý này, hãy tìm hiểu xem có tồn tại một khối đa diện lồi có tất cả các mặt là hình lục giác hay không. 5. Một nhà toán học lỗi lạc khác K.F. Gauss đã chứng minh “định lý chỉ số” đáng chú ý: nếu p là số nguyên tố thì tồn tại một số tự nhiên g sao cho lũy thừa của nó $g, g^{2}$ , …, $g^{p} -^{1}$ cho các số dư khác nhau khi chia cho p, và $g^{p} -^{1} - 1$ chia hết cho p (định lý nhỏ Fermat); và do đó, trong dãy lũy thừa có các số cho biết tất cả các số dư có thể có khi chia cho p. Ví dụ, với p = 17, chúng ta có thể lấy g = 3, vì khi viết tuần tự phần dư của lũy thừa ba khi chia cho 17, chúng ta có

3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6, 1

– tất cả các dư lượng đều khác nhau. Sử dụng định lý Gauss, chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p đều tồn tại một số tự nhiên x sao cho tích $x^{2} - 2 x^{2} - 3 x^{2} - 6$ chia hết cho p.

(

)(

)

Vật lý

Giải Nobel năm 1904 đã được trao “cho những nghiên cứu của ông về mật độ của các loại khí phổ biến nhất và cho việc phát hiện ra argon trong quá trình nghiên cứu này.” Nhà khoa học nhận được giải thưởng này là một quý tộc người Anh. Ông học tại trường Cao đẳng Trinity. Sau cái chết của J.C. Maxwell, ông trở thành Giáo sư Cavendish thứ hai và giám đốc Phòng thí nghiệm Cavendish. Ông là Thư ký của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn và Chủ tịch Đại học Cambridge. Công trình chính của ông liên quan đến lý thuyết dao động mà ông là một trong những người sáng lập. Ông nghiên cứu sự rung động của dây, thanh, tấm và vỏ. Năm 1873 ông đã đưa ra một số định lý cơ bản

Thế Vận Hội

lý thuyết tuyến tính về dao động, cho phép người ta đưa ra kết luận định tính về tần số tự nhiên của hệ dao động. Trong tác phẩm cơ bản “Lý thuyết âm thanh”, lần đầu tiên một cách tiếp cận thống nhất để nghiên cứu các quá trình dao động và sóng có bản chất vật lý khác nhau đã được tiết lộ rõ ràng. Ông đã xem xét việc bổ sung các dao động với các pha ngẫu nhiên và thu được hàm phân bố tần số cho biên độ thu được. Chức năng phân phối này lấy tên của ông. Hóa ra sự phân bố mật độ năng lượng của một vật thể hoàn toàn đen trên các bước sóng cũng được mô tả bởi hàm này (sự phân bố này mang cả tên của nhà khoa học này và đồng nghiệp của ông D. Jeans, người đã độc lập thu được kết quả này vào năm 1905). Khám phá quan trọng nhất của ông là lý thuyết về sóng đàn hồi bề mặt (được đặt tên theo tên ông) - các nhiễu loạn đàn hồi lan truyền trong một vật rắn dọc theo ranh giới tự do của nó và tắt dần theo độ sâu. Ông giải thích sự khác biệt giữa vận tốc nhóm và vận tốc pha, thiết lập mối quan hệ giữa chúng, đặt nền móng cho lý thuyết tán xạ ánh sáng phân tử (đồng thời giải thích màu xanh của bầu trời) và tạo ra lý thuyết về khả năng phân giải của các dụng cụ quang học. Trong tất cả các ngành vật lý này đều có các công thức, quy trình và lý thuyết được đặt theo tên ông. a) Nhà khoa học này là ai? b) Kể tên các dụng cụ vật lý khác, số model và tiêu chí không nêu trong văn bản, mang tên nhà khoa học này. 2. Vào thế kỷ thứ ba trước Công nguyên. Một thí nghiệm nổi bật đã được thực hiện - lần đầu tiên trong lịch sử loài người, bán kính Trái đất được đo. Trong các thước đo chiều dài được áp dụng vào thời điểm đó, nó lên tới 252 nghìn sân vận động. Thật không may, tác giả của nghiên cứu đã không cho biết liệu ông sử dụng giai đoạn Hy Lạp hay giai đoạn được áp dụng cho các phép đo ở quốc gia nơi ông sinh ra và làm việc. Tùy thuộc vào điều này, sai số đo, theo ước tính hiện đại, là 1,5% hoặc 10% (giá trị sai số nhỏ hơn thu được với giả định rằng nhà khoa học đã sử dụng giai đoạn “bản địa” cho anh ta). a) Kể tên nhà khoa học đầu tiên trong lịch sử loài người đo được bán kính Trái đất. b) Nhà khoa học này sống và làm việc ở nước nào? c) Nhà khoa học đã thực hiện các phép đo ở những thành phố nào và đặc điểm nào về vị trí địa lý của những thành phố này đã giúp nhà khoa học có thể tiến hành thí nghiệm tao nhã này? 3. Vào thế kỷ thứ ba trước Công nguyên. một định luật thủy tĩnh rất quan trọng đã được phát hiện. Việc phát hiện ra luật này đã phải thực hiện rất nhiều công việc để tìm hiểu xem vương miện hoàng gia được làm hoàn toàn bằng vàng hay những người thợ kim hoàn đã trộn bạc vào vương miện. Lịch sử đã lưu giữ tên tuổi của không chỉ tác giả của phát hiện mà còn cả khách hàng của tác phẩm - nhà vua (hay nói chính xác trong danh hiệu là một bạo chúa, khi đó từ này không mang hàm ý tiêu cực) Hiero. Không có dữ liệu chính xác về việc bạc có được tìm thấy trên vương miện hay không. Và đối với lịch sử khoa học thì điều này không quá quan trọng. a) Đặt tên cho nhà khoa học và xây dựng định luật mang tên ông. b) Kể tên thành phố và vùng lãnh thổ nơi diễn ra các sự kiện được mô tả. c) Ước lượng sai số tuyệt đối của phép đo. Liệu một nhà khoa học sử dụng các dụng cụ đo lường thời đó có thể thu được kết quả đáng tin cậy không? 4. Có một câu chuyện nổi tiếng kể rằng một nhà khoa học người Ý sống và làm việc ở thế kỷ 16-17 đã ném những quả bóng từ Tháp nghiêng Pisa để chứng minh giả thuyết rằng tốc độ của một vật rơi tự do không phụ thuộc vào khối lượng của nó. Tuy nhiên, cả anh ấy và chúng tôi đều hiểu rằng thí nghiệm này có độ chính xác hạn chế. Nhà khoa học đã thực hiện một loạt thí nghiệm phức tạp hơn và thu được kết quả thực nghiệm

bằng chứng của giả thuyết này. Ông cũng đã xây dựng nguyên tắc làm cơ sở cho mọi cơ học cổ điển. a) Nhà khoa học này là ai? b) Người ta đã làm những thí nghiệm gì để chứng minh giả thuyết? c) Xây dựng nguyên tắc quy định tại điều kiện. 5. Năm 1818, tại một trong những cuộc họp của Viện Hàn lâm Pháp, công việc nghiên cứu về nhiễu xạ ánh sáng đã được xem xét. Một trong những thành viên của Viện Hàn lâm, một nhà khoa học nổi tiếng, nghi ngờ tính hợp pháp của việc coi ánh sáng là một quá trình sóng. Người chủ trì cuộc họp đề xuất tiến hành một thí nghiệm và dự đoán một kết quả nghịch lý, điều này chứng tỏ rõ ràng có lợi cho lý thuyết sóng của ánh sáng. Thí nghiệm đã được thực hiện. Đã thu được mẫu nhiễu xạ dự đoán, được đặt theo tên của đối thủ còn nghi ngờ. a) Tác giả của tác phẩm là ai? b) Thu được kết quả gì? c) Kết quả được đặt theo tên của ai? d) Ai chủ trì cuộc họp của Viện?

Giải Toán Quốc tế III mang tên M.V. Lomonosov dành cho học sinh lớp 5–8

Vòng thi đồng đội miệng

lớp 5–6

Có bao nhiêu số có bốn chữ số viết là 1 và 2? 2. Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành góc bao nhiêu ở vị trí 10 giờ 12 phút? 3. Có 10.000 đồng xu một xu trong con heo đất. Hàng tháng, 30% nội dung trong heo đất được chi tiêu. Hỏi sau bốn tháng còn lại bao nhiêu đồng xu trong heo đất? 4. Cho hình vuông ABCD, điểm K là trung điểm cạnh AB, điểm L là trung điểm cạnh AD, hai đoạn thẳng CL và DK cắt nhau tại điểm M. Chứng minh tam giác BCM cân.

Đá phạt bài toán

Ш1. Thêm hai chữ số vào bên phải số 987 để số có năm chữ số chia hết cho 5, 6, 7. Ш2. Tìm hai số tự nhiên có hiệu chính phương là 37. Ш3. Một du khách phải mất 6 giờ để leo lên dốc với tốc độ không đổi và 2 giờ để xuống dốc với tốc độ không đổi. Bao lâu sau khi bắt đầu leo núi, du khách sẽ quay trở lại chân núi nếu anh ta bắt đầu xuống núi sau 4 giờ kể từ khi bắt đầu leo núi? Ш4. Tìm diện tích của $фигуры,_{Рис.} 9$ như trong hình 9.

lớp 7–8

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n sao cho tích ( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 )( n + 4 ) chia hết cho 1000. 2. Một hình vuông nội tiếp trong một tam giác vuông có hai cạnh a và b, một đỉnh trùng với đỉnh góc vuông của tam giác, đỉnh đối diện của hình vuông nằm trên cạnh huyền của tam giác. Tìm diện tích hình vuông. 3. Một số có bốn chữ số có dạng aabb có thể là bình phương của một số nguyên không?