Đã chọn bài toán LXXVIII Olympic Toán Moscow

44

KVANT 2015/№4

cả hai hướng cho đến khi chúng giao nhau với đường tròn, thu được hai đoạn mới nằm bên ngoài đa giác. Sau đó, một số đoạn kết quả 2N có màu đỏ và phần còn lại có màu xanh lam. Chứng minh rằng bạn có thể tô màu các đoạn này sao cho tổng độ dài các đoạn màu đỏ bằng tổng độ dài các đoạn màu xanh. Văn học dân gian, do G. Galperin đề xuất

7. (10) Hoàng đế mời 2015 pháp sư thiện ác đến dự lễ, trong khi pháp sư biết ai thiện ai ác, nhưng hoàng đế thì không. Một phù thủy tốt luôn nói sự thật, còn một phù thủy xấu xa thì nói bất cứ điều gì. Tại lễ hội, hoàng đế hỏi mỗi phù thủy một câu hỏi theo bất kỳ thứ tự nào anh ta muốn (yêu cầu đáp số “có” hoặc “không”) và lắng nghe đáp số, và sau cùng, đáp số anh ta trục xuất một người. Thầy phù thủy đi ra ngoài qua cánh cửa phù phép, và hoàng đế biết được liệu anh ta là thiện hay ác. Sau đó, hoàng đế lại hỏi mỗi pháp sư còn lại một câu hỏi, lại trục xuất một người, v.v., cho đến khi hoàng đế quyết định dừng lại (điều này có thể thực hiện được sau bất kỳ đáp số nào, và sau khi dừng lại, không ai có thể bị trục xuất). Chứng minh rằng hoàng đế có thể trục xuất tất cả các phù thủy độc ác trong khi loại bỏ không quá một phù thủy tốt. I. Mitrofanov

lớp 10–11

1. a) (2) Xem bài toán 3,a dành cho lớp 8–9. b) (3) Xem bài toán 3,b dành cho lớp 8–9.

2 (5). Xem bài toán M2391 “Bài toán Kvant”.

3. a) (2) Xem bài toán M2392,a “Bài toán Kvant. b) (6) Xem bài toán M2392,b “Bài toán Kvant.

4 (8). Xem bài toán 6 cho lớp 8–9.

5 (10). Có hai đa thức có hệ số nguyên sao cho mỗi đa thức có hệ số có mô đun lớn hơn 2015, nhưng đồng thời tích của chúng có mô đun của tất cả các hệ số không lớn hơn 1? A. Kanel-Belov

6 (10). Xem bài toán M2394 “Bài toán Kvant”.

7 (10). Xem bài toán M2395 “Bài toán Kvant”.

TOUR NÓI DÀNH CHO LỚP 11

1. Xem bài toán M2390 “Bài toán Kvant”.

2. Các tam giác ABC và ADE có E nằm trên tia AB và D nằm trên tia AC. Hóa ra các đường phân giác BX và DY của các tam giác này vuông góc với nhau. Chứng minh rằng XY song song với EC. V.Mokin 3. Ban đầu, các công ty $2^{n}$ có trụ sở tại trung tâm thương mại, mỗi công ty chiếm một khu vực nhất định, tất cả các khu vực đều khác nhau. Mỗi năm, các công ty được ghép đôi và trong mỗi cặp, công ty có quy mô nhỏ hơn sẽ gia nhập công ty với công ty lớn hơn. Hơn nữa, không bao giờ có hai công ty có cùng khu vực. Sau n năm chỉ còn lại một công ty. Diện tích nhỏ nhất (tính từ nhỏ nhất đến lớn nhất) mà công ty này có thể chiếm được lúc đầu là bao nhiêu? B. Frenkin 4. Xem bài toán M2393 “Bài toán Kvant.

3. 3 quả bóng giống nhau được đặt vào một hộp hình lập phương. Chứng minh rằng có thể đặt 4 quả bóng giống hệt nhau vào cùng một ô trống. M. Evdokimov 6. Hai cung thể thao tuyển sinh học sinh vào các khu vực. Mỗi phần của cung thứ nhất có không ít hơn n con, và mỗi phần của cung thứ hai có không ít hơn k con. Hóa ra là mỗi học sinh đều tham dự cùng số tiết học ở cung thứ nhất cũng như ở cung thứ hai. Ngoài ra, bất kỳ hai khu vực nào của các cung điện khác nhau đều có nhiều nhất một học sinh chung. Chứng minh rằng có ít nhất nk đứa trẻ được vào cung thứ nhất. N. Vereshchagin, A. Romashchenko Ấn phẩm được biên soạn bởi I. Bogdanov, S. Dorichenko, L. Mednikov, I. Rubanov, A. Semenov, B. Frenkin, A. Shapovalov

Đã chọn bài toán LXXVIII Olympic Toán Moscow

1 (lớp 6). Yura vẽ một hình chữ nhật (theo hình vuông) trên giấy ca rô và vẽ một bức tranh lên đó. Sau đó, anh ấy vẽ một khung rộng một ô xung quanh bức tranh (xem hình). Thì ra diện tích của bức tranh bằng diện tích của khung hình. Bức tranh của Yurina có thể có những kích thước nào? (Liệt kê tất cả các phương án và chứng minh rằng không có phương án nào khác.) T. Golenishcheva-Kutuzova

2 (lớp 7). Có một bộ gồm hai thẻ: 1 và 2. Trong một thao tác, bạn có thể tạo biểu thức bằng cách sử dụng các số trên thẻ, phép tính số học và dấu ngoặc đơn. Nếu giá trị của nó là số nguyên không âm thì nó sẽ được cấp trên thẻ mới.

(Ví dụ: có quân bài 3, 5, 7, bạn có thể ghép biểu thức 7 5 /3 lấy thẻ 25, hoặc ghép biểu thức 3 5 lấy thẻ 35.) Cách lấy thẻ có số 2015: a) thực hiện 4 thao tác; b) cho 3 thao tác? I. Yashchenko

3 (lớp 7). Petya viết 25 số vào các ô của hình vuông $5 \times 5$. Được biết, tổng của chúng là 500. Vasya có thể yêu cầu anh ta gọi tên tổng của các số trong bất kỳ ô nào và tất cả các ô lân cận của nó. Với một vài câu hỏi như thế này, liệu Vasya có thể tìm ra số nào được viết trong ô trung tâm không? E. Bakaev

4 (lớp 8). Misha nhận thấy rằng trên màn hình điện tử hiển thị tỷ giá hối đoái giữa đồng đô la và đồng rúp (4 chữ số cách nhau bằng dấu thập phân), bốn chữ số khác nhau vẫn sáng như một tháng trước, nhưng theo thứ tự khác. Tại

47

Thế Vận Hội

4. Khách du lịch đốt lửa và đun sôi nước trong một chiếc nồi có đáy phẳng, thành thẳng đứng, đổ đầy nồi đến n = 3/4 thể tích của nó. Khi nước sôi, không nhấc nồi ra khỏi lửa và $t_{1} = 10$ phút sau khi bắt đầu sôi, lượng nước trong nồi giảm đi $\eta_{1} = =$ 34%. Đúng lúc đó trời bắt đầu đổ mưa nhưng du khách vẫn tiếp tục giữ lửa vì một nhóm người mang đồ ăn đến muộn. Trong $t_{2} = 8$ phút tiếp theo, lượng nước trong nồi giảm thêm $\eta_{2} =$ 8% giá trị ban đầu. Người ta biết rằng một cái chậu rỗng đặt thẳng đứng trên mặt đất sẽ bị mưa lấp đầy lên trên trong $t_{3} = 64$ phút. Xác định nhiệt độ của hạt mưa trước khi vào chậu. Nhiệt dung riêng của nước c = 4200 J (kg $\cdot ^\circ$ C), nhiệt dung riêng bay hơi của nước $r = 2,2 \cdot 10^{6}$ J kg. Giả sử nhiệt năng cung cấp cho nước trong lò hơi luôn được duy trì không đổi và cường độ mưa không thay đổi. M.Romashka

lớp 9

1. Một quả bóng được ném với vận tốc ban đầu v từ mặt đất một góc $\alpha$ so với phương ngang. Tại thời điểm quả bóng ở độ cao tối đa, một hòn đá được ném từ cùng một điểm trên bề mặt trái đất một góc $\beta$ so với đường chân trời. Kích thước của quả bóng và hòn đá nhỏ, sức cản của không khí có thể bỏ qua. 1) Xác định vận tốc ban đầu của hòn đá được ném nếu nó va chạm với quả bóng trong quá trình bay. 2) Tìm thời gian chuyển động của hòn đá từ lúc ném đến lúc va chạm vào quả bóng. L. Arzamassky 2. Trên đáy đất sét nằm ngang của một hồ chứa có một khối lập phương có chiều dài cạnh a và mật độ $\rho$. Độ cao của mực nước tính từ mặt trên của hình lập phương là H. Tại thời điểm ban đầu dưới hình lập phương không có nước. Nước bắt đầu chảy rất chậm dưới khối lập phương. Diện tích S của phần cạnh dưới vẫn khô cho đến khi khối lập phương bắt đầu nổi là bao nhiêu? Mật độ của nước là $\rho_{в}$, một khối lập phương nhẹ hơn nước. E. Mazhnik 3. Để làm cuộn dây đốt nóng của lò hơi, chúng tôi lấy một sợi dây dài $l_{1}$. Sau khi kết nối nồi hơi này với nguồn điện áp có điện trở trong thấp, phải mất $\tau_{1} = 2$ phút để làm nóng một khối lượng nước nhất định trong nhiệt lượng kế lên $50 ^\circ C$. Sau đó, dây làm cuộn dây của nồi hơi được nấu chảy và một dây mới dài $l_{2} = 2 l_{1}$ được tạo ra từ sự nấu chảy. Từ dây mới, họ tạo ra một hình xoắn ốc khác cho lò hơi, hạ nó vào một nhiệt lượng kế khác với một lượng nước khác và kết nối lò hơi với cùng một nguồn điện áp. Phải mất $\tau_{2} = 12$ phút để làm nóng nước thêm $50 ^\circ C$ trong nhiệt lượng kế thứ hai. Khối lượng nước ở nhiệt lượng kế thứ hai khác khối lượng nước ở nhiệt lượng kế thứ nhất bao nhiêu lần? Xét rằng không có sự mất nhiệt khi đun nóng nước, nhiệt dung của nhiệt lượng kế là không đáng kể, mật độ và độ dẫn điện của kim loại sau khi nấu chảy lại vẫn giữ nguyên. E.Yakuta

2. Đoạn AB của mạch điện, có sơ đồ thể hiện ở hình 3, bao gồm các điện trở và dây dẫn giống hệt nhau, điện trở của chúng không đáng kể. Điện trở của đoạn mạch này là $R_{1} = 730$ Ohm. Sau khi cậu học sinh Vasya cắt một trong những sợi dây,

Hình 3

Điện áp của đoạn AB trở thành bằng $R_{2} = 1360$ Ohm. Vasya có thể cắt dây ở điểm nào? Chỉ định hai điểm như vậy. Đáp số biện minh. M.Romashka

lớp 10

1. Một chiếc thuyền nhỏ đang đi dọc theo mặt hồ phẳng lặng, quỹ đạo của nó song song với đường thẳng của bờ và nằm cách bờ một khoảng L (hình4). Người quan sát đứng tại điểm A thấy sóng đầu tiên từ thuyền tới điểm A sau thời gian t sau khi thuyền vượt qua đường thẳng AB, vuông góc với bờ. Sau đó, sóng đánh vào bờ tại nơi này với chu kỳ T. Khoảng cách giữa các đỉnh sóng lân cận là Hình 4 bằng $\lambda$. Tìm vận tốc của thuyền, giả sử rằng các sóng do thuyền kích thích trên mặt nước gần như điều hòa. M.Romashka

2. Một vòng tròn bán kính R được cố định trong một mặt phẳng thẳng đứng, trên đó đặt một hạt có khối lượng m ở điểm trên cùng. Sau một lực đẩy nhỏ, hạt bắt đầu trượt xuống vòng dưới tác dụng của trọng lực. Mọi lực ma sát đều có thể bỏ qua. 1) Hạt ép lên chiếc nhẫn tại một điểm nằm trên đường kính nằm ngang của nó với lực bằng bao nhiêu? 2) Mô đun động lượng của hạt tại thời điểm nó không ép vào vòng là bao nhiêu? M. Semenov

3. Vòi có hai vòi - lạnh và nóng. Các vòi giống hệt nhau về thiết kế - lượng nước chảy qua mỗi vòi trong một giây tỷ lệ thuận với góc quay của vòi khi mở. Nếu bạn vặn vòi lạnh sang góc $\alpha_{1} = 180 ^\circ$ và vòi nóng sang góc $\beta_{1} = 60 ^\circ$, nước sẽ chảy ra từ vòi trộn ở nhiệt độ $t_{1} = 36 ^\circ C$. Nếu bạn xoay vòi lạnh sang một góc $\alpha_{2} = 120 ^\circ$ và vòi nóng sang một góc $\beta_{2} = 90 ^\circ$ thì nước có nhiệt độ $t_{2} = 48 ^\circ C$ sẽ chảy ra từ vòi trộn. Tìm nhiệt độ của nước chảy ra từ vòi trộn khi vặn vòi lạnh một góc $\alpha_{3} = 160 ^\circ$ và vòi nóng quay một góc $\beta_{3} = 80 ^\circ$. Bỏ qua tổn thất nhiệt trong máy trộn. M.Romashka

4. Ở đáy của một bình hình trụ thẳng đứng, được ngăn cách bằng một piston nhẹ chuyển động được, có argon. Phần trên của bình chứa đầy nước có khối lượng m = 1 kg và thông với khí quyển. Ở nhiệt độ $t_{1} = 27 ^\circ C$ pít-tông nằm ở độ cao bằng 1/4 chiều cao của bình. Sau khi làm nóng toàn bộ hệ thống đến nhiệt độ $t_{2} = 127 ^\circ C$, trạng thái cân bằng đạt được khi pít-tông nằm ở 1/2 chiều cao của bình. Tìm diện tích S

50

KVANT 2015/№4

Ghi chú. Trọng tâm của một tam giác đồng nhất nằm ở giao điểm của các đường trung tuyến của nó. S. Varlamov

3. Do một cơ hội may mắn, sinh viên xuất sắc Ruslan và đệ nhất người đẹp Lyudmila đã có cơ hội cùng nhau thực hiện một công việc thí nghiệm đơn giản về vật lý trong phòng thí nghiệm, “Xác định nhiệt dung riêng của phản ứng tổng hợp của một chất chưa biết”. Ruslan bật lò nung, đặt một công suất đốt nóng nhất định, đặt một phần chất đang nghiên cứu vào viên nang và bắt đầu đo chính xác vào lúc 10:00 giờ Moscow. Khi Ruslan đến gặp giáo viên, Lyudmila buồn chán đã bí mật chuyển công tắc bật tắt để đặt nguồn điện lò sang vị trí khác (điều này tất nhiên là cô không nhớ) và không thay đổi nữa. Trước sự ngạc nhiên vô cùng của Ruslan, kết quả của công việc hoàn toàn không chính xác, và sau đó, trước nguy cơ bị điểm kém, Lyudmila đã thú nhận những gì mình đã làm. Cô giáo thương xót bọn trẻ, đưa số liệu tham khảo rồi yêu cầu chúng xác định: 1) sức mạnh của chiếc lò do Lyudmila đặt; 2) thời gian chính xác ở Matxcơva khi Lyudmila bật công tắc bật tắt cài đặt nguồn điện. Sử dụng biểu đồ nhiệt độ t của một chất theo thời gian $\tau$ (hình10) do Ruslan thu được với sự “trợ giúp” của Lyudmila, giúp học sinh hoàn thành nhiệm vụ của giáo viên.

Hình 10

Dữ liệu tham khảo. Nhiệt dung riêng của chất đang nghiên cứu ở trạng thái lỏng là $c_{ж} = 260$ J (kg $\cdot ^\circ$ C), nhiệt dung riêng của phản ứng tổng hợp của chất này là $\lambda = 60$ kJ kg, khối lượng của một mảnh chất là m = 50 g, công suất của lò do Ruslan lắp đặt ban đầu là $P_{1} = 6$ W. E. Vishnykova

4. “Hộp đen” chứa một mạch gồm một viên pin lý tưởng có điện áp $U_{0} = 3,3$ V và một điện trở có điện trở $R_{0} = = 1500$ Ohm (hình11, bên trái) mắc nối tiếp. Khi cố gắng tạo ra một “hộp đen” thứ hai cùng loại, hóa ra những viên pin có yêu cầu

Hình 11

Trong phòng thí nghiệm không còn điện áp 3,3 V nữa, nhưng có một loại pin lý tưởng khác có điện áp $U_{1} = 5$ V. Vì lý do này, chúng tôi quyết định lắp ráp một mạch bao gồm một pin hiện có và hai điện trở, kết nối các phần tử này như trong hình 11 bên phải. Tìm điện trở của các điện trở $R_{1}$ và $R_{2}$ phải bằng bao nhiêu để hai “hộp đen” này tương đương với nhau. D. Kharabadze

lớp 10

1. Hệ thống hiển thị ở hình 12 bao gồm ba khối, ba trọng lượng giống hệt nhau, hai sợi dài (sợi đầu tiên được hiển thị trong hình với đường màu xanh lam, sợi thứ hai có đường màu đỏ) và một sợi dây ngắn. Tải trọng thứ nhất có khối lượng m được gắn vào đầu sợi thứ nhất, ném qua khối giữa và khối bên trái. Một tải thứ hai có khối lượng m được gắn vào đầu sợi thứ hai, ném qua khối bên phải và khối giữa. Vật thứ ba có cùng khối lượng được treo trên một sợi dây đến trục của khối bên phải. Các phần ren không nằm trên khối thì thẳng đứng. Tất cả các khối và sợi chỉ có thể được coi là không trọng lượng, sợi chỉ và sợi dây không thể giãn nở và lực ma sát Hình 12 là không đáng kể. Khi xoay khối giữa, sợi thứ nhất và thứ hai không can thiệp vào nhau. Tìm mô-đun tăng tốc hàng hóa. A. Kovalenko

2. Một đoạn dây được uốn thành một phần đối xứng của parabol và được đặt sao cho trục đối xứng của nó thẳng đứng (hình13). Một hạt nhỏ có khối lượng m được đặt trên đoạn này, giữ nó ở một trong các cạnh của dây. Sau đó hạt được thả ra không có tốc độ ban đầu và nó bắt đầu trượt dọc theo dây dưới tác dụng của trọng lực. Tìm độ lớn của lực mà hạt sẽ ấn lên dây, ở $самой^{Рис.} 13$ điểm thấp nhất trong quỹ đạo của nó. Ma sát là không đáng kể. Kích thước L và H được chỉ ra trên hình đã biết. A.Yakuta

3. Một mol khí lý tưởng tham gia vào quá trình tuần hoàn 1–2–3–1 của động cơ nhiệt hoạt động ở chế độ động cơ nhiệt. Ở trạng thái 1, khí có nhiệt độ $T_{1}$ và thể tích $V_{1}$. Được biết, tất cả các quá trình chuyển khí từ trạng thái này sang trạng thái khác đều có tính chất đa hướng. Chỉ số đa hướng của quy trình 2–3 nhiều hơn một chỉ số đa hướng của quy trình 3–1 và nhỏ hơn một chỉ số đa hướng của quy trình 1–2. Trong quá trình 1–2, thể tích khí tăng k lần. Một trong những quá trình trong chu trình là đẳng nhiệt và trong quá trình này thể tích khí thay đổi giá trị của nó trong phạm vi rộng nhất có thể có trong chu trình này. 1) Xác định thể tích và nhiệt độ của khí ở trạng thái 3. 2) Vẽ trên biểu đồ pV chu trình tương ứng với điều kiện bài toán, biểu thị chỉ số đa biến của từng quá trình. Thẩm quyền giải quyết. Một quá trình trong đó nhiệt dung của khí không thay đổi được gọi là đa hướng: C = const. Phương trình của quá trình như vậy có dạng $pV^{n} =$ const hoặc $p_{1} V_{1}^{n} = p_{2} V_{2}^{n}$. Giá trị n được gọi là chỉ số đa hướng. E. Vishnyakova

4. Tìm nhiệt năng được giải phóng trong đoạn ACDEFB của mạch nối tại điểm A và B với một cục pin có emf E = 5 V và điện trở trong r = 1,04 Ohm (hình14). Điện trở của điện trở được biểu thị bằng ohm; điện trở của các dây nối có thể bỏ qua. Các dây chỉ được kết nối ở những nơi được chỉ định bởi dấu chấm. E.Mazhnik