Избранные задачи LXXVIII Московской математической олимпиады

44

КВАНТ 2015/№4

обоих направлениях до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2N полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные — в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих. Фольклор, предложил Г.Гальперин

7. (10) Император пригласил на праздник 2015 волшебников, добрых и злых, при этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император – нет. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой говорит что угодно. На празднике император в каком хочет порядке задает каждому волшебнику по вопросу (требующему ответа «да» или «нет») и слушает ответ, а после всех ответов одного изгоняет. Волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнает, добрый он был или злой. После этого император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет и так далее, пока император не решит остановиться (это возможно после любого из ответов, и после остановки можно никого не изгонять). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго. И.Митрофанов

10–11 классы

1. а) (2) См. задачу 3,а для 8–9 классов. б) (3) См. задачу 3,б для 8–9 классов.

2 (5). См. задачу М2391 «Задачника «Кванта».

3. а) (2) См. задачу М2392,а «Задачника «Кванта». б) (6) См. задачу М2392,б «Задачника «Кванта».

4 (8). См. задачу 6 для 8–9 классов.

5 (10). Существуют ли такие два многочлена с целыми коэффициентами, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но при этом у их произведения модули всех коэффициентов не больше 1? А.Канель-Белов

6 (10). См. задачу М2394 «Задачника «Кванта».

7 (10). См. задачу М2395 «Задачника «Кванта».

УСТНЫЙ ТУР ДЛЯ 11 КЛАССА

1. См. задачу М2390 «Задачника «Кванта».

2. Треугольники ABC и ADE таковы, что E лежит на луче AB, а D лежит на луче AC. Оказалось, что биссектрисы BX и DY этих треугольников перпендикулярны. Докажите, что XY параллельно EC. В.Мокин 3. Изначально в бизнес-центре базировались $2^{n}$ фирм, каждая занимала некоторую площадь, все площади были различны. Каждый год фирмы объединялись в пары, и в каждой паре фирма с меньшей площадью присоединялась к фирме с большей. При этом ни в какой момент времени не было двух фирм с одинаковой площадью. Через n лет осталась одна фирма. Какое наименьшее место по площади (считая от меньшей к большей) эта фирма могла занимать вначале? Б.Френкин 4. См. задачу М2393 «Задачника «Кванта».

3. В кубическую коробку поместили 3 одинаковых шара. Докажите, что в точно такую же пустую коробку можно поместить 4 таких же шара. М.Евдокимов 6. Два дворца спорта набрали школьников в секции. В каждой секции первого дворца не меньше чем по n детей, а в каждой секции второго – не меньше чем по k детей. Оказалось, что каждый школьник посещает столько же секций в первом дворце, сколько и во втором. Кроме того, в любых двух секциях из разных дворцов есть не более одного общего школьника. Докажите, что в первый дворец попало не меньше nk детей. Н.Верещагин, А.Ромащенко Публикацию подготовили И.Богданов, С.Дориченко, Л.Медников, И.Рубанов, А.Семенов, Б.Френкин, А.Шаповалов

Избранные задачи LXXVIII Московской математической олимпиады

1 (6 класс). Юра начертил на клетчатой бумаге прямоугольник (по клеточкам) и нарисовал на нем картину. После этого он нарисовал вокруг картины рамку шириной в одну клеточку (см. рисунок) Оказалось, что площадь картины равна площади рамки. Какие размеры могла иметь Юрина картина? (Перечислите все варианты и докажите, что других нет.) Т.Голенищева-Кутузова

2 (7 класс). Имеется набор из двух карточек: 1 и 2. За одну операцию разрешается составить выражение, использующее числа на карточках, арифметические действия, скобки. Если его значение — целое неотрицательное число, то его выдают на новой карточке.

(Например, имея карточки 3, 5 и 7, можно составить выражение 7 5 /3 и получить карточку 25 или составить выражение 3 5 и получить карточку 35 .) Как получить карточку с числом 2015: а) за 4 операции; б) за 3 операции? И.Ященко

3 (7 класс). Петя записал 25 чисел в клетки квадрата $5 \times 5$. Известно, что их сумма равна 500. Вася может попросить его назвать сумму чисел в любой клетке и всех ее соседях по стороне. Может ли Вася за несколько таких вопросов узнать, какое число записано в центральной клетке? Е.Бакаев

4 (8 класс). Миша заметил, что на электронном табло, показывающем курс доллара к рублю (4 цифры, разделенные десятичной запятой), горят те же самые четыре различные цифры, что и месяц назад, но в другом порядке. При

47

ОЛИМПИАДЫ

4. Туристы развели костер и поставили кипятиться воду в котелке с плоским дном и вертикальными стенками, заполнив котелок на n = 3/4 его объема. Когда вода закипела, котелок не сняли с костра, и спустя $t_{1} = 10$ мин после начала кипения количество воды в котелке уменьшилось на $\eta_{1} = =$ 34%. В этот момент начался дождь, но туристы продолжали поддерживать костер, поскольку группа людей с продуктами задерживалась. За следующие $t_{2} = 8$ мин количество воды в котелке уменьшилось еще на $\eta_{2} =$ 8% от своего первоначального значения. Известно, что пустой котелок, поставленный вертикально на землю, наполнился бы под дождем доверху за время $t_{3} = 64$ мин. Определите температуру дождевых капель до их попадания в котелок. Удельная теплоемкость воды c = 4200 Дж ( кг $\cdot ^\circ$ С ), удельная теплота парообразования воды $r = 2,2 \cdot 10^{6}$ Дж кг. Считайте, что подводимая к воде в котелке тепловая мощность все время поддерживается постоянной и интенсивность дождя не меняется. М.Ромашка

9 класс

1. Мячик бросают с начальной скоростью v с поверхности земли под углом $\alpha$ к горизонту. В момент нахождения мячика на максимальной высоте из той же точки на поверхности земли бросают камень под углом $\beta$ к горизонту. Размеры мячика и камня малы, сопротивлением воздуха можно пренебречь. 1) Определите, с какой начальной скоростью u бросили камень, если он столкнулся с мячиком во время его полета. 2) Найдите время движения камня от момента его броска до момента столкновения с мячиком. Л.Арзамасский 2. На горизонтальном глинистом дне водоема стоит кубик с длиной ребра a и плотностью $\rho$. Высота уровня воды над верхней гранью кубика равна H. В начальный момент времени воды под кубиком нет. Вода начинает очень медленно подтекать под кубик. Чему будет равна площадь S части нижней грани, которая останется сухой к моменту, когда кубик начнет всплывать? Плотность воды $\rho_{в}$, кубик легче воды. Е.Мажник 3. Для изготовления нагревательной спирали кипятильника взяли проволоку длиной $l_{1}$. После подключения этого кипятильника к источнику напряжения с малым внутренним сопротивлением на нагревание некоторой массы воды в калориметре на $50 ^\circ C$ было затрачено время $\tau_{1} = 2$ мин. Затем проволоку, из которой была сделана спираль кипятильника, расплавили и изготовили из расплава новую проволоку длиной $l_{2} = 2 l_{1}$. Из новой проволоки сделали другую спираль для кипятильника, опустили его в другой калориметр с другим количеством воды и подключили кипятильник к тому же источнику напряжения. На нагревание воды на $50 ^\circ C$ во втором калориметре было потрачено время $\tau_{2} = 12$ мин. Во сколько раз масса воды во втором калориметре отличается от массы воды в первом калориметре? Считайте, что потерь тепла при нагревании воды не происходит, теплоемкости калориметров пренебрежимо малы, а плотность и проводимость металла после переплавки остаются прежними. Е.Якута

2. Участок AB электрической цепи, схема которого показана на рисунке 3, состоит из одинаковых резисторов и проводов, сопротивление которых пренебрежимо мало. Сопротивление этого участка цепи равно $R_{1} = 730$ Ом. После того как школьник Вася перерезал один из проводов, сопро-

Рис. 3

тивление участка АВ стало равным $R_{2} = 1360$ Ом. В каких точках Вася мог перерезать провод? Укажите две такие точки. Ответ обоснуйте. М.Ромашка

10 класс

1. По спокойной поверхности озера плывет маленький катер, траектория которого параллельна прямой линии берега и лежит от него на расстоянии L (рис.4). Стоящий в точке A наблюдатель увидел, что первая волна от катера достигла точки A спустя время t после того, как катер пересек прямую AB, перпендикулярную берегу. После этого волны ударяли о берег в этом месте с периодом T. Расстояние между соседними греб- Рис. 4 нями волн равно $\lambda$. Найдите скорость катера, считая, что волны, возбуждаемые катером на поверхности воды, близки к гармоническим. М.Ромашка

2. В вертикальной плоскости закреплено круглое кольцо радиусом R, на которое в верхней точке надета бусинка массой m. После небольшого толчка бусинка начинает соскальзывать вниз по кольцу под действием силы тяжести. Всеми силами трения можно пренебречь. 1) С какой силой бусинка давит на кольцо в точке, лежащей на его горизонтальном диаметре? 2) Чему равен модуль импульса бусинки в момент, когда она не давит на кольцо? М.Семенов

3. На водопроводном смесителе установлены два крана – холодный и горячий. Краны одинаковы по своей конструкции – она такова, что количество воды, протекающее через каждый кран за одну секунду, пропорционально углу поворота крана при его открывании. Если повернуть холодный кран на угол $\alpha_{1} = 180 ^\circ$, а горячий кран на угол $\beta_{1} = 60 ^\circ$, из смесительного крана потечет вода c температурой $t_{1} = 36 ^\circ C$. Если же повернуть холодный кран на угол $\alpha_{2} = 120 ^\circ$, а горячий кран на угол $\beta_{2} = 90 ^\circ$, то из смесительного крана потечет вода с температурой $t_{2} = 48 ^\circ C$. Найдите температуру воды, текущей из смесительного крана, когда холодный кран повернут на угол $\alpha_{3} = 160 ^\circ$, а горячий на угол $\beta_{3} = 80 ^\circ$. Потерями тепла в смесителе пренебречь. М.Ромашка

4. В нижней части вертикального цилиндрического сосуда, разделенного подвижным легким поршнем, находится аргон. Верхняя часть сосуда полностью заполнена водой массой m = 1 кг и открыта в атмосферу. При температуре $t_{1} = 27 ^\circ C$ поршень расположен на высоте, составляющей 1/4 высоты сосуда. После нагревания всей системы до температуры $t_{2} = 127 ^\circ C$ равновесие достигается при расположении поршня на 1/2 высоты сосуда. Найдите площадь S

50

КВАНТ 2015/№4

Примечание. Центр масс однородного треугольника расположен на пересечении его медиан. С.Варламов

3. По счастливой случайности отличнику Руслану и первой красавице Людмиле выпало вместе делать простейшую лабораторную работу по физике «Определение удельной теплоты плавления неизвестного вещества». Руслан включил печь, установив некоторую определенную мощность нагревания, поместил в капсулу кусочек исследуемого вещества и ровно в 10:00 по московскому времени начал измерения. Когда Руслан отошел к учителю, скучающая Людмила тайком переключила тумблер установки мощности печи в другое положение (которое, естественно, не запомнила) и более его не меняла. К великому удивлению Руслана, результат работы был совершенно неверным, и тогда, под угрозой двойки, Людмила созналась в содеянном. Учитель пожалел ребят и, сообщив им справочные данные, попросил определить: 1) установленную Людмилой мощность печи; 2) точное московское время переключения Людмилой тумблера установки мощности. Используя полученный Русланом при «помощи» Людмилы график зависимости температуры t вещества от времени $\tau$ (рис.10), помогите школьникам справиться с заданием учителя.

Рис. 10

Справочные данные. Удельная теплоемкость исследуемого вещества в жидком состоянии $c_{ж} = 260$ Дж ( кг $\cdot ^\circ$ С ), удельная теплота плавления этого вещества $\lambda = 60$ кДж кг, масса кусочка вещества m = 50 г, мощность печи, первоначально установленная Русланом, $P_{1} = 6$ Вт. Е.Вишнякова

4. В «черном ящике» находится схема, состоящая из последовательно соединенных идеальной батарейки с напряжением $U_{0} = 3,3$ В и резистора сопротивлением $R_{0} = = 1500$ Ом (рис.11, слева). При попытке изготовить второй такой же «черный ящик» оказалось, что батареек с нужным

Рис. 11

напряжением 3,3 В в лаборатории больше нет, зато есть другая идеальная батарейка с напряжением $U_{1} = 5$ В. По этой причине решили собрать схему, состоящую из имеющейся батарейки и двух резисторов, соединив эти элементы так, как изображено на рисунке 11 справа. Найдите, какими должны быть сопротивления резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$ для того, чтобы два этих «черных ящика» оказались эквивалентными друг другу. Д.Харабадзе

10 класс

1. Система, показанная на рисунке 12, состоит из трех блоков, трех одинаковых грузов, двух длинных нитей (первая нить показана на рисунке синей линией, вторая – красной) и короткой веревочки. К концу первой нити, перекинутой через средний и левый блоки, прикреплен первый груз массой m. К концу второй нити, перекинутой через правый и средний блоки, прикреплен второй груз массой m. Третий груз с такой же массой подвешен на веревочке к оси правого блока. Участки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Все блоки и нити можно считать невесомыми, нити и веревочку нерастяжимыми, а силы трения Рис. 12 пренебрежимо малыми. При вращении среднего блока первая и вторая нити не мешают друг другу. Найдите модули ускорений грузов. А.Коваленко

2. Отрезок проволоки изогнут в виде симметричного участка параболы и расположен так, что ось ее симметрии вертикальна (рис.13). На этот отрезок надевают маленькую бусинку массой m, удерживая ее у одного из краев проволоки. Затем бусинку отпускают без начальной скорости, и она начинает скользить по проволоке под действием силы тяжести. Найдите модуль силы, с которой бусинка будет давить на проволоку, находясь в $самой^{Рис.} 13$ нижней точке своей траектории. Трение пренебрежимо мало. Размеры L и H, указанные на рисунке, известны. А.Якута

3. Один моль идеального газа участвует в циклическом процессе 1–2–3–1 тепловой машины, работающей в режиме теплового двигателя. В состоянии 1 газ имеет температуру $T_{1}$ и объем $V_{1}$. Известно, что все переходы газа из одного состояния в другое – политропические. Показатель политропы процесса 2–3 на единицу больше показателя политропы процесса 3–1 и на единицу меньше показателя политропы процесса 1–2. В процессе 1–2 объем газа увеличивается в k раз. Один из процессов цикла – изотермический, причем в этом процессе объем газа изменяет свое значение в максимально широких пределах в этом цикле. 1) Определите объем и температуру газа в состоянии 3. 2) Изобразите на pV – диаграмме цикл, соответствующий условию задачи, указав для каждого из процессов его показатель политропы. Справка. Политропическим называется процесс, в течение которого теплоемкость газа не изменяется: C = const. Уравнение такого процесса имеет вид $pV^{n} =$ const, или $p_{1} V_{1}^{n} = p_{2} V_{2}^{n}$. Величину n называют показателем политропы. Е.Вишнякова

4. Найдите тепловую мощность, выделяющуюся в участке ACDEFB цепи, подключенном в точках A и B к батарее с ЭДС E = 5 В и внутренним сопротивлением r = 1,04 Ом (рис.14). Сопротивления резисторов указаны в омах, сопротивлением соединительных проводов можно пренебречь. Провода соединены только в местах, обозначенных точками. Е.Мажник