Затем смотри: сохраняет ли луч свою прямизну, которую он имеет снаружи, проходя через воду, заключенную между сосудами, или нет? Леонардо да Винчи
Ученейший Декарт предложил закон преломления, который, как считают, согласуется с опытом… Пьер Ферма
…идея о глубокой взаимосвязи двух великих принципов Геометрической оптики и Динамики могла бы стать ценным руководством для реализации синтеза волн и квантов. Луи де Бройль
…существует некий предел, за которым всякое уточнение бессмысленно, потому что приближение геометрической оптики перестает работать! Ричард Фейнман
А так ли хорошо знакомы вам
?
оптика и геометрия
Законы прямолинейного распространения и отражения света, о которых шла речь в прошлом выпуске «Калейдоскопа», практически были известны с глубокой древности. Затем они многократно проверялись и подтверждались и в опытах и расчетами. А вот история поиска закона преломления света оказалась и более длительной, и несравненно драматичней. Если физикам в их выводах не хватало порой геометрических соображений, то математики зачастую увлекались исключительно формальной стороной вопроса, не обращая внимания на физическую неопределенность вводимых ими понятий. Случалось, что, споря друг с другом, ученые умудрялись доказать то, что надеялись опровергнуть. Однако взаимодействие наук и в этих спорах приносило весьма ощутимые плоды. Так, установленный в XVII веке Пьером Ферма оптический принцип привел к разработке метода решения экстремальных задач, на нем фактически базировались все дальнейшее развитие лучевой – геометрической – оптики и построение оптики волновой. Достижение Ферма стало родоначальником целого семейства так называемых вариационных принципов в физике. Не менее удивительные практические результаты принес XX век. Предсказанные, а затем и открытые свойства новых оптических сред – метаматериалов – заставили изменить многие привычные представления. Сегодня физики, инженеры и математики в творческом сотрудничестве создают, манипулируя этими свойствами, новую оптику для микроэлектроники, вычислительных устройств, средств связи, кино-, фотои видеотехники. Попробуем и мы оснастить себя «оптическим инструментарием» для подключения к этой увлекательной работе.
Вопросы и задачи
- Два наблюдателя одновременно определяют на глаз высоту солнца над горизонтом. Один из них находится на берегу реки, другой – под водой. Для кого из них солнце будет казаться выше? 2. Если на сосуд с водой, в который брошено несколько кусочков сахара (без размешивания), упадет узкий луч света, например от лазера, то он искривится. Почему? 3. На дно сосуда с водой положили небольшое тело и накрыли его воронкой, горлышко которой закрыли пальцем. Почему тело не видно, если смотреть сверху, и становится видным, когда вода войдет внутрь воронки? 4. Два концентрических полушара изготовлены из стекол с различными показателями преломления и расположены, как показано на рисунке 1. Постройте дальнейший ход луча АВ, если отношение радиусов шаров равно отношению их показателей преломления. 5. Как построить предмета в плоскопараллельной пластинке с показателем преломления, равным –1? 6. Сечение стеклянной призмы имеет форму равнобедренного треугольника. Одна из равных граней посеребрена. Луч света падает нормально на другую, непосеребренную грань и после двух отражений выходит через основание призмы перпендикулярно ему. Найдите углы призмы. 7. На рисунке 2 показаны положения фокусов тонкой линзы и ход луча после ее прохождения. Построите ход этого луча до линзы.
Рис. 2
Рис. 3
- Луч света проходит через точку А, преломляется в линзе и проходит через точку В, показанные на рисунке 3. Восстановите ход луча. 9. Покажите с помощью построения, как будет распространяться после линзы луч АВ, изображенный на рисунке 4. 10. На рисунке 5 показаны положения светящихся точек А и В относительно главной оптической оси
Рис. 4
Рис. 5
линзы. Где и как следует расположить экран, чтобы одновременно получить на нем четкие изображения обеих точек? 11. Центр квадрата АВСD с длиной стороны F находится на главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F на расстоянии 2F от нее. Стороны АВ и СD параллельны оси. Постройте изображение квадрата. 12. Рассеивающую линзу с известным расположением фокальных плоскостей распилили по диаметру. Половинки раздвинули по вертикали на небольшое расстояние. Постройте изображения точки S, лежащей на оси симметрии системы. 13. Оптическая система дает действительное изображение предмета. Можно ли построением найти такое положение рассеивающей линзы, при котором изображение останется действительным и станет в три раза больше?
Рис. 6
Микроопыт Убедитесь, что карандаш, погруженный вертикально в стеклянный цилиндрический стакан с водой, имеет вид, показанный на рисунке 6. Объясните явление.
Любопытно, что… …впервые подробно преломление света описано древнегреческим ученым Клеомедом в I веке новой эры. Ему было известно об изменении угла при переходе луча из более плотной среды в менее плотную и обратно. …проведение Птолемеем во II веке новой эры опытов по определению величины преломления света при переходе из воздуха в воду, из воздуха в стекло и из воды в стекло – один из чрезвычайно редких примеров, когда ученые древности не удовлетворялись лишь наблюдениями, а прибегали к экспериментам. …хотя ко времени публикации в 1611 году кеплеровской «Диоптрики» закон преломления света еще не был точно сформулирован, автору этого труда удалось описать свойства различных линз. Впервые было разъяснено, как следует строить изображение, используя ход двух световых лучей и отыскивая пересечение этих лучей или их продолжений. …в бумагах умершего в 1626 году голландского математика Снеллиуса был найден оптический трактат, содержащий формулировку закона преломления света. В 1637 году появилась первая печатная публикация этого закона в современной форме, принадлежащая французскому ученому Рене Декарту. Французский математик Пьер Ферма свел проблему отыскания закона к решению чисто геометрической задачи. Гораздо более простой вывод закона, использующий, правда, выдвинутый Ферма принцип, дал автор волновой теории света Христиан Гюйгенс. …сложность вычислений Ферма оказалась связана с отсутствием в то время одного из важнейших математических понятий – производных. Опирающийся на их применение вывод закона Снеллиуса, вошедший в классические учебники, был найден выдающимся немецким ученым Лейбницем в 1684 году. …сразу после открытия закона преломления света стали предприниматься попытки детального расчета линзовых систем. Так, итальянец Бонавентура Кавальери нашел в 1647 году зависимость фокусного расстояния линзы от кривизны ограничивающих ее поверхностей. Положения изображений в тонких линзах для произвольного положения предмета были геометрически найдены в 1669 году учителем Ньютона Исааком Барроу. А в 1693 году английским исследователем Эдмундом Галлеем была получена алгебраическая формула тонкой линзы. …еще Леонардо да Винчи в своем «Кодексе о глазе» выдвинул идею о контактных линзах. Применить ее на практике смог только в XVIII веке один из создателей волновой оптики Томас Юнг. Он нанес на глаз английского астронома Джона Гершеля слой прозрачного геля, который позволил устранить у того дефект зрения. …в развитие геометрической оптики внесли свой вклад такие замечательные математики, как Леонард Эйлер, нашедший в 1766 году связь между показателем преломления вещества призмы, ее преломляющим углом и отклонением светового луча при ее прохождении, и Карл Гаусс, разработавший теорию изображений в параксиальных лучах света – тонких пучках, мало отклоняющихся от оптической оси системы. …прогресс, достигнутый в материаловедении и приведший к появлению сред с отрицательными преломлением света, позволяет создавать так называемые суперпризмы, способные формировать изображения деталей, более мелких, чем длина волны используемого света, что невозможно для линз с положительным преломлением. …в отличие от обычной собирающей линзы, в гравитационной линзе, образуемой массивными космическими объектами, сильнее преломляются лучи, проходящие ближе к оси наблюдения, т.е. к притягивающему центру. Недавно галактика, оказавшаяся на пути излучения, испускаемого окружающим черную дыру веществом, усилила это излучение, превратив в четыре источника. Их анализ дал возможность измерить скорость вращения черной дыры, удаленной от нас на шесть миллиардов световых лет.
Что читать в «Кванте» о преломлении света (публикации последних лет)
- «Нулевые «линзы» – 2009, №3, с.41; 2. «Увеличительная линейка» – 2010, №5, с.42; 3. «Оптика колбы» – 2011, №1, с.38; 4. «Свет в неоднородной среде» – 2011, №4, с.43; 5. «Решение задач на тонкие линзы» – 2011, №5–6, с.41; 6. «Физический калейдоскоп. Выпуск 3» – 2012, Приложение №3, с.112; 7. «Геометрия световых лучей» – 2013, №1, с.55; 8. «Лазерный резонатор» – 2013, №2, с.2.
Материал подготовил А.Леонович