26
КВАНТ 2015/№4
Внешнее кольцо подшипника катится по шарикам (или роликам), которые катятся по внутреннему кольцу подшипника. Правда, в настоя- щих подшипниках есть еще одна деталь – называется сепаратор.
Рис. 4
– Сепаратор? Это я знаю, – воодушевился Буратино. – Когда я был у Мальвины на
ее дне рождения, она угощала гостей клубникой со сливками. Она брала молоко, пропускала его через сепаратор, и получались сливки. Сепаратор отделяет сливки от молока. А зачем сепаратор в подшипнике? – Слово «сепаратор» может употребляться в разных случаях. Сепаратор в шарикоподшипнике – это своеобразная решетка, которая отделяет один шарик (или ролик) от другого и направляет их движение, – ответил Папа Карло.
– Вот теперь мне все ясно! – весело воскликнул Буратино.
С этажа на этаж
И.АКУЛИЧ
КАК ТОЛЬКО ЧЕЛОВЕЧЕСТВО НАЧАЛО СТРОИТЬ многоэтажные дома, появились и многочисленные весьма разнообразные задачи про них. Пожалуй, самую эффектную предложил в 1914 году судебным врачам незабвенный Йозеф : – Стоит четырехэтажный дом, в каждом этаже по восьми окон, на крыше – два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта. А теперь скажите, господа, в каком году умерла у швейцара бабушка? Задача производит сильное впечатление, и, возможно, именно поэтому ее до сих пор никто не решил. Мы, правда, такие задачи рассматривать не будем – ограничимся теми, которые можно одолеть, используя обычный школьный курс математики. Например, такая (автор – М.Ролова): На первом этаже большого дома у лифта встретились пятеро друзей. Женя сказал: «Если считать отсюда, то я живу выше, чем ты, Вова, в два раза, выше Пети в три раза, выше Андрея в четыре раза и выше Тани в шесть раз». «Ты это здорово подметил, – отозвался Андрей, – а ты, Петя, потише стучи своими гантелями у меня над головой». На каком этаже живет Андрей? Прикинем, на сколько этажей выше первого может жить Женя. Это число (разумеется, натуральное) должно одновременно делиться на 2, 3, 4 и 6, а следовательно – на их наименьшее общее кратное, равное 12. Поэтому номер этажа, на котором живет Женя, можно записать как 12k + 1, где k – некоторое натуральное число. Отсюда легко выяснить, что Вова живет на (6k + 1)-м этаже, Петя – на (4k + 1)-м, Андрей – на (3k + 1)-м и Таня – на (2k + 1)-м. Как-то многовато получается возможностей, но здесь спасают упомянутые в условии гантели. Из условия следует, что Петя живет непосредственно над Андреем – т.е. на 1 этаж выше. А поскольку (4k + 1) – – (3k + 1) = k, то k = 1. Итак, Женя живет на 13-м этаже, Вова – на 7-м, Петя – на 5-м, Андрей – на 4-м и Таня – на 3-м этаже. В следующей задаче лифт не просто упоминается, но и активно используется (автор – А.Спивак):
1 Ярослав Гашек. «Похождения бравого солдата Швейка во время мировой войны». Часть первая, глава III.
В 100-этажном доме испорчен лифт. Он может либо подниматься при нажатии одной кнопки на 79 этажей вверх, либо при нажатии другой – опускаться на 21 этаж вниз. Когда сверху меньше 79 этажей, лифт вверх не пойдет, аналогично – вниз. Лифт отправляется с первого этажа. Какое наименьшее количество раз надо нажать кнопки, чтобы лифт вернулся на первый этаж? Оценим снизу число нажатий. Пусть пришлось m раз нажать кнопку подъема на 79 этажей и n раз нажать кнопку спуска на 21 этаж. Всего, таким образом лифт поднялся по сравнению с первоначальным положением на 79m – 21n этажей. Но лифт в итоге вернулся на тот же 1-й этаж! Поэтому 79m – 21n = 0, и 79m = 21n. Так как числа 79 и 21 взаимно просты, то m делится на 21, а n делится на 79. Следовательно, их сумма не меньше 79 + + 21 = 100. Значит, кнопку надо нажать как минимум 100 раз. В силу того что 79 + 21 = 100, нет ни одного этажа, на который можно приехать и сверху, и снизу, и нет ни одного этажа, с которого можно уехать и вверх, и вниз. Значит, на каком бы этаже мы ни находились, можно точно сказать, какой этаж был предыдущим и какой будет следующим. Поэтому для пассажира задача решается автоматически, и не надо даже отслеживать, на какой этаж попал лифт после очередного нажатия. Требуется лишь нажимать кнопки как попало (ровно одна из двух всякий раз сработает) и отсчитывать количество передвижений. Докажем, что после сотого передвижения можно выходить – цель будет достигнута. Рассуждаем, используя метод «от противного». Предположим обратное – что, стартовав с 1-го этажа и выполнив 100 переездов, мы оказались не на 1-м этаже. Мы уже доказали, что не могли оказаться на 1-м этаже и раньше 100-го перемещения, поэтому среди этажей, на которых побывал лифт после каждого из ста перемещений, 1-го этажа нет. Но тогда лифт как минимум дважды побывал на каком-то из остальных этажей (их-то всего 99, а перемещений – больше!). Выберем тот момент, когда лифт впервые повторно попал на какой-то этаж. Предыдущий этаж, с которого приехал лифт, однозначно определен, а значит, и на нем лифт побывал дважды. Противоречие – ведь мы выбрали момент, когда повторное попадание произошло впервые. Значит, предположение
27
«КВАНТ»
ДЛЯ
МЛАДШИХ
было неверным, и после 100-го перемещения лифт окажется именно на 1-м этаже, что и требовалось доказать. Из нашего рассуждения видно, что в ходе перемещений к заданной цели (т.е. исходному положению) лифт побывает на всех этажах дома. Это, кстати, позволяет сделать вывод, что независимо от исходного этажа можно ровно за 100 перемещений лифта вернуться туда же. Помимо этажей, в задачах про многоэтажные дома фигурируют также подъезды и квартиры. При этом по умолчанию принимается, что этажи нумеруются снизу вверх, начиная с Подъезды тоже нумеруются по порядку. Все лестничные площадки (если в тексте специально не указано иное) по умолчанию предполагаются одинаково устроенными (с одинаковым же количеством квартир на этаже), и квартиры нумеруются подряд, начиная с первой: сначала в первом подъезде на первом этаже, потом на втором, третьем, и так далее до последнего этажа, затем нумерация продолжается с первого этажа второго подъезда и далее вверх… Впрочем, мы все это хорошо знаем по себе: ведь многие из нас живут в многоэтажках! Именно такая стандартная общепринятая схема позволяет не упоминать лишние детали, что позволяет делать условие более компактным. Например: Семиклассник Петя переехал в новый пятиэтажный дом, у которого 1-й и 2-й этажи во 2-м и 3-м подъездах заняты под склад. На каждой лестничной площадке не более четырех квартир. Номер квартиры Пети – 31. На каком этаже живет Петя? Задача была придумана еще в семидесятые годы прошлого века, когда такие дома строили направо и Но суть не в этом. Смущают слова «…не более четырех квартир». А сколько именно? Неизвестно. Ничего не поделаешь, придется рассматривать все варианты. Что ж, нарисуем схематично пятиэтажный дом и расставим в нем номера квартир, «захватив» при этом 31-ю квартиру – ведь что там дальше, нас не интересует (при этом места, занимаемые злополучным складом, просто закрасим черным цветом и при нумерации пропустим). Итак, если на каждом этаже одна квартира, то все это выглядит так:
2 За рубежом в некоторых странах – с нуля, но мы такие
возможности рассматривать не Ничего удивительного нет: по строительным нормам в домах не выше пяти этажей не требуется лифт – очевидная экономия!
ШКОЛЬНИКОВ
Как видно, если квартир на этажах по одной, то 31-я квартира – на пятом этаже. А если квартир 2, 3 или 4, то соответственно имеем:
Удивительно, но факт: во всех случаях 31-я квартира находится на пятом этаже. Так что ответ однозначен, несмотря на некую расплывчатость условия. Что, не понравилось использование перебора? Конечно, метод не слишком привлекательный, но ничем не хуже других. Впрочем, он требуется далеко не всегда. Например, такая задача (автор – А.Ковальджи): Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живет в 10-м подъезде в квартире 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? Ключ к решению – оценка возможного числа квартир на этаже. Если на этаже не более трех квартир, то всего их в десяти подъездах не более , т.е. в 10-м подъезде 330-й квартиры не будет. Если же квартир не меньше пяти, то уже в девяти первых подъездах будет не менее квартир, так что опять 333-я квартира в 10-й подъезд не попадает. Значит, никуда не денешься – на каждом этаже 4 квартиры. Тогда в первых девяти подъездах 4 ◊ 9 ◊ 9 = 324 квартиры, и в 10-м подъезде номера квартир начинаются с 325-й. А отсюда уже элементарно определяется, что Пете нужно подняться на третий этаж. А вот задача, для решения которой главное – подобрать правильный подход (автор – А.Хамитдулин): Коля и Витя живут в одном доме. На каждом из этажей во всех подъездах их дома расположено по четыре квартиры. Коля живет на пятом этаже в квартире №83, а Витя – на третьем этаже в квартире №169. Сколько этажей в их доме? Пусть в доме Э этажей. Обозначим количество подъездов от первого до того, в котором живет Коля (не считая того подъезда, в котором он живет), через К. Тогда во всех предыдущих Колиных подъездах всего 4ЭК квартир. Добавим сюда и квартиры Колиного подъезда вплоть до квартиры самого Коли включительно. На четырех этажах под ним всего квартир. А на Колином этаже сколько? Нетрудно сообразить, что наибольший номер квартиры на каждом этаже делится на 4. Поэтому наи-