Chim gõ kiến ​​Spyatel lên kế hoạch cho kỳ nghỉ của mình như thế nào

28

KVANT 2015/№5-6

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 6–8”

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo ở môn lời giải toán bài toán dành cho học sinh lớp 6–8. Lời giải bài toán gửi trong vòng một tháng sau khi nhận được số tạp chí này đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» hoặc qua email: [email protected] (được đánh dấu là “Cuộc thi “Toán học 6–8”). Hãy nhớ ghi rõ tên, lớp và địa chỉ nhà của bạn. Như trước đây, chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ theo cá nhân học sinh, mà còn bởi các câu lạc bộ toán học. Chúng tôi yêu cầu những người đứng đầu vòng tròn cung cấp địa chỉ email hoặc số điện thoại liên hệ. Theo truyền thống, các câu lạc bộ chiến thắng trong cuộc thi thư từ sẽ được mời tham dự giải đấu trực tiếp cuối cùng.

6. Petya gọi một số tự nhiên là số may mắn nếu nó có thể chia duy nhất thành tổng của 20 số hạng tự nhiên khác nhau (thứ tự các số hạng không quan trọng). Tìm tất cả các con số may mắn. Văn hóa dân gian

7. Điểm đánh giá của mỗi người trong số 20 kỳ thủ được thể hiện dưới dạng số tự nhiên từ 1 đến 20; cả hai đều có xếp hạng khác nhau. Các kỳ thủ được chia thành hai đội, mỗi đội 10 người sao cho tổng số điểm của các đội bằng nhau. Các đội chơi một trận đấu giải đấu kéo dài 100 ván, trong đó mỗi kỳ thủ chơi một ván với mỗi trong số 10 kỳ thủ của đội đối phương. Trong bất kỳ ván cờ nào, người chơi cờ có số điểm cao nhất sẽ thắng; với mỗi chiến thắng của người chơi, đội nhận được 1 điểm. Kết quả của trận đấu có thể là gì? P. Kozhevnikov, dựa trên bài toán của V. Proizvolov

8. Trong «Kvant» Số 1 năm 1987, học sinh trung học cơ sở được yêu cầu giải mã chiếc xe buýt này, do học sinh lớp chín lúc đó là G. Safin phát minh, trong đó các chữ cái giống nhau tượng trưng cho cùng một số, các chữ cái khác nhau - các số khác nhau và không có một số nào bắt đầu bằng số 0: WHISPERED $\times 5 =$ SHOUTED Nó có hai lời giải, trong đó từ WHISPERED

các số tương ứng là 628750 và 682750. Nhưng nếu số năm được thay thế bằng một chữ số khác, thì xe buýt sẽ có một lời giải. Con số này là gì? I. Akulich

9. Cho hình vuông ABCD. Qua đỉnh C chúng ta vẽ đường thẳng m không có điểm nào chung với hình vuông (xem hình). Điểm E và F lần lượt là hình chiếu của điểm B và D lên đường thẳng m. Hai đoạn thẳng BF và DE cắt nhau tại điểm K. Chứng minh đường thẳng AK vuông góc với đường thẳng m. V. Rastorguev

10. Trên một ô vuông có kích thước 10 ¥ 10 có một đội gồm 10 tàu. Tàu có hình chữ nhật 1 ¥ 2 không có điểm chung với các cạnh dọc theo đường lưới. a) Chứng minh rằng có thể bắn 32 phát đạn chắc chắn bắn trúng tàu nào đó. b) Có thể bắn được 30 phát không? A. Berdnikov, D. Kuznetsov

Chim gõ kiến ​​Spyatel lên kế hoạch cho kỳ nghỉ của mình như thế nào

K.KOKHAS

-P

Hầu như không còn nơi nào để bạn có thể nghỉ ngơi trong hòa bình,” chim gõ kiến Spyatel phàn nàn. – Để thư giãn trên biển, chúng bay về phía nam, vì những điều kỳ lạ - về phía đông, vì lợi ích của nền văn minh - về phía tây. “Sự nhộn nhịp, đám đông, không có nơi nào để một quả táo rơi,” con chuột Ogryza đồng ý. – Những vận động viên thể thao mạo hiểm di chuyển về phía bắc – đến gấu và hải cẩu. Nhưng tôi không muốn dành kỳ nghỉ của mình trong điều kiện như vậy! Tôi tìm kiếm con đường không có ai bay: về phía đông bắc? – Ogryza hỏi. - Không có gì ở đó cả! - Chim gõ kiến kêu lên - Nhân tiện, bạn bay nhanh như thế nào? – Busenka tự hào hỏi.

29

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

chim gõ kiến ​​nói. “Tôi có thể bay với tốc độ này cả ngày.” Busenka nói: “Thật thú vị, chẳng hạn, hóa ra là nếu bạn bay ngay bây giờ, trong một giờ nữa, bạn sẽ thấy mình cách đây 28 km về phía đông bắc.” Nó cách đây khoảng 20 km về phía bắc và 20 km về phía đông. Điều này có nghĩa là trong một giờ bạn di chuyển được 20 km về phía bắc. Cực Bắc cách đó khoảng 3000 km; nếu bạn bay 10 giờ một ngày thì trong khoảng hai tuần bạn sẽ đến Bắc Cực. - Bắc Cực? Thực ra, tôi không có ý định đến Bắc Cực… Mặt khác, đây chính xác là thứ tôi cần! Những người đam mê thể thao mạo hiểm, gấu và hải cẩu không thể tiến xa về phía bắc. Và tôi chỉ đang tìm kiếm sự bình yên và cô độc. “Đó là một nơi kỳ lạ - cực bắc của bạn,” Ogryza ngắt lời, “có phía nam ở tất cả các phía.” Dù bạn có đi đâu, nếu không rẽ ra, bạn sẽ thấy mình đang hướng về Nam Cực! Điều này không xảy ra ở khu vực của chúng tôi - chẳng hạn như nếu bạn đi theo bất kỳ góc phương vị phía bắc nào, di chuyển dọc theo hướng tây bắc, như một trong những người bạn chuột tàu của tôi đã nói, bạn chắc chắn sẽ đến cực bắc! Busenka đã giải thích điều này cho chúng tôi khá thuyết phục. Hóa ra các con đường đến cực bắc của chúng ta chiếm một nửa số hướng có thể có, và nửa còn lại - các con đường về phía nam! “Chỉ là đầu tôi đang quay cuồng thôi,” chim gõ kiến ​​khen ngợi hoặc phàn nàn. “Mọi chuyện vẫn diễn ra tốt đẹp,” Busenka xác nhận. - Đây

TRẺ EM HỌC SINH

Hãy tưởng tượng rằng bạn gần như đã đến được Bắc Cực, chỉ còn vài km nữa thôi. Với những khoảng cách nhỏ như vậy, chúng ta có thể cho rằng trái đất ở nơi này là phẳng. Và vì vậy, ví dụ, từ điểm $A_{1}$ bạn bay trong 1 phút đến điểm $A_{2}$, gần cực bắc hơn 2 lần so với $A_{1}$. “Thật là một kế hoạch hay,” chim gõ kiến ​​nói, “có lẽ đây là lộ trình tôi sẽ bay.” – Đợi đã, giả sử rằng trong bức ảnh (rất gần đúng) của tôi, góc $A_{1} OA_{2}$ bằng $40^\circ$ (nhân tiện, nó có vẻ gần bằng góc này). Như vậy, khi đến gần cực Bắc 2 lần, bạn sẽ quay quanh trục Trái đất khoảng $40^\circ$. “Đúng, mọi chuyện sẽ diễn ra chính xác như vậy,” chim gõ kiến ​​đồng ý, “nhưng tôi sẽ không nán lại điểm $A_{2}$ và sẽ bay xa hơn.” Busenka nói: “Và sau một thời gian, bạn sẽ quay quanh trục Trái đất một $40^\circ$ khác, kết thúc ở điểm $A_{3}$”. – Bạn nghĩ mình sẽ mất bao lâu để đạt được điểm $A_{3}$? Chim gõ kiến ​​Spiatel nghĩ về điều đó. “Đánh giá bằng hình ảnh và lẽ thường,” cuối cùng anh ấy nói, “hình tam giác quanh co $A_{1} OA_{2}$ này có hình dạng giống như hình tam giác $A_{2} OA_{3}$.” Chúng chỉ khác nhau về kích thước - tam giác thứ hai có cạnh $OA_{2}$ nhỏ hơn 2 lần so với cạnh tương ứng $OA_{1}$ của tam giác thứ nhất. Điều này có nghĩa là cạnh cong mà tôi cần bay dọc theo cũng lớn bằng một nửa. Vì vậy, tôi sẽ xử lý nó trong nửa phút. - Đây mới là điều khủng khiếp! - Busenka kêu lên. “Con chim gõ kiến ​​tội nghiệp,” Ogryza nói, “tốt hơn hết con nên chọn một nơi khác để nghỉ ngơi.” Rốt cuộc, trong một phần tư phút nữa, bạn sẽ đến điểm $A_{4}$, sau đó 1/8 phút nữa sẽ đến điểm $A_{5}$, v.v. – Ý bạn là tôi sẽ không bao giờ đến được Bắc Cực? Rằng tôi sẽ tiếp tục lang thang quanh những điểm này - $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$… Đừng làm tôi bối rối. Tôi đã từng nghe câu chuyện con rùa đuổi theo Achilles. Nếu trong một phút tôi bay được nửa quãng đường tới Bắc Cực, thì trong một phút nữa tôi sẽ ở đó! - Đúng, nhưng bạn sẽ đến từ hướng nào? – Busenka hỏi. - Từ hướng Tây Nam. “Không có phía tây nam ở Bắc Cực,” Ogryza nghiêm khắc nói. – Xuất phát từ điểm $A_{2}$, nửa phút nữa bạn sẽ đến điểm $A_{3}$, quay quanh trục Trái đất ở $40^\circ$, một phần tư phút nữa bạn sẽ quay lại $40^\circ$, sau 1/8 phút - lại ở $40^\circ$, v.v. Điều này có nghĩa là để đến được Bắc Cực, bạn sẽ phải thực hiện vô số vòng quay! Một vài phút trước bạn nói rằng bạn bị chóng mặt? “Ồ,” chim gõ kiến ​​nói, “nó choáng váng quá.” Tôi nghĩ tôi bị say sóng. Hay đúng hơn là nó đã bị hỏng. Đây là một hoạt động nguy hiểm - bay về phía đông bắc!