Olympic Vật lý quốc tế XLVI

65

Thế Vận Hội

2. Tìm tất cả các bộ ba ( a, b, c ) của các số nguyên dương sao cho mỗi số ab ​​– c, bc – a, ca – b là lũy thừa của hai. (Sức mạnh của hai là một số có dạng $2^{n}$, trong đó n là số nguyên không âm.) Serbia

3. Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp xung quanh nó, H là trực tâm của nó và F là đáy của đường cao hạ xuống từ đỉnh A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi Q là một điểm trên đường tròn $\Gamma$ sao cho $\angle$ HQA $= 90 ^\circ$, và gọi K là một điểm trên đường tròn $\Gamma$ sao cho $\angle$ HKQ $= 90 ^\circ$. Cho các điểm A, B, C, K và Q phân biệt và nằm trên đường tròn $\Gamma$ theo thứ tự đã chỉ ra. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác KQH và FKM tiếp xúc nhau. Ukraina

Từ trái sang phải: N. Agakhanov (trưởng nhóm), I. Bochkov, A. Kuznetsov, A. Zimin, I. Frolov, D. Tereshin (phó trưởng), R. Salimov, N. Gladkov

Thông tin đầy đủ về kết quả tại các kỳ thi Olympic toán quốc tế có trên trang web chính thức của Olympic www.imo-official.org. Năm nay, trại huấn luyện mùa hè cho đội và khu dự bị gần nhất đã được tổ chức tại Sochi như một phần của ca đầu tiên của trung tâm giáo dục Sirius (http://siriusdeti.ru),, được thành lập theo sáng kiến ​​của Tổng thống Nga V.V. Putin bởi Quỹ Tài năng và Thành công. Các trưởng nhóm rất biết ơn ban lãnh đạo Quỹ Tài năng và Thành công và tất cả những người tổ chức trung tâm Sirius vì những điều kiện tuyệt vời được tạo ra để tổ chức các lớp học và hoạt động giải trí cho trẻ em. Nhờ có quỹ, công việc cho tương lai đã được tăng cường: so với năm ngoái, số lượng người tham gia trại huấn luyện - ứng cử viên cho các đội tuyển quốc gia Nga trong những năm tới - đã tăng gần gấp đôi.

MỤC TIÊU CỦA Olympic

1. Chúng ta sẽ gọi một tập hữu hạn S gồm các điểm trên mặt phẳng cân bằng nếu với bất kỳ điểm A và B phân biệt nào từ tập S đều có một điểm C thuộc tập S sao cho AC = BC. Chúng ta gọi tập S là lệch tâm nếu với ba điểm phân biệt A, B và C bất kỳ thuộc tập S không có điểm P nào thuộc tập S sao cho PA = PB = PC. a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 3$ luôn tồn tại một tập cân bằng gồm n điểm. b) Tìm tất cả các số nguyên $n \ge 3$ tồn tại tập lệch tâm cân bằng gồm n điểm. Hà Lan

2. Gọi Ω là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và điểm O là tâm của tam giác đó. Đường tròn $\Gamma$ tâm A cắt đoạn thẳng BC tại các điểm D và E sao cho các điểm B, D, E và C đều phân biệt và nằm trên đường thẳng BC theo thứ tự đó. Gọi F và G là giao điểm của các đường tròn $\Gamma$ và Ω, đồng thời đặt các điểm A, F, B, C và G nằm trên Ω theo thứ tự đã chỉ ra. Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF và đoạn AB. Gọi L là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác CGE và đoạn CA. Cho hai đường thẳng FK và GL phân biệt và cắt nhau tại điểm X. Chứng minh điểm X nằm trên đường thẳng AO. Hy Lạp

3. Cho R là tập hợp tất cả các số thực. Tìm tất cả các hàm số $f : R \to R$ thỏa mãn đẳng thức f ( x + f ( x + y ) ) + f ( xy ) = x + f ( x + y ) + yf ( x ) với mọi số thực x và y.

Albania

6. Dãy số $a_{1}, a_{2}$, … số nguyên thỏa mãn các điều kiện sau: (i) $1 \le a_{j} \le 2015$ với mọi $j \ge 1$; (ii) $k + a_{k} \ne l + a_{l}$ cho tất cả $1 \le k < l$. Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương b và N sao cho n

$\sum ( a_{j} - b ) \le 1007^{2}$ j = m + 1 với mọi số nguyên m và n thỏa mãn điều kiện $n > m \ge N$. Úc

Ấn phẩm được biên soạn bởi N. Agakhanov, I. Bogdanov, P. Kozhevnikov, M. Pratusevich, D. Tereshin

Olympic Vật lý quốc tế XLVI

Tại thành phố Mumbai (Ấn Độ), từ ngày 5/7 đến ngày 12/7/2015, Kỳ thi Olympic Vật lý học sinh quốc tế lần thứ hai đã được tổ chức. 84 quốc gia đã tham gia Olympic. Những người tham gia Olympic được đưa ra ba vòng bài toán lý thuyết (vòng lý thuyết) và hai vòng thử nghiệm bài toán (vòng thử nghiệm). Tất cả bài toán đều được đánh giá tối đa là 10 điểm. Như vậy, mỗi người tham gia có thể ghi được tối đa 50 điểm. Đội tuyển quốc gia Nga bao gồm 5 học sinh: Kirill Voronin (Magnitogorsk, vùng Chelyabinsk), Georgy Korepanov (Saransk, Mordovia), Alexey Krasnikov (Bugulma, Tatarstan),