Bài toán M2421—M2428; F2428—F2434

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này nên được gửi đến địa chỉ sau: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 3–2016” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2421” hoặc “F2428”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng: [email protected] và [email protected]. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2421, М2422а, M2426, M2427, М2428а, b đã được đưa ra tại Giải đấu các thành phố XXXVII, bài toán M2423 đã được đưa ra tại Olympic Toán học Châu Âu lần thứ V dành cho nữ, bài toán F2432 – tại Olympic Vật lý Moscow 2016.

Bài toán M2421–M2428, F2428–F2434

M2421. Công ty ghi nhận chi phí bằng rúp cho 100 hạng mục ngân sách, nhận được danh sách 100 số (mỗi số có không quá hai chữ số thập phân). Mỗi kế toán viên sẽ sao chép danh sách và tìm số tiền chi phí gần đúng, tiến hành như sau. Đầu tiên, anh ta chọn hai số bất kỳ trong danh sách, cộng chúng lại, loại bỏ vị trí thập phân của tổng (nếu có) và viết kết quả thay cho hai số đã chọn. Với danh sách kết quả gồm 99 số, anh ta làm tương tự, v.v., cho đến khi chỉ còn một số nguyên trong danh sách. Hóa ra cuối cùng tất cả các kế toán viên đều nhận được kết quả khác nhau. Số lượng kế toán viên lớn nhất có thể làm việc trong công ty là bao nhiêu? M. Evdokimov

M2422. Hình chữ nhật p ¥ q, trong đó p, q là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, p < q, được chia thành các ô vuông đơn vị. Một đường chéo được vẽ từ góc dưới bên trái của hình chữ nhật đến góc trên bên phải của nó. Nó cắt các hình tam giác khỏi một số hình vuông. Tìm: a) tổng chu vi; b) tổng diện tích của tất cả các hình tam giác này. A.Tolpygo

M2423. Các đường tròn $\omega_{1}$ và $\omega_{2}$ có cùng bán kính cắt nhau tại các điểm $X_{1}$ và $X_{2}$ (hình 1). Vòng tròn $\omega$ chạm vào vòng tròn $\omega_{1}$ bên ngoài tại điểm $T_{1}$ và vòng tròn $\omega_{2}$ bên trong tại điểm $T_{2}$. Chứng minh rằng đường thẳng $X_{1} T_{1}$ và $X_{2} T_{2}$ cắt nhau trên đường tròn $\omega$. Ch. Latham (Luxembourg)

M2424. Có một số đường thẳng trên mặt phẳng có điểm chung O. Chứng minh rằng mỗi đường thẳng đó

Hình 1

các đường thẳng có thể tô màu đỏ hoặc xanh lam sao cho tồn tại một điểm trên mặt phẳng khác O thì tổng khoảng cách từ đó đến tất cả các đường thẳng màu đỏ bằng tổng khoảng cách từ nó đến tất cả các đường thẳng màu xanh. I. Weinstein

M2425. Một hình chữ nhật song song 2 ¥ 2 ¥ 100 cần được chia thành các viên gạch 1 ¥ 1 ¥ 2. Chứng minh rằng số cách thực hiện điều này là một hình vuông. (Khi đếm, chúng ta không quay hoặc lật hình song song.) V. Rastorguev

M2426. Cả nước có 64 thành phố, một số cặp được kết nối bằng đường bộ, nhưng chúng tôi không biết đó là thành phố nào. Chúng ta có thể chọn bất kỳ cặp thành phố nào và nhận được đáp số khi được hỏi liệu có con đường nào giữa chúng không. Chúng tôi muốn tìm hiểu xem liệu ở đất nước này có thể đi từ thành phố này đến thành phố khác bằng cách lái xe dọc theo các con đường hay không. Chứng minh rằng không có thuật toán nào có thể làm được điều này trong ít hơn 2016 câu hỏi. K.Knop

16

KVANT 2016/№3

M2427. Có N số được viết trên bảng, tất cả chúng đều khác nhau và một trong số chúng bằng 0. Bạn có thể lấy bất kỳ đa thức nào, mỗi hệ số của nó bằng một trong các số được viết (một số hệ số có thể bằng nhau) và cộng tất cả các nghiệm của đa thức này vào bảng. Sau một số phép tính như vậy, tất cả các số nguyên từ –2016 đến 2016 (và có thể cả một số số khác) đều xuất hiện trên bảng. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của N. G. Zhukov

M2428. Trên một hành tinh hình cầu có đường xích đạo dài 1, họ dự định đặt N đường vành đai, mỗi đường sẽ đi dọc theo một vòng tròn có chiều dài 1. Sau đó, một số đoàn tàu sẽ được phóng dọc theo mỗi đường. Tất cả các đoàn tàu sẽ di chuyển dọc theo các con đường với cùng một tốc độ không đổi dương, không bao giờ dừng lại hoặc va chạm. (Coi các đoàn tàu là các cung có độ dày bằng 0, từ đó các điểm cuối bị đẩy ra.) Trong những điều kiện như vậy, tổng chiều dài tối đa có thể có của tất cả các đoàn tàu là bao nhiêu: a) với N = 3; b) tại N = 4? c*) Tổng chiều dài của đoàn tàu có thể lớn hơn 1000 đối với một số N không? A. Berdnikov

F2428. Một nhóm ba du khách phải di chuyển từ điểm A đến điểm B dọc theo đoạn đường có chiều dài s = 45 km. Mọi người đều bắt đầu cùng một lúc. Cả đoàn khách du lịch chỉ có hai chiếc xe đạp, nếu hai người đi xe đạp thì tốc độ của họ là 3v, còn nếu một người đi xe đạp thì tốc độ của họ là 4v. Nếu một du khách đi bộ thì vận tốc của người đó là v = 5 km/h. Trong thời gian tối thiểu tất cả khách du lịch có thể đến đích? V. Sergeev

F2429. Chàng cao bồi buộc một quả bóng chày, $m_{м} = = 150$ g và D = 7,3 cm, vào một sợi dây cứng (không giãn và nhẹ) có chiều dài L = 1 m, đầu còn lại được buộc vào một thanh ngang tròn có đường kính d = 6 cm. Sau đó, anh ta bước 10 bước theo hướng vuông góc với xà ngang và bắn một khẩu Colt vào quả bóng. Bóng bắt đầu chuyển động nhanh, cuốn sợi chỉ quanh xà ngang rồi bật ra. Kiểm tra thì thấy viên đạn kẹt trong bi, sợi chỉ quấn quanh xà ngang n = 2 lần. Ước tính tốc độ của viên đạn trước khi va chạm với quả bóng nếu khối lượng của viên đạn là $m_{п} = 10$ g và sợi chỉ có thể chịu được tải trọng không quá $m_{гр} = 10$ kg. D. Bograchev

F2430. Vasya quyết định cân một mảnh nhỏ của thiên thạch Chelyabinsk mà anh tìm thấy gần Hồ Chebarkul bằng quả cân sắt. Để làm được điều này, ông đã sử dụng những chiếc cân đối xứng bằng nhau làm bằng sắt. Trong không khí, cân cho kết quả M = 2,1 kg. Khi những chiếc cân được ngâm hoàn toàn trong nước hồ, kết quả lại khác - để cân bằng những chiếc cân, người ta phải đặt những quả nặng lên chúng, tổng khối lượng của chúng bằng m = 1,8 kg. Trong trường hợp này, cả vật nặng và quả nặng đều được ngâm hoàn toàn trong nước. Tại sao

Mật độ của vật chất thiên thạch có bằng nhau không? Mật độ của sắt là $\rho_{ж} = 7,9$ g $см^{3}$, mật độ của nước là $\rho_{в} = 1,0$ g $см^{3}$. V.Statikov

F2431. Ba tụ điện có điện dung C, 2C và 3C được mắc nối tiếp thành một mạch kín. Sử dụng một thiết bị đặc biệt được kết nối với ba điểm kết nối của tụ điện, các điện tích +Q, +Q và –2Q được truyền (chuyển) đến những nơi này. Thiết bị đã bị tắt. Năng lượng tối đa (tối thiểu) có thể được lưu trữ trong một hệ thống tụ điện tích điện là bao nhiêu? S. Varlamov

F2432. Lưới vô hạn với các ô hình kim cương, được hiển thị trong hình 2, bao gồm các ô giống hệt nhau

Hình 2

điện trở Storov r. Tìm điện trở giữa hai điểm A và VA. A. Bychkov

F2433. Trong mạch điện ở hình 3, mọi phần tử đều lý tưởng, dòng điện trong cuộn dây có độ tự cảm L bằng 0. Chìa khóa được đóng và mở sau một khoảng thời gian $t_{0}$, khi tốc độ biến đổi năng lượng tích trữ trong cuộn cảm là $достигает^{Рис.} 3$ tối đa. Được biết, $t_{0} = 2 ln 2$ ◊ (L R). Tìm: 1) công suất P mà nguồn dòng điện sinh ra tại thời điểm mở công tắc; 2) lượng nhiệt $Q_{1}$ tỏa ra trong mạch sau khi mở công tắc; 3) lượng nhiệt $Q_{2}$ tỏa ra trong mạch khi đóng công tắc. A. Sheronov

F2434. Phía trên một mặt phẳng nằm ngang ở độ cao H = 10 m có một nguồn sáng điểm đẳng hướng có cường độ $W_{0} = 1000$ K (một nghìn candela). Một cảm biến ánh sáng phẳng nhỏ được lắp đặt ở điểm bề mặt gần nguồn sáng nhất; mặt phẳng của nó vuông góc với tia sáng. Diện tích của phần tử cảm biến cảm biến $S = 0,1 см^{2}$. Cảm biến ghi lại độ sáng bao nhiêu $E_{1}$ (tính bằng lux)? Sau đó trực tiếp dưới nguồn ánh sáng trên