Giải đấu thành phố XXXVII

Thế Vận Hội

Giải đấu thành phố XXXVII

MỤC ĐÍCH CỦA DU LỊCH XUÂN

LỰA CHỌN CƠ BẢN

lớp 8–9

$1 (3)^{1}$. Nam và nữ đứng thành vòng tròn (có cả hai), tổng cộng 20 em. Được biết, mọi cậu bé đều có một người hàng xóm theo chiều kim đồng hồ - một đứa trẻ mặc áo phông xanh, và mọi cô gái đều có một người hàng xóm ngược chiều kim đồng hồ - một đứa trẻ mặc áo phông đỏ. Có thể xác định rõ ràng có bao nhiêu chàng trai trong vòng tròn? E. Bakaev

2 (4). Trong tam giác ABC nhọn, góc C bằng $60^\circ$. Gọi H là giao điểm các đường cao của tam giác này. Một đường tròn tâm H bán kính HC cắt các đường thẳng CA và CB lần thứ hai tại các điểm M và N. Chứng minh AN và BM song song (hoặc trùng nhau). E. Bakaev

3 (5). Có số nguyên 2016 nào có tổng và tích bằng 2016 không? Văn học dân gian, do M. Evdokimov đề xuất

4 (5). Trong hình vuông $10 \times 10$, tất cả các ô của hình vuông phía trên bên trái $5 \times 5$ có màu đen và các ô còn lại có màu trắng. Số lượng đa giác lớn nhất mà hình vuông này có thể được cắt thành (dọc theo ranh giới của các ô) là bao nhiêu để trong mỗi đa giác có số ô đen ít hơn ba lần so với ô trắng? (Các đa giác không cần phải có kích thước bằng nhau hoặc thậm chí bằng nhau.) E. Bakaev

5 (5). Vẽ một hình tam giác trên một tờ giấy bằng bút chì màu xanh, sau đó dùng bút chì màu đỏ vẽ đường trung bình, đường phân giác và đường cao (có thể không phải tất cả từ các đỉnh khác nhau) nằm bên trong hình tam giác bằng bút chì màu đỏ. Chúng ta đã có được sự phân chia tam giác thành nhiều phần. Những mảnh này có thể bao gồm một hình tam giác đều có cạnh màu đỏ không? M. Evdokimov

lớp 10–11

1 (4). Một điểm bên trong một tứ giác lồi được nối với tất cả các đỉnh và bốn điểm trên các cạnh (mỗi điểm một cạnh). Tứ giác hóa ra được chia thành tám hình tam giác có bán kính các đường tròn ngoại tiếp bằng nhau. Chứng minh rằng tứ giác ban đầu là tứ giác nội tiếp. E. Bakaev

2 (4). Xem bài toán 3 cho lớp 8–9.

3 (4). Xem bài toán 4 cho lớp 8–9.

4 (6). Xem bài toán M2421 “Bài toán Kvant”.

5. Trên mỗi cạnh trong số 12 cạnh của hình lập phương, phần giữa của nó được đánh dấu. Liệu quả cầu có nhất thiết phải đi qua tất cả các điểm được đánh dấu nếu biết rằng nó đi qua:

1 Trong ngoặc đơn sau số bài toán số điểm tối đa được trao cho lời giải của nó được biểu thị. Kết quả được tóm tắt theo ba nhiệm vụ đã đạt được kết quả tốt nhất; Điểm cho các điểm của một bài toán được tổng hợp.

a) (3) qua khoảng 6 điểm đã đánh dấu; b) (3) qua khoảng 7 điểm đã đánh dấu? M. Evdokimov

LỰA CHỌN PHỨC HỢP

lớp 8–9

1. Trên một dải giấy dài, họ viết ra tất cả các số từ 1 đến một triệu (theo một thứ tự ngẫu nhiên nào đó). Sau đó, cuộn băng được cắt thành nhiều mảnh, mỗi mảnh có hai con số. Chứng minh rằng dù viết các số theo thứ tự nào thì tất cả các số có hai chữ số đều có trên các mảnh ghép. A.Tolpygo

2. Có số nguyên a và b sao cho: a) (2) phương trình $x^{2} + ax + b = 0$ không có nghiệm nhưng phương trình $È Î x^{2}$ ˘ ˚ + ax + b = 0 thì có? b) (3) phương trình $x^{2} + 2 ax + b = 0$ không có nghiệm nhưng phương trình $È Î x^{2}$ ˘ ˚ + 2 ax + b = 0 có? (Ký hiệu [k] biểu thị phần nguyên của số k, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá k.) A. Khrabrov

3 (6). Cho một hình vuông có cạnh 10. Cắt nó thành 100 hình tứ giác bằng nhau, mỗi hình tứ giác nội tiếp trong một hình tròn có đường kính 3. I. Bogdanov

4 (8). Nghệ sĩ trừu tượng lấy một khối gỗ

$5 \times 5 \times 5$, chia mỗi mặt thành các ô vuông đơn vị và sơn mỗi mặt bằng một trong ba màu - đen, trắng hoặc đỏ - sao cho không có ô vuông cùng màu nào liền kề với nhau. Có thể tạo ra số ô vuông màu đen nhỏ nhất là bao nhiêu? (Các hình vuông có một cạnh chung được coi là liền kề nếu chúng nằm trên cùng một mặt của hình lập phương và nếu chúng nằm trên các mặt khác nhau của hình lập phương.) M. Evdokimov

5 (8). Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn $10^{k}$. Chúng tôi lấy một số chia hết cho p và chèn một số có k chữ số A vào giữa hai chữ số liền kề của nó. Chúng ta có một số chia hết cho p. Một số có k chữ số B được chèn vào đó - giữa hai chữ số liền kề của số A - và kết quả một lần nữa lại chia hết cho p. Chứng minh rằng số B được lấy từ số A bằng cách sắp xếp lại các chữ số. I. Bogdanov

6 (9). Một robot hút bụi có hình tròn chạy trên sàn phẳng. Đối với mỗi điểm trên vòng tròn ranh giới của robot, bạn có thể chỉ định đường thẳng mà điểm này duy trì trong toàn bộ chuyển động. Tâm của robot có nhất thiết phải nằm trên một đường thẳng nhất định trong toàn bộ chuyển động không? I. Weinstein

7. a) (5) Có 2n + 1 pin (n > 2). Người ta biết rằng có nhiều pin tốt hơn pin xấu, nhưng pin nào tốt, pin nào xấu thì chưa biết. Hai viên pin được lắp vào đèn pin và đèn chỉ sáng nếu cả hai đều tốt. Số nhỏ nhất của số đó là bao nhiêu

51

Thế Vận Hội

thanh C, nằm cách điểm O một khoảng $l_{2} = 110$ cm, sao cho quả cầu nhôm lại được nhúng chìm đến một nửa thể tích của nó? Mật độ của nhôm, dầu máy và nước lần lượt là $\rho_{a} = 2700$ kg $м^{3}, \rho_{м} = 800$ kg $м^{3}$ và $\rho_{в} = 1000$ kg $м^{3}$. Trước khi nhúng quả bóng vào nước, quả bóng đã được lau sạch dầu. E.Yakuta

lớp 8

1. Ô tô đã chạy một đoạn đường với tốc độ không đổi $v_{1}$ trên đường đất, sau đó khi đến đoạn đường nhựa tốt, nó chạy nhanh hơn với tốc độ không đổi khác $v_{2}$. hình 13 hiển thị biểu đồ tốc độ trung bình

Hình 13

$v_{cp}$ của ô tô tính từ quãng đường s mà nó đã đi được. Thật không may, hầu hết biểu đồ đã mờ dần theo thời gian và chỉ còn lại những mảnh rời rạc. Xác định các giá trị của tốc độ $v_{1}$ và $v_{2}$. Phải mất bao lâu để lái xe dọc theo con đường đất? Tốc độ trung bình của ô tô đạt được giá trị bao nhiêu khi đi được km thứ một trăm? M. Zamyatnin

2. Ở đầu bên phải A của thanh có khối lượng không đáng kể, một quả cầu nhôm được treo trên một sợi dây mỏng (xem hình12). Thanh được đặt trên mép của một bình chứa nước và đến điểm B, nằm cách $l_{1} = 50$ cm về bên trái điểm tựa O, một vật nặng có khối lượng m được treo lơ lửng đến mức quả bóng chìm trong nước một nửa thể tích của nó. Quả bóng này sẽ chìm trong nước bao nhiêu phần thể tích nếu tải được chuyển từ điểm B đến điểm C, nằm cách điểm O một khoảng $l_{2} = 60$ cm? Mật độ của nhôm là $\rho_{a} = 2700$ kg $м^{3}$, mật độ của nước là $\rho_{в} = 1000$ kg $м^{3}$. E.Yakuta

3. Xem bài toán F2422 “Bài toán Kvant”.

4. Bố quyết định đưa Vasya đi câu cá mùa đông cùng mình. Trong kho của bố có thêm hai quả cân chì có cùng khối lượng. Cái đầu tiên là một hình lập phương, và cái thứ hai là một hình trụ, chiều cao của nó bằng chiều dài cạnh của hình lập phương. Những chiếc móc nhỏ được gắn vào giữa một trong các mặt của hình lập phương và vào tâm của một trong các đế của hình trụ. Tại một thời điểm nào đó, Vasya cảm thấy nhàm chán và bắt đầu thử nghiệm những quả tạ này. Vasya buộc các sợi chỉ vào các móc, treo các quả chìm bằng những sợi chỉ này và bịt kín bề mặt trên và dưới của các quả chìm bằng băng cách điện, loại băng này không dẫn nhiệt tốt. Sau đó, Vasya đun nóng nước trong một cái bát trên bếp gas của trại, hạ một khối chì vào đó, đợi cho nó nóng lên hoàn toàn đến $80 ^\circ$ C, rồi nhúng khối vào hố băng. Hóa ra khối lập phương đã nguội đến nhiệt độ $36,6 ^\circ$ C trong 30 giây. Sau đó, Vasya đun nóng một cái chậu hình trụ theo cách tương tự đến cùng nhiệt độ và

đẩy anh ta xuống hố. Sẽ mất bao lâu để nó nguội đến nhiệt độ $36,6 ^\circ$ C? Trợ giúp: thể tích của một hình trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó. A. Bychkov

lớp 9

1. Trên hành tinh của hệ sao Shedar, một trong những điểm sạc dành cho người biểu diễn robot phục vụ mỗi lần một robot với tốc độ 60 robot mỗi giờ (r/h). Một ngày nọ, robot đến điểm trong vòng 8 giờ. Giờ đầu tiên họ đến với tốc độ 70 vòng/giờ. Trong giờ thứ hai, tốc độ xuất hiện của robot tăng dần, cuối cùng đạt 80 r/h. Sau đó, trong giờ thứ ba, tốc độ đến của robot giảm dần và giảm xuống còn 70 vòng/giờ vào cuối giờ. Trong giờ thứ tư, tốc độ đến của robot giảm đều, đạt 20 r/h vào cuối giờ và sau đó giữ nguyên như vậy trong giờ thứ năm và thứ sáu. Vào giờ thứ bảy, tốc độ đến của robot lại tăng đồng đều - lên tới 100 r/h vào cuối giờ, và vào giờ thứ tám, tốc độ đến của robot giảm đồng đều xuống 60 r/h. Các robot tuân thủ nghiêm ngặt mệnh lệnh và sau khi sạc pin, chúng lập tức rời khỏi điểm. 1) Điểm hoạt động trong ngày hôm đó là bao lâu nếu tất cả các robot đều được sạc? 2) Thời gian robot ở lại điểm sạc lâu nhất (trong hàng đợi và tại trạm sạc) trong ngày này là bao lâu? A. Frolov

2. Xem bài toán F2423 “Bài toán Kvant”.

3. Một cái nêm có khối lượng M = 5 kg có góc đáy $\alpha = 45 ^\circ$ đặt trên một bàn nằm ngang nhẵn (hình14). Một khối có khối lượng m = 1kg nằm trên mặt nghiêng của nêm. Một lực hướng theo phương ngang về phía nêm bắt đầu tác dụng lên khối. Mô đun của lực này tăng theo thời gian t theo định luật $F = \delta t$, trong đó hệ số tỷ lệ là $\delta = 1$ N s. Hệ số ma sát giữa nêm và khối là $\mu = 1,2$. Hình 14 Tìm độ lớn của lực ma sát tác dụng từ phía của khối nêm lên khối sau thời gian T = 12 s kể từ khi lực bắt đầu xuất hiện, nếu đến thời điểm này khối nêm vẫn chưa bắt đầu lật. Gia tốc trọng trường có thể coi là g = 10 m $с^{2}$. A. Bychkov

4. Alice và Vasilisa đang chơi trò chơi “Dòng điện một chiều”. Họ nối nối tiếp hai biến trở và một ampe kế lý tưởng rồi nối mạch thu được với một nguồn điện áp. Ampe kế hiển thị dòng điện $I_{0} = 100$ mA. Các nữ sinh lần lượt “đi bộ”. Người ta di chuyển thanh trượt của bộ biến trở và số chỉ của ampe kế thay đổi. Người kia cũng nên di chuyển thanh trượt của bộ biến trở, đưa dòng điện về giá trị trước đó càng nhanh càng tốt. Sau đó, “nước đi” sẽ thuộc về cô ấy. Các biến trở của các cô gái là khác nhau, nhưng trên mỗi cô gái, thanh trượt di chuyển theo đường thẳng và ở vị trí chính giữa khi bắt đầu trò chơi. Đối với Alice, khoảng cách giữa các vị trí cực đại có thể có của thanh trượt là $L_{A} = 36$ cm và đối với Vasilisa – $L_{B} = 40$ cm. 1) Alice “đi” trước. Cô di chuyển thanh trượt sang phải 4 cm và ampe kế bắt đầu hiển thị dòng điện $I_{1} = 90$ mA.